第三节极限存在准则两个重要极限

1、1 极限存在准则极限存在准则 夹逼准则夹逼准则 单调有界数列单调有界数列 必有极限必有极限 柯西极限存在准则柯西极限存在准则 推出推出 推出推出 重要极限重要极限: 1sinlim0 xxx 重要极限重要极限: exxx11lim 应应 用用 21.1.极限存在准则极限存在准则 准则准则1：如果数列如果数列 满满足足下下列列条条件件：及及nnnzy,x ,lim,lim2, 3 , 2 , 11azaynzxynnnnnnn.lim,axxnnn且且的的极极限限存存在在则则数数列列 1准准则则 xhxfxgMxrxxU有有时时或或当当,10 ,lim,lim200AxhAxgxxxxxx .l

2、im,lim00Axfxfxxxxxx且且存存在在则则若若3准则准则2 ,1,显显然然不不能能发发生生情情形形对对于于单单调调有有界界数数列列的的几几何何解解释释：准准则则2. .1x2x3x. . .xA .1nxnxM 有有两两种种可可能能情情形形：只只可可能能向向一一个个方方向向移移动动单单调调数数列列的的点点,xn .1nnnxxx或或沿沿数数轴轴移移向向无无穷穷远远 .lim,2AxAxnnn即即无无限限趋趋近近于于某某个个定定点点nAxn收敛的数列一定有界，收敛的数列一定有界， 但有界的数列不一定收敛。但有界的数列不一定收敛。如果数列如果数列不仅有界，而且单调不仅有界，而且单调，那

3、么该数列的极限一定那么该数列的极限一定存在，存在， 即该即该数列一定收敛数列一定收敛。42.2.两个重要极限两个重要极限 1sinlim0 xxx exxx11lim 1sinlim xuxux 0lim xux xuxlim exuxux)()(11lim 0lim xuxexuxux)(1)(1limexxx101lim 变形变形 51.1.用夹逼准则用夹逼准则 （夹逼定理）证明或求极限（夹逼定理）证明或求极限 项项nnnnn2222212111项项nnnnnnn222222111项项nnnn111111222.,12111lim22222并并求求极极限限存存在在利利用用夹夹逼逼定定理理证

4、证明明nnnnn例例1 1：,n,knknnn211111222222解：解：nnn212212nn6,nnnnnnn11211121 222222即即, 021limnn2111limnnn, 0010由夹逼定理知：由夹逼定理知：且且存在存在,12111lim22222nnnnn. 012111lim22222nnnnn1lim2nnn7例例2 2 用夹逼准则证明：用夹逼准则证明： .1sinlim0 xxxoABCDx,xAOC,C,A在在单单位位圆圆周周上上如如图图：,OCDC,OCAB,OC且且是是半半径径,sinABAOABx于是有于是有,tanDCOCDCx,的长的长弧弧ACx 的

5、面积的面积的面积的面积扇形扇形的面积的面积而而DOCAOCAOC ,sin212121xABOCABSAOC ,tan212121xDCOCDCSDOC ,xSAOC21扇形扇形,tan2121sin21xxx,x0.x20 可可设设,x0先先设设证：证：,tansinxxx8,20 x,cos1sin1xxx 得得 1 ,cossin1xxx .102式式也也成成立立内内在在x 即即可可：下下面面只只需需证证明明1coslim0 xx,20,时时当当事实上事实上 x,coscos,sinsinxxxxxx, 0sinx,sin除除不不等等式式用用x,22222xx,2cos102xx 即即x

6、xcos11cos02sin22x9, 02,02xx时时当当, 1coslim0 xx由由夹夹逼逼定定理理知知： 式及夹逼定理得：式及夹逼定理得：再由再由1.1sinlim0 xxx：还还得得到到一一个个重重要要不不等等式式在在上上面面的的证证明明中中注注, 2 时时当当2sin xxx,21sin x .2,2式式仍仍成成立立时时当当 x10例例3 3 设设 , 2 , 10kiai求求 .lim21nnknnnaaa可以作为已知可以作为已知 极限的极限极限的极限 1lim),0( 1limnnnnnaa解：解： 则有则有 .21nnnknnkMaaaM设设 ,max21kaaaM而而 .

