第2章 2.1.1　第2课时　类比推理

1、.第2课时类比推理1结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进展简单的推理重点、难点2区别归纳推理与类比推理，理解合情推理的合理性易混点根底初探教材整理1类比推理阅读教材P67“例1以上部分，完成以下问题根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或一样，推演出它们在其他方面也相似或一样，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论1判断正误：1类比推理是特殊到特殊的推理2类比推理的结论一定正确【答案】122对命题“正三角形的内切圆切于三边中点可类比猜测：正四面体的内切球切于四面各正三角形的_【解析】“边的中点类比为“各面的中心【答案】中心教材整理2合情推理

2、阅读教材P68“练习以上部分，完成以下问题1合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和理论的结果，以及个人的经历和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理2合情推理的特点1合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜测的成分，因此推理所得的结论未必正确；2合情推理具有猜测和发现结论，探究和提供证明的思路和方向的作用如图218所示，由假设干个点组成形如三角形的图形，每条边包括两个端点有nn1，nN*个点，每个图形总的点数记为an，那么a6_，an_n1，nN*图218【解析】根据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a63631

3、5.由n2,3,4,5,6的图形特点归纳得an3n3n1，nN*【答案】153n3质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型数列中的类比推理在等差数列an中，假设a100，那么有等式a1a2ana1a2a19nn19，nN*成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，假设b91，那么有什么样的等式成立？【精彩点拨】在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂【自主解答】在等差数列an中，a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1.又由a100，得a1a

4、19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，假设a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应的，在等比数列bn中，假设b91，那么可得b1b2bnb1b2b17nn0，那么数列dn_nN*也是等比数列【解析】和类比积，高类比开方，因此dn【答案】类比推理在几何中的应用如图219所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是ABC三条边上的高，P为ABC内任意一点，P到相应三边的间隔 分别为pa，pb，pc，可以得到结论1.图219证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明【精彩点拨】三角形类比四面体，三角

5、形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高【自主解答】，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.类比上述结论得出以下结论：如下图，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的间隔 ，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的间隔 分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论1.证明如下：，同理，.VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，1.1一般地，平面图形与空间图形类比方下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤1找出两类事物之间的相似性或一致性；2用一类事物的性质推测另一类事

6、物的性质，得出一个明确的结论再练一题2在上例中，假设ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由abcos Cccos B可类比四面体的什么性质？【解】在如下图的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜测SS1cos S2cos S3cos .探究共研型类比推理在其他问题中的应用探究1鲁班创造锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子能“锯开木材，它们在功能上是类似的因此，它们在形状上也应该类似，“锯子应该是齿形的你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推

7、理探究2在计算“1223nn1时，有如下方法：先改写第k项：kk1kk1k2k1kk1，由此得12123012，23234123，nn1nn1n2n1nn1，相加得1223nn1nn1n2类比上述方法，请你计算“1324nn2，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为_【提示】13129017，242311129，3534132311，nn2nn12n7n1n2n5，各式相加，得132435nn2nn12n7椭圆具有性质：假设M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线1a0

8、，b0具有类似特征的性质，并加以证明【精彩点拨】双曲线与椭圆类比椭圆中的结论双曲线中的相应结论理论证明【自主解答】类似性质：假设M，N为双曲线1a0，b0上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下：设点M，P的坐标分别为m，n，x，y，那么Nm，n因为点Mm，n是双曲线上的点，所以n2m2b2.同理y2x2b2.那么kPMkPN定值1两类事物能进展类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征2进展类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的特征去推测另一类

9、对象的特征，从而得到一个猜测再练一题3三角形的面积为Sabcr，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_【解析】ABC的内心为O，连结OA，OB，OC图略，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有VS1S2S3S4r.【答案】S1S2S3S4rS1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径构建体系1在平面上，假设两个正三角形的边长的比为12，那么它们的面积比为14，类

10、似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为12，那么它们的体积比为_【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故假设两个正四面体的棱长的比为12，那么它们的体积之比为18.【答案】182正方形的面积为边长的平方，那么在立体几何中，与之类比的图形是_，结论是_. 【导学号：01580033】【答案】正方体正方体的体积为棱长的立方3在公比为4的等比数列bn中，假设Tn是数列bn的前n项积，那么有，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列an中，假设Sn是an的前n项和可类比得到的结论是_【解析】因为等差数列an的公差d3，所以S30S20S20S10a21a22a30a11a12a2010d10d10100d300，同理可得：S40S30S30S20300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.【答案】数列S20S10，S30S20，S