动力学基本定律和守恒定律0001

1、第2章动力学根本定律补充题1. 一质量为m的质点以不变速率 v沿T2-2-10图中正三角形 ABC 的水平光滑轨道运动质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小为. 3mv2.2. 一质点受力F = 3x i (SI)作用,沿x轴正方向运动.在从x = 0到x =2m的过程中，力F作功为8 J_3. 一个质点在几个力同时作用下的位移为:.订=4i - 5j 6k (SI),其中一个恒力为F - -3i -5j 9k (SI)这个力在该位移过程中所作的功为 67 J4. 一质点在如下图的坐标平面内作圆周运动，有一力F = F0 (xiy j )作用在质点上.在该质点从坐标原点运动到(0,2R)位

2、置过程中，力 F对它所作的功为=2F0R2T2-2-14 图25.质量为m = 0.5kg的质点在xOy平面内运动，其运动方程为 x = 5t, y = 0.5 t (SI),从t = 2s到t = 4s这段时间内，外力对质点作的功为 3J6. 一长为I，质量为m的匀质链条，放在光滑的桌面上，假设其长度的1将其慢慢拉回桌面，需做功 mgl.501/5悬挂于桌边下,27 一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F二一k/r的作用下，作半径为 r的圆周运动，此质点的速度 v =mr假设取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能E =k2r8.两小球的质量均为 m,小球1从离地面高为h处由静止下落， 小球

3、2在小球1的正下方地面上以初速 vo同时竖直上抛设空气 阻力与小球的速率成正比，比例系数为k 常量.试求两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度.解：两小球均受重力和阻力的作用. 所受合力为-kv- mg小球2向上运动， 故两小球的动力学方程具有如下相同的形式 d2y.m 2kv - mgdt2k=kv -g别离变量mdvdt十dtv _ g m t = 0 时，dv k v - g m小球 1向下运动，速度为负，阻力 -kv沿+y向， 速度为正，阻力、重力均沿-y向，合力亦为-kv -mg,由动力学方程1有匹dthvoOA2-3-2 图对小球其初始条件为Vi'DV10 = 0 ,

4、tdt0yio = h .积分(2)式对小球其初始条件为t = 0-kt(1 - e m )k时，V20 = V0 , y20 = 0.积分(2)式 v2 dvV0v - gmmgV1 二对小球dyi由3式有 匸一哑仆dt k对小球dtktv2=v° 字emk-kt-em，利用初始条件积分得mgkyiJkt-e m )-mg tk由4式利用初始条件积分得my2 兀(V0kt罰1"一卞mg1两小球相遇时，y1 = y2，由5、式可得相遇时间* mkhtln(1 )kmvo 将 代入或式得相遇地点为y =(1 mg)hkvomvo 将式分别代入 和中可得相遇速度:vi -mgk

5、1 - (1 -kh ) mvoghvoV2 =(Vo 罗)(1kkh)_mvomgk-(Vo -gh)khVo(8)(9)(io)9.一水桶以匀角速度绕自身轴z转动，水相对圆筒静止，求水 面的形状z - r关系.解：以水外表任一小体积隔离体 mg及水对水面m的作用力N 水面, m作匀速圆周运动m作为研究对象, 稳定时无切向力m受力为重力见 A2-3-6 图Z方向 N cost-r方向由1、2式有a = - -mg 二 0二 m 2r 时2rt a n 二gzr '22r(1)dr积分有zdz =( )rdrzo0 g严 2、2 +=()r zo 2g水面是旋转抛物面10.女口 T2-

6、3-9图所示,砂子从h= 0.8m高处下落到以zNzrZoOA2-3-7 图3 m mg3 m s-1的速率水平向右运动的传送带上.取重力加速度 g= 10 ms-2，求传送带给予沙子的作用力.11( B ? * S ? B© © © ©T2-3-9 图dtA2-3-10 图方向相反，即大小为解：设单位时间内落到传送带上砂子的质量为p.以tt dt时间内落下的砂子 dm为研究对象，视为质点 d m = pdt根据质点的动量定理，在 dm落到传送带上到与传送带一起运动的过程中dI 二 Fdt 二 dm v -dm v0式中v = 3 m s', v

7、0 二 2gh = 2 10 0.8 = 4 m s'F = p v - Vo由A2-3-9矢量图可见，F与水平方向夹角为i vo40,-tg -tg 53v311. 矿砂从传送带 A落到另一传送带B如T2-3-10图，其速度的大小Vi =4m£，速度 方向与竖直方向成 30°角；而传送带B与水平线成15°角，其速度的大小v2=2ms'.如 果传送带的运送量恒定， 设为qm二2000kg h J ,求矿砂作用在传送带 B上的力的大小和方向.B15T2-3-10 图解：设在极短时间 t内落在传送带B上矿砂的质量为m,即m =qmt，女口 A2-3-1

8、0矢量图所示，矿砂动量的增量:mv 二 mv2 - mv1设传送带对矿砂平均作用力为F ,由动量定理，F t = mv 二 mv2 - mv1二 |mv2j.： 2 丄 2-F = q；vv -2v1v2cos75422 -2 4 2 COS75 二 2.21 N3600方向由正弦定理确定：空叱=诞 t日=29：sin75sin 日由牛顿第三定律，矿砂作用在传送带 B上作用力与F大小相等, 2.21N，方向偏离竖直方向1°,指向前下方.12. 高为h的光滑桌面上，放一质量为 M的木块质量为 m的子弹以速率vo沿图示方向(图中v角)射入木块并 与木块一起运动.求：(1) 木块落地时的速