7、limlimMkMMnnn由夹逼定理由夹逼定理 .lim21Maaannknnn设设 ,max21kaaaM.21nnnknnkMaaaM112.2.用极限存在准则用极限存在准则2 2，证明并求函数的极限，证明并求函数的极限 例例4 4 设设 nx)., 2 , 1( ,211nxaxxnnn, 0, 01xa（1）证明：数列）证明：数列 单调减少且有下界；单调减少且有下界； （2）求）求 .limnnx证明：证明： （1）显然显然 .10nxn由于由于 ,221211axaxxaxxnnnnn数列数列 nx有下界；有下界； 又因为又因为 . 022121nnnnnnnxxaxxaxxxnx单

8、调减少。单调减少。 数列数列 （2）由（由（1）知，数列的极限必然存在，设）知，数列的极限必然存在，设 .limAxnn则则 ,21limlim1nnnnnxaxx,21AaAA即即解得解得 aAaA或或（舍去）。（舍去）。 12例例5 5 设设 , 2 , 1,6,1011nxxxnnnx证明数列证明数列 有极限，有极限， 并求并求 .limnnx证明：证明： 用数学归纳法证明数列用数学归纳法证明数列 nx单调递减。单调递减。 因为因为., 4,102121xxxx设当设当 kn 时，时， ,1kkxx由于由于 ,66211kkkkxxxx得到得到 1 kn时，时， ,21kkxx由此可知由

9、此可知 nx单调递减。单调递减。 即即 ,Nn都有都有 .1nnxx所以所以 nx有极限。有极限。 不妨设不妨设 ,limAxnn,6limlim1nnnnxx则则 ,6AA解得解得 , 23AA或或（舍去）（舍去） . 3limnnx显然有显然有 , 0nx即即 nx有下界。有下界。 13xxxxxcos1limsinlim00111解解xxxxxx3131sinlim31sin2limxx32xxx3131sinlim32xxxtanlim0求求例例6 6： xxxxxxxcos1sinlimtanlim00解：解：xxx31sin2lim求求例例7 7： 323.3.两个重要极限的应用两

10、个重要极限的应用 244tantanlim4 xxxxxxxtan14)4(tanlim4 41tanlim4 xxx求求例例8 8： 41tanlim4 xxx解：解： 1sinlim xuxux 0lim xux114xxxa1lim求求例例9 9： ,1lim1limaaxxxxxaxa解：解：,1limexaaxx由于由于 令令 ,1uxaax由复合函数求极限的法则：由复合函数求极限的法则： .lim1limaaeuxxeuxaaxxexa1lim如如 xxx21lim.2 exxx321lim321limxxx32 e6 e xuxlim exuxux)()(11lim15xxx12

11、1xx121,tx112令令则则,tx12 ,x时时当当.t1211lim11limttxxtxx211limttt2 exxxx11lim求求例例1010：xxx11解：解：21121lim121limexxxxxx另解：另解： 16exxxxcxx11lim11lim111limcxx例例11 11 xxxx23lim求求解：解：xxxxxxx211lim23lim22211limxxx1212211lim211limexxxxx令令 ,123txx则则 ,12tx且当且当 x时，时， . 0t11201lim23limetxxttxx另解：另解： 17 ，若若axvxuxxlim ,li

12、m axvxuxexu)()()(11lim例例12 12 .1cos1sinlimxxxx求求极极限限解：解：2 21cos1sinlim1cos1sinlimxxxxxxxx22sin1limxxx2 2sin 2sin12sin1limxxxxxx22sin 2sin12sin1limxxxxe18 无穷小无穷小 高阶无穷小高阶无穷小 同阶无穷小同阶无穷小 低阶无穷小低阶无穷小 等价等价 无穷小无穷小 等价无穷小等价无穷小 的充要条件的充要条件 等价无穷小等价无穷小 的替换的替换 特例特例 19,tan,sin,3 ,02都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxx ,xxlimx03 20而

