行列式典型例题

1、.1第五节 典型例题 n阶行列式的计算是学习线性代数的基础，阶行列式的计算是学习线性代数的基础，在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌在以后的各章中都要用到它。这里主要应该掌握的基本方法是：握的基本方法是：1. 用用n阶行列式的性质把一般行列式化成阶行列式的性质把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。特殊行列式（如上三角行列式等）来计算。2. 用用n阶行列式的展开定理，把行列式按阶行列式的展开定理，把行列式按某一行（列）展开，即化高阶行列式为低某一行（列）展开，即化高阶行列式为低阶行列式来计算。阶行列式来计算。(Laplace定理定理)3. 其他方法：对于具有特殊形式的行列式，

2、其他方法：对于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等有一些特殊的方法：递推、归纳、加边等.2 证明证明用数学归纳法用数学归纳法21211aaD 12aa , )(21ijjiaa）式式成成立立时时（当当12 n证明范得蒙证明范得蒙(Vandermonde)行列式行列式例例1nijjinnnnaaaaaaaaaaaVnnn1212121)(111111222(1).3阶范德蒙行列式成立，1）对对1假设设n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaVnnnnnnnnn就有提出，因子列展开，并

3、把每列的公按第)(11aai.4)()()(211312jnijinnaaaaaaaaV).(1jnijiaa 223223211312111)()(nnnnnnaaaaaaaaaaaa n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式注意注意：范德蒙行列式是等于零：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至中至少有两元素相等少有两元素相等.5例例2计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.1112223

4、33222nnnVnnnn.6，于于是是得得到到增增至至幂幂次次数数便便从从则则方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，递递升升至至而而是是由由变变到到序序排排列列，但但不不是是从从次次数数自自左左至至右右按按递递升升次次方方幂幂数数的的不不同同方方幂幂中中各各行行元元素素分分别别是是一一个个10.1, 10, nnnDn解解.!1212121333122211111nnnVnnnnn.7上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1nnn

5、nnnnnnVnijjinaa.8nnnnnxaaaaxaaaaxaaaaxD321321321321例例3计算计算n阶行列式阶行列式加边法加边法：行列式的每行或每列除对角线上元素：行列式的每行或每列除对角线上元素外分别是某个数的倍数外分别是某个数的倍数.9)(321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxnnnnnD) 1(00001321321321321321nxaaaaxaaaaxaaaaxaaaannnnn .10) 1(00010001000100011332211321naxaxaxaxaaaannn 这种形式的行列式简称这种形式的行列式简称“两边加一对角线两边加一对

6、角线”行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行行列式，它必可利用行列式性质化为三角形行列式而求得其值，所以列式而求得其值，所以.11) 1(100010100100101000111333222111nxaaxaaxaaxaaDnnnn.12) 1(100000100000100000101)(33322211111nxaaxaaxaaxaaxaaxannnniiiiniii)1 () 1( )(11niiiinniiixaaxa)1 ( )(11niiiiniiiaxaax.13例例4xaaaaxaaaaxaaaaxDn计算计算n阶行列式阶行列式.14解解将左上角的将左上角的x改写为改写为(

7、x a)a，第一列的，第一列的( a)均均改写为改写为0( a)，于是第一列各元素均为两项，于是第一列各元素均为两项之和，于是之和，于是xaaaaaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaxDn000 11)()(nnnaxaDaxD即即（1）.15利用类似的方法，可得利用类似的方法，可得xaaaxaaaaxaaxaaaxDn0011)()(nnaxaDax（2）故从式故从式（1）与与（2）中可以消去中可以消去Dn-1)()(21nnnaxaxD.16xaaaaxaaaaxaaaaxDn例例5计算计算n阶行列式阶行列式.17解法解法1化为三角行列式化为三角行列式 此题的特点与此题的特点与2例例6

8、相同相同. 把各行都把各行都加到第一行上，然后提出公因式加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得得xaaaaxaaaaxaanxDn1111) 1( (-a)(-a)(-a).18axaxanx0000111) 1(1)() 1(naxanx.19解法解法2化为两边加一对角线行列式化为两边加一对角线行列式xaaaaxaaaaxaaaaxDn(-1)(-1)(-1) .20axxaaxxaaxxaaaax000000.211)() 1(naxanxaxaxaxaaaanx000000000) 1(.22加边法加边法将将Dn添加一行、一列，构成添加一行、一列，构成n+1阶行列式。阶行列式。

9、xaaaxaaaxaaaDDnn00011解法解法3 (-1)(-1)(-1).23把行列式的第把行列式的第2、3、n+1列分列分别提出公因子别提出公因子x-a，得，得axaxaxaaa00100100111010111axaaxa.241000010000101)(axaaxaaxaaxnaaxn1)() 1(naxanx.25解法解法4递推法递推法 将将Dn的第一列元素都写成两个元素之和，然的第一列元素都写成两个元素之和，然后将后将Dn拆成两个拆成两个n阶行列式的和，再利用递推关系阶行列式的和，再利用递推关系xaaaxaaaaaxDn00)(.26xaaaxaaaaaaaxaaax0011

10、)()(nnaxaDax122)()()(nnnaxaaxaDaxax122)(2)(nnaxaDax1)1(1)() 1()(nnnnaxanDax) 1()(11anDaxn1)() 1(naxanx.27例例6 计算行列式计算行列式21001200012100012100012nD.28解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将解：此类型行列式称为三对角线型，常采用方法是将两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法两条次对角线中某一条上元素全化为零或递推法.21001200012100012100012nD)21(.2921001200012100012/3000012)32(.3021001200013/4000012/3000012=.31nnnn/ ) 1(0001/ ) 1(00013/4000012/3000012=n+1.32例例7用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD .33的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3