9、率；(2) 木块给子弹的冲量的大小.T2-3-14 图解：(1) m和M完全非弹性碰撞，水平方向无外力，系统水平动量守恒mv0 c o § = (m M )vm和M 起由桌边滑下至落地，无外力，只受重力(保守内力)作用，系统机械能守恒-(m M )v22(m M )gh式得m和M落地的速率(2)对m用质点的动量定理， M对m的冲量的两个分量为,、mMv0cosTlx 二 mv - mv0 cosm MI y = 0 -(-mv0si n) = mv0si nM对m的冲量的大小为2x-12MV。cost =/ )(mv0 si n"2以地面为重力势能零点，13 一人从10m深

10、的井中提水，起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水.求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功.解：如下图，以井中水面为坐标原点，以竖直向上为 y正方向.因为匀速提水， 所以人的拉力大小等于水桶和水的重量，它随升高的位置面变化而变化，在高为y处，拉力为F = mg - kgyA2-3-15 图式中 m = (10 T) = 11 kg, k =0.2kg m . 人作功为hA 二 F dy = 0 (mg -kgy)d y10=(11 x9.80.2><9.8y)dy-980 (J)14有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经

11、一垂直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率 v水平地运动.忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问:(1) 假设每秒有质量为 AM =巴 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，d t需要多大的功率？(2) 假设厶M =20kg s',v =1.5m s',水平牵引力多大？所需功率多大？解：(1)设t时刻落到皮带上的砂子质量为M，速率为v;t + d t时刻，皮带上砂子的质量为M dM，速率也是v.根据动量定理，砂子在 d t时间受到的冲量Fdt 二 M dM v - Mv dM 0 二 dM v所以得dt由牛顿第三定律，砂子对皮带的作用力大小也是F.为维持皮带

12、作匀速运动，动力源对皮带的牵引力大小也等于F，且与F同向，因而，动力源提供的功率为22 dMp=F v=v M = v dt(2)将题中数据代入(1)中结果得水平牵引力大小为F0 ：M 型-1.5 20 =30Ndt所需功率 p=v2 ：M -1.5220 =45W15.两物块分别固结在一轻质弹簧两端，放置在光滑水平面上先将两物块水平拉开，使弹簧伸长I，然后无初速释放.：两物块质量分别为m1, m2和弹簧的的劲度系数为V1、V2,那么在T2-3-20 图m1 km2k,求释放后两物块的最大相对速度.解：选地面参考系，考查(m1-m2 -弹簧)系统 无水平外力，系统动量守恒设两物块相对速度最大时

13、，两物块的速度分别为x向有m1v1m2v2 = 0无非保守内力，系统机械能守恒，最大相对速度对应其初势能全部转化为动能，有1 kl 1 mM1 m2v22 2 2联立式可得,mi(mi m2)gkl2m2(mi m两物块的最大相对速度的大小为mm2一v2 =v1m2(m1m2 )klm1 m216.水平面上有一质量为 M、倾角为v的楔块； 下滑.求m滑到底面的过程中， m对M作的功一质量为m的小滑块从高为h处由静止 W及M后退的距离 S.忽略所有摩擦解：如A2-3-21a图所示,m相对于地的速度为 对mM作的功为设m相对于M的速度为在m下滑、同时M 统，系统在1 MV 22后退的过程中，以x向

14、不受外力，动量守恒(1)VM hxMV mvx = 0对m + M +地球系统，m与M之间的一对正压力 作功之和为零，只有保守力作功，系统机械能守恒1 1?mvX +v： +MV(m + M)为系VyvA2-3-21(a)图M hST2-3-21 图由相对运动关系v = v：V得V (-vx/tan联立-式解得2Mgh cos 日丄MM丄2口(1)( sin 旳m m设下滑时间为T,由2式,TTM Vdt m Vxdt =0位移关系:由5、6式解得MS - mSm = 0h(1 叫tanm17.地球可看作半径 R = 6400km的球体，一颗人造地球卫星在地面 上空h = 800 km的圆形轨

15、道上以Vi=7.5 km s-1的速度绕地球运行.今 在卫星外侧点燃一个小火箭，给卫星附加一个指向地心的分速度V2 =0.2 km s-1 问此后卫星的椭圆轨道的近地点和远地点离地面各多少 公里？OT2-3-22 图解：火箭点燃处即为卫星由圆轨道转为椭圆轨道的转轨点.设此处卫星对地心的位矢为r ,卫星的速度应为 V =V1 * V2对卫星，在转轨点所受的力反冲力和地球引力和在其他位置所受的力地球引力 均指向地心，对地心外力矩为零，所以卫星在运动过程中角动量守恒.对卫星和地球系统，只有万有引力作功，满足机械能守恒. 设卫星在近远地点时，位矢为r，速度为v ',对卫星，由角动量守恒得对卫星+地球系统，由机械能守恒定律，有rmv = r mv1 2 22