考研数学二真题及答案答案解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设，当时，（ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】，即当时，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）.2、已知由方程确定，则（ ） （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【答案】（A）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】【详解】当时，.方程两边同时对求导，得将，代入计算，得 所以，选（A）.3

2、、设，则（ ）（A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点（C）在处连续不可导 （D）在处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】，在处连续.，故在处不可导.选（C）.4、设函数，若反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】由收敛可知，与均收敛.，是瑕点，因为收敛，所以，要使其收敛，则所以，选D.5、设，其中函数可微，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】（A）【考点】多元函数的偏导数【难易度】【详解】，故选（A）.6、设是圆域位于第象限的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答

3、案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，.（），（）因此，选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵、按列分块，由于，故即即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆，故，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ）（A）（B）为任意常数（C）（D） 为

4、任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为2，0可知，矩阵的特征值也是2，0.因此，将代入可知，矩阵的特征值为2，0.此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、 .【答案】【考点】两个重要极限【难易度】【详解】其中，故原式=10、设函数，则的反函数在处的导数 .【答案】【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，.11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积

5、是 .【答案】【考点】定积分的几何应用平面图形的面积【难易度】【详解】面积12、曲线上对应于点处的法线方程为 .【答案】【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解】由题意可知，故曲线对应于点处的法线斜率为.当时，.法线方程为，即.13、已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件，的解为 .【答案】【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】，是对应齐次微分方程的解.由分析知，是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为，为任意常数.由，可得 ，.通解为.14、设是3阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若，则 .【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易

6、度】【详解】等式两边取行列式得或当时，（与已知矛盾）所以.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求和的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】【详解】故，即时，上式极限存在.当时，由题意得16、（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，.因，故.17、（本题满分10分）设平面区域D由直线，围成，求 【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意

7、，故18、（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（）存在，使得；（）存在，使得.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】（）由于在上为奇函数，故令，则在上连续，在上可导，且，.由罗尔定理，存在，使得，即.（）考虑令，由于是奇函数，所以是偶函数，由（）的结论可知，.由罗尔定理可知，存在，使得，即.19、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为构造拉格朗日函数 由 得 点到原点的距离为，然后考虑边界点，即，它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为，最短距离为1. 20、

8、（本题满分11分）设函数（）求的最小值；（）设数列满足，证明存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】【详解】（）由题意，令，得唯一驻点当时，；当时，.所以是的极小值点，即最小值点，最小值为.（）由（）知，又由已知，可知，即故数列单调递增.又由，故，所以数列有上界.所以存在，设为A.在两边取极限得 在两边取极限得 所以即.21、（本题满分11分）设曲线的方程为满足（）求的弧长；（）设D是由曲线，直线，及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用形心【难易度】【详解】（）设弧长为，由弧长的计算公式，得（）由形心的计算公式，得.

9、22、（本题满分11分）设，当为何值时，存在矩阵C使得，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设.由可得 整理后可得方程组 由于矩阵C存在，故方程组有解.对的增广矩阵进行初等行变换：方程组有解，故，即，.当，时，增广矩阵变为为自由变量，令，代入相应齐次方程组，得令，代入相应齐次方程组，得故，令，得特解方程组的通解为（为任意常数）所以.23、（本题满分11分）设二次型，记，（）证明二次型f对应的矩阵为；（）若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】

10、【详解】（）证明：，其中所以二次型f对应的矩阵为.（）由于正交，故因均为单位向量，故，即.同理由于，故A有特征值.，由于，故A有特征值又因为，所以，故.三阶矩阵A的特征值为2，1，0.因此，f在正交变换下的标准形为.2014年考研数学二真题与解析一、选择题 18小题每小题4分，共32分当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知所以的可能取值范围是，应该选（B）2下列曲线有渐近线的是（A） （B）（C） （D）【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线应该选（C）3设函数具有二阶导数，则在上（ ）（A）当时， （B）

11、当时，（C）当时， （D）当时，【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断 显然就是联接两点的直线方程故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）4曲线 上对应于的点处的曲率半径是（ ）（）（）(）（）【详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径应该选（C）5设函数，若，则（ ）（）（）（）（）【详解】注意（1），（2）由于所以可知，6设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有

12、二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上【详解】 在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上所以应该选（A）7行列式等于（A） （B）（C） （D）【详解】应该选（B）8设 是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的（A）必

13、要而非充分条件 （B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 【详解】10设为周期为4的可导奇函数，且，则 【详解】当时，由可知，即；为周期为4奇函数，故11设是由方程确定的函数，则 【详解】设，当时，所以12曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为 【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，则在点处的切线方程为，即13一根长为1的细棒位于轴的区间