13、而,xxsinlimx201sintanlim0 xxx,xx,x“快些”“快些”比比的过程中的过程中在在03002,xx“慢些”“慢些”比比反过来反过来0032.xtanxsin“快慢相仿”“快慢相仿”与与00.比较比较慢”程度称为无穷小的慢”程度称为无穷小的比较无穷小的这种“快比较无穷小的这种“快两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小趋于零的趋于零的“快慢快慢”程度程度20. 0, 的的无无穷穷小小是是在在同同一一个个极极限限过过程程中中、设设1. 1.定义：定义： ,o, 记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比则称则称,lim0 如如果果,li

14、m 如如果果,低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比则称则称 ;,clim是是同同阶阶无无穷穷小小与与则则称称如如果果 0阶阶无无穷穷小小。是是是是关关于于则则称称如如果果k,climk 0,lim1 如果如果., 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称21, 设设 1limlim 则则1lim 0 .o,o 即即 ,o 设设 o limlim则则 o1lim1 证：证：是是等等价价无无穷穷小小与与 . o定理定理1 1：,lim, 存存在在且且设设 limlim 则则 2定定理理 limlimlim lim limlim证：证：3.等价无穷小的替换定理等价无穷小的替换定理 2.等价无穷小

15、的充要条件等价无穷小的充要条件 221.1.确定无穷小的阶确定无穷小的阶 例例1 当当 0 x时，下列函数分别为时，下列函数分别为 x的几阶无穷小？的几阶无穷小？ .2coscos(4) ;1tan)3(;11(2) ;tansin)1(2xxxxxxxxxx解：解： 1tansinlimtansinlim)1(020 xxxxxxxxx所以所以 xxtansinx的的2阶无穷小。阶无穷小。 是是 1112lim11lim(2) 0 x0 xxxxxxxx所以所以 x的同阶无穷小。的同阶无穷小。 是是 xx112311tan1tanlim)3(220 xxxxxxxxxx所以所以 x的的2阶无

16、穷小。阶无穷小。 是是 xxxx1tan22sin2sin2sin21cos2coscos(4)222xxxxxxxx2coscos所以所以 x的的2阶无穷小。阶无穷小。 是是 确定无穷小的阶这类问题的一般方法是：确定无穷小的阶这类问题的一般方法是： （1）通过求极限的方法来确定无穷小的阶；）通过求极限的方法来确定无穷小的阶； （2）利用无穷小的替换。）利用无穷小的替换。232sin2sin2lim2coscoslim222020 xxxxxxxx24例例2 当当 0 x时，时， xxxxkxxcosarcsin12 与与是等价无穷小，则是等价无穷小，则 k = ？ 。（2005年研究生入学试

17、题年研究生入学试题,数学二）数学二）解解 200cosarcsin1lim)()(limkxxxxxxxx xxxkxxxxxcosarcsin1cosarcsin1lim20 xxxkxxxxxcosarcsin1arcsin2sin2lim220 xxxkxxxxxxcosarcsin1arcsin2sin2lim2220143k43k212125xxxx2sin4lim 30求求例例3 3：,22sin,44,03xxxxxx时时当当解：解：. 224lim2sin4lim030 xxxxxxx2.2.利用无穷小的替换定理求极限利用无穷小的替换定理求极限 162124limcos124t

18、anlim22020 xxxxxxxxxcos124tanlim20求求例例4 4：,2cos1 ,44tan,02xxxxx时时当当解：解：26,1212sin, 22xxxxx时时当当解：解：xxxxxxxx112sinlim12sinlim22xxxx112lim2212lim22xxx12sinlim2xxxx求求例例5 5：（2005年研究生入学试题年研究生入学试题,数学三）数学三）熟练运用经常用到的等价无穷小的替换熟练运用经常用到的等价无穷小的替换 当当 0 x 时，时， xxxxx arctanarcsintansin ,1lnxx ,21cos12xx ,1xex .11xaxa ,ln1axax 27 xxxxxx1lncos11cossin3lim20求求例例6 6：,1ln,0 xxx 时时当当解：解： xxxxxx1lncos11cossin3lim20 xxxxxxcos11cossin3lim2023cos11cossin3lim0 xxxxxx11sin1