第2章 2.1.3　推理案例赏析

1、.2.1.3推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的严密联络.利用合情推理和演绎推理进展简单的推理.重点、难点2.两种推理形式的详细格式.易混点小组合作型归纳推理的应用观察如图2­1­16所示的“三角数阵：图2­1­16记第n行的第2个数为ann2，nN*，请仔细观察上述“三角数阵的特征，完成以下各题：1第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；2依次写出a2、a3、a4、a5；3归纳出an1与an的关系式.【精彩点拨】1观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出1的结果.2由数阵可直接写

2、出答案.3写出a3a2，a4a3，a5a4，从而归纳出3的结论.【自主解答】1由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】6,16,25,25,16,62a22，a34，a47，a5113a3a22，a4a33，a5a44，由此归纳：an1ann.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：1通过观察个别对象发现某些一样性质；2从的一样性质中推出一个明确表述的一般性命题猜测.再练一题1.观察以下各式：1，12，39，.那么当n<m且m，nN时，_.最后结果用m，n表示【

3、解析】当n0，m1时，对应第1个式子1，此时1120m2n2；当n2，m4时，对应第2个式子12，此时124222m2n2；当n5，m8时，对应第3个式子39，此时398252m2n2.由归纳推理可知m2n2.【答案】m2n2类比推理的应用通过计算可得以下等式：23133×123×11；33233×223×21；43333×323×31；n13n33×n23×n1.将以上各等式两边分别相加，得n131331222n23123nn，即122232n2nn12n1.类比上述求法，请你求出132333n3的值. 【导学号

4、：01580039】【精彩点拨】解答此题要抓住各等式两边数的指数相类比.【自主解答】24144×136×124×11，34244×236×224×21，44344×336×324×31，n14n44n36n24n1.将以上各式两边分别相加，得n14144×1323n36×1222n24×12nn，1323n3n2n12.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者纯熟地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理

5、的步骤与方法1弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的细微差异.2把两个系统之间的某一种一致性相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的模糊认识说清楚.再练一题2.半径为r的圆的面积Sr·r2，周长Cr2·r，假设将r看作0，上的变量，那么·r22·r，式可用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，假设将R看作0，上的变量，请你写出类似于的式子：_；式可用语言表达为_.【解析】因为半径为R的球的体积VRR3，外表积SR4R2，类比r22r，得4R2.因此式应为：4R2.且式用语言表达为：球的体积函数的导数等于球

6、的外表积函数.【答案】4R2球的体积函数的导数等于球的外表积函数探究共研型合情推理与演绎推理的综合应用探究1我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列，请你给出“等积数列的定义.【提示】假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2假设an是等积数列，且首项a12，公积为6，试写出an的通项公式及前n项和公式.【提示】由于an是等积数列，且首项a12，公积为6，所以a23，a32，a43，a52，a63，即an的所有奇数项都等于2，所有偶数项都等于3，因此an的通项公式为an其前n项和公式Sn探究

7、3甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为A，B，C三个城市中的哪一个？【提示】由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.如图2­1­17所示，三棱锥A­BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.图2­1­171求证：O为BCD的垂心；2类比平面几何的勾股定理，猜测

8、此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.【精彩点拨】1利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为BCD的重心.2先利用类比推理猜测出一个结论，再用演绎推理给出证明.【自主解答】1证明：ABAD，ACAD，AD平面ABC，ADBC，又AO平面BCD，AOBC，ADAOA，BC平面AOD，BCDO，同理可证CDBO，O为BCD的垂心.2猜测：SSSS.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，BO，CO，由1知AD平面ABC，AE平面ABC，ADAE，又AOED，AE2EO·ED，2·，即SSBOC·SBCD.同理可证：SSCOD·SBCD，SSBOD

9、3;SBCD.SSSABDSBCD·SBOCSCODSBODSBCD·SBCDS.合情推理仅是“符合情理的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确前提和推理形式都正确的前提下.再练一题3.命题：“假设数列an是等比数列，且an>0，那么数列bnnN*也是等比数列.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.【解】类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：假设数列an是等差数列，那么数列bn也是等差数列.证明如下：设等差数列an的公差为d，那么bna1n1

10、，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列.1.设k棱柱有fk个对角面，那么k1棱柱对角面的个数为fk1fk_. 【导学号：01580040】【解析】k棱柱增加一条侧棱时，那么这条侧棱和与之不相邻的k2条侧棱可构成k2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以fk1fkk21fkk1.【答案】k12.假如一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条.这些直线中共有fn对异面直线，那么f4_；fn_.答案用数字或含n的式子表示【解析】所有顶点确定的直线共有：棱数底边数对角线数，即nn.f44×2×212，fnnn2×n2.【

11、答案】123.下面几种推理是合情推理的是_.填序号由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是n2·180°.【解析】是类比推理；是归纳推理；是归纳推理.所以、是合情推理.【答案】图2­1­184.如图2­1­18所示，我们知道，圆环也可以看作线段AB

12、绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积SR2r2Rr×2×，所以，圆环的面积等于以ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2×为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题：假设将平面区域Mx，y|xd2y2r2其中0<r<d绕y轴旋转一周，那么所形成的旋转体的体积为_.【解析】图中圆环的面积等于以ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成圆的周长2×为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知：将平面区域Mx，y|xd2y2r2其中0<r<d绕y轴旋转一周所形成的旋转体积的体积应等于以圆xd2y2r2围成的圆面为底面，以圆心d,0绕y轴旋转一周所形成的圆的周长2×d为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积Vr2·2d22r2d.【答案】22r2d5.在ABC中，假设C90°，那么cos2Acos2B1，用类比的方法，猜测三棱锥的类似性质，并证明你的猜测. 【导学号：01580041】【解】由平面类比到空间，有如下猜测：“在三棱锥P­ABC中，三个侧面PAB，PBC，P