14、上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 【详解】质心坐标14设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是 【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是三、解答题15（本题满分10分）求极限【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解】16（本题满分10分）已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值【详解】解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，即 令，得，且可知；当时，可解得，函数取得极大值；当时，可解得，函数取得极小值17（本题满分10分）设平面区域计算【详解】由对称性可得18（本题满分1

15、0分）设函数具有二阶连续导数，满足若，求的表达式【详解】设，则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：其中为任意常数对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程通解为将初始条件代入，可得所以的表达式为19（本题满分10分）设函数在区间上连续，且单调增加，证明：（1） ；（2） 【详解】（1）证明：因为，所以即（2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以从而， 也是在单调增加，则，即得到20（本题满分11分）设函数，定义函数列，设是曲线，直线所围图形的面积求极限【详解】，利用数学归纳法可得，21（本题满分11分）已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的

16、体积【详解】由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数又因为，从而可知，得到令，可得且当时，曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为22（本题满分11分）设，E为三阶单位矩阵（1） 求方程组的一个基础解系；（2） 求满足的所有矩阵【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系（2）显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为其中为任意常数23（本题满分11分）证明阶矩阵与相似【详解】证明：设 ，分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：，所以A的个特征值为；而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角

17、化且；所以B的个特征值也为；对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且从而可知阶矩阵与相似2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、 选择题：（18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxd

18、x=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e-2-e-x2+=3e-2， 因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1”型极限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt

19、=ex(x0), fx在x=0处无定义，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)设函数fx=xcos1x, &x>0，0, &x0(>0,>0).若f'x在x=0处连续，则(A)->1 (B)0<-1(C)->2 (D)0<-2【答案】A【解析】易求出 f'x=x-1cos1x+x-1sin1x, &x>0，0, &x0再有 f+'0=limx0+fx-f0x=limx0+x

20、-1cos1x=0, >1,不存在，1， f-'0=0于是，f'(0)存在>1，此时f'0=0.当>1时，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -1>0,不存在，-10，因此，f'x在x=0连续->1。选A综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-,+)内连续，其f''(x)二阶导函数f''(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答

21、案】C【解析】f(x)在(-,+)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是f''x=0的点及f''(x)不存在的点。f''x的零点有两个，如上图所示，A点两侧f''(x)恒正，对应的点不是y=fx拐点，B点两侧f''x异号，对应的点就是y=fx的拐点。虽然f''0不存在，但点x=0两侧f''(x)异号，因而(0,f(0) 是y=fx的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(,)满足fx+y,y

22、x=x2-y2，则f=1=1与f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f

23、(rcos,rsin)rdr (B) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将Dfx,ydxdy化为累次积分。 D的极坐标表示为 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系

24、和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=11112a14a2,b=1dd2。若集合=1,2，则线性方程 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有无穷多解rAb=rA<3 A是一个范德蒙德行列式，值为a-1(a-2),如果a，则 A0，rA=3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d，则rAb=3，排除(C) 当a,d时，rAb=rA=2，Ax=b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D。【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。(8)设二次型f(x1,x

25、2,x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32,其中P=(e1,e2,e3),若Q=(e1,-e3,e2)在正交变换 x=Qy下的标准形为 (A) 2y12-y22+y32 (B) 2y12+y22-y32 (C) 2y12-y22-y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A 【解析】设二次型矩阵为A,则 P-1AP=PTAP=20001000-1 可见e1,e2,e3都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-e3也是A的特征向量，特征值为-1，因此 QTAQ=Q-1AQ=2000-10001 因此在正交变换x=Qy下的标准二次型为2y12-y22+y32

26、综上所述，本题正确答案是A。【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。二、填空题：(914)小题，每小题4分，共24分。(9)设x=acrtant ,y=3t+t3,则d2ydx2t=1= 【答案】48 【解析】由参数式求导法 dydx=yt'xt'=3+3t211+t2=3(1+t2)2 再由复合函数求导法则得 d2ydx2=ddx3(1+t2)2=ddt3(1+t2)2dtdx=6(1+t2)2t1xt' =12t(1+t2)2, d2ydx2t=1=48 综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学-一元函数微分学-复合函数求导(1

27、0)函数fx=x22x在x=0处的n阶导数fn0= 【答案】nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 【解析】 解法1 用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。 fnx=k=0nCnkx2k(2x)(n-k) 其中Cnk=n!k!n-k!,注意x2kx=0=0k2，Cn2=n(n-1)2,于是 fn0=Cn22(2x)(n-2)x=0=nn-1(ln2)n-2 (n2) f'0=0 因此fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 解法2 利用泰勒展开 fx=x22x=x2exln2=x2n=0(xln2)nn! =n=0lnn2n!xn+2=n=2lnn-22

28、n-2!xn 由于泰勒展开系数的唯一性，得lnn-22n-2!=fn0n! 可得fn0=nn-1(ln2)n-2(n=1,2,3,) 综上所述，本题正确答案是nn-1(ln2)n-2 (n=1,2,3,) 【考点】高等数学一元函数微分学高阶导数，泰勒展开公式(11)设函数fx连续，x=0x2xf(t)dt.若1=1，'(1)=5,则 f1= 【答案】2 【解析】改写x=x0x2f(t)dt,由变限积分求导法得 'x=0x2f(t)dt+xfx22x=0x2f(t)dt+2x2fx2 由1=1=01f(t)dt ，'1=01f(t)dt+2f1=1+2f1 可得f1=2

29、综上所述，本题正确答案是2 【考点】高等数学一元函数积分学变限积分函数的性质及应用(12)设函数y=yx是微分方程y''+y'-2y=0的解，且在x=0处 yx取得极值3，则yx= 【答案】e-2x+2ex 【解析】求yx归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题 y''+y'-2y=0y0=3，y'0=0 由特征方程2+-2=0 可得特征根 1=-2，2=1，于 是得通解 y=C1e-2x+C2ex 又已知 C1+C2=3-2C1+C2=0C1=1，C2=2 综上所述，本题正确答案是e-2x+2ex 【考点】高等数学常微分方程二阶常系数

30、齐次线性方程(13)若函数z=z(x,y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则 dz0,0= 【答案】-13dx-23dy 【解析】 先求z(0,0) ，在原方程中令x=0,y=0得 e3z=1 z0,0=0 方程两边同时求全微分得 ex+2y+3zdx+2dy+3dz+xydz+yzdx+xzdy=0 令x=0,y=0,z=0 得 dx+2dy+3dz0,0=0 dz0,0=-13dx-23dy 综上所述，本题正确答案是-13dx-23dy 【考点】高等数学-多元函数微分学-隐函数的偏导数和全微分(14)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，B=A2-A+E,其中E为3 阶单位矩阵，则行

31、列式|B|= 【答案】 21 【解析】 A的特征值为2,-2,1,则B的特征值对应为3,7,1 所以|B|=21 【考点】线性代数行列式行列式计算线性代数矩阵矩阵的特征值三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)设函数fx=x+aln1+x+bxsinx,gx=kx3,若fx与gx在x0时是等价无穷小，求a,b,k的值。 【解析】利用泰勒公式 fx=x+aln1+x+bxsinx =x+ax-12x2+13x3+ox3+bxx+16x3+ox3 =1+ax+b-a2x2+a3x3+ox3 当x0时，fxgx，则a=-1,b=-12,k=-13 【考点】

32、高等数学函数、极限、连续无穷小的比阶，泰勒公式(16)设A>0，D是由曲线段y=Asinx(0x2)及直线y=0,x=2所 围成的平面区域，V1,V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。若V1=V2，求A的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A>0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17)已知函数fx,y满足 fxy''x,y=2y+1ex,fx'x,0=x

33、+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的极值。 【解析】由 fxy''x,y=2y+1ex，得 fx'x,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fx'x,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,从而 fx'x,y=(y+1)2ex+x ex对x积分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fy'x,y=(2y+2)ex, fxx''x,y=(x+y2+2y+2)ex, fyy''x,y=2ex令fx&#

34、39;x,y=0，fy'x,y=0得驻点(0,-1)，所以A=fxx''0,-1=1 B=fxy''0,-1=0C=fyy''0,-1=2由于B2-AC<0，A>0,所以极小值为f0,-1=-1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】因为区域D关于y轴对称，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,

35、则 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重积分=4-25【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数 fx=x11+t2dt+1x21+tdt，求fx的零点个数 【解析】 f'x=-1+x2+2x1+x2,令f'x=0，得驻点x=12, 当x<12时，f'x<0, fx单调减少； 当x>12时，f'x>0, fx单调增加； 因为f1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零点。 又f12<f1=0,limx-fx=+，所以fx在(-，12)上存在

36、唯一零点。 综上可知，fx有且仅有两个零点。 【考点】高等数学一元函数微分学方程的根（零点问题）(20)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比。现将一初始温度为120的物体在20恒温介质中冷却，30min后该物体降温至30，若要将该物体的温度继续降至21，还需冷却多长时间？ 【解析】 设该物体在t时刻的温度为Tt，由题意得 dTdt=-k(T-20) 其中k为比例系数，k>0.解得 T=Ce-kt+20 将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100 将t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+2

37、0 令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21)已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数，fa=0,f'x> 0,f''x>0.设b>a,曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线与x轴 的交点是(x0,0),证明a<x0<b【解析】曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线方程是y-fb=f'b(x-b) ,解得切线与x轴交点的横坐标为 x0=b-f(b)f'(b)由于f'x>0，故fx单调增加。由b>a可知fb>

38、;fa=0.又f'b>0,故f(b)f'(b)>0,即有x0<b x0-a=b-f(b)f'(b)-a=b-af'b-f(b)f'(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=f'b-a,a<<b因为f''x>0，所以f'x单调增加，从而f'<f'b,故 fb<f'bb-a由此可知x0-a>0,即x0>a 综上所述，a<x0<b【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵A=a101a-101a,且A3=0 (1)求

39、a的值； (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为三阶单位矩阵，求X 【解析】(1) 由于A3=0，所以A=a101a-101a=a3=0于是a=0(2) 由于X-XA2-AX+AXA2=E所以 E-AXE-A2=E由(1)知E-A=1-10-1110-11,E-A2=001010-102因为E-A,E-A2均可逆，所以X=E-A-1E-A2-1=21-111-111020-1010100=31-211-121-1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵A=02-3-13-31-2a相似与矩阵B=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩阵P,使PAP-1为

40、对角矩阵。 【解析】(1) 由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr A=tr B,A=B于是 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩阵A=02-3-13-31-24,B=1-20050031由于矩阵A与矩阵B相似,所以E-A=E-B=-12(-5)故A的特征值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组E-Ax=0,得线性无关的特征向量1=210，2=-301当3=5，解方程组5E-Ax=0,得特征向量3=-1-11令P=1,2,3=10010-1011,则PAP-1=100010005，故P为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的相似对角化201

41、6年考研数二真题及答案解析一、选择题：18小题，每小题4分，32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的二、填空题914小题，每小题4分，共24分，请将所选项前的字母填写在答题纸制定位置上三、解答题，1523小题，共94分，请将所选项前的字母填写在答题纸制定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数在处连续，则（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在处连续选A.（2）设

42、二阶可导函数满足且，则（ ）【答案】B【解析】为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D.取满足条件，则，选B.（3）设数列收敛，则（ ）当时， 当时，当时， 当时，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A错；取，排除B,C.所以选D.（4）微分方程的特解可设为（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程为：故特解为：选C.（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数，所以有，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙

43、的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则，当时满足，故选C.（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,因此B正确。（8）设矩阵,则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值为2,2,1,因为，A可相似对角化，即由可知B特征值为2,2,1.因为，B不可相似对角化，显然C可相似对角化，但B不相似于C.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写

44、在答题纸指定位置上.(9) 曲线的斜渐近线方程为_【答案】【解析】 (10) 设函数由参数方程确定，则_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，则【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解析】交换积分次序：.（14）设矩阵的一个特征向量为，则【答案】-1【解析】设，由题设知，故故.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限【答案】【解析】，令，则有（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求，【答案】【解析

45、】结论：（17）（本题满分10分）求【答案】【解析】（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值【答案】极大值为，极小值为【解析】两边求导得： （1）令得对（1）式两边关于x求导得 （2）将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得将代入（2）得故为极大值点，；为极小值点，（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：方程在区间内至少存在一个实根；方程在区间内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】（I）二阶导数，解：1）由于，根据极限的保号性得有，即进而又由于二阶可导，所以在上必连续那么在上连续，由根据零点定理得：至少存在一点，使，即得证（II）由（1）可知，令，则由罗

46、尔定理，则，对在分别使用罗尔定理：且，使得，即在至少有两个不同实根。得证。（20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分。【答案】【解析】（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求L上点的坐标满足的方程。【答案】【解析】设的切线为，令得，法线,令得。由得，即。令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出,（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。证明：若，求方程组的通解。【答案】（I）略；（II）通解为【解析】（I）证明：由可得，即线性相关，因此，即A的特征值必有0。又因为A有三个不同

47、的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为（II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵.【答案】【解析】，其中由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则，由，可得A的属于特征值-3的特征向量为；由，可得A的属于特征值6的特征向量为由，可得A的属于特征值0的特征向量为令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，则，2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：

48、18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若,则（ ） 【答案】B（2）下列函数中,在处不可导是（ ）【答案】D（3）设函数，,若在上连续,则（ ） 【答案】D（4）设函数在0,1上二阶可导,且,则（A）当时, （B）当时, （C）当时, （D）当时, 【答案】D（5）设,则的大小关系为（A） （B） （C） （D）【答案】C（6）（A） （B） （C） （D）【答案】C（7）下列矩阵中,与矩阵相似的为【答案】A（8）设为n阶矩阵,记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（A） （B） （C） （D）【答案】A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) _ (10) 曲线在其拐点处的切线方程是_ (11) _(12) 曲线在对应点的曲率为（13）设函数由方程确定，则（14）设为3阶矩阵，为线性无关的向量组，若，则的实特征值为【答案】2三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写