高数不定积分

1、不定积分第四章 定积分与不定积分重难点解析（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明 1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。而表达式F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）的不定积分。2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因此求f（x）的不定积分f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即f（x）dx = F（x）+C。3. 原函

2、数F（x）与不定积分f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2 + C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。4. f（x）的不定积分f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在

3、其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分 dx  都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。1.     第一换元积分法（凑微分法）：根据一阶微分形式的不变性，若 dF（u）=f（u）du 则 dF（u（x）=f（u）du利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：fu（x）du（x）= f（u）du （ 令u = u（x）

4、= F（u）+ C （ 求积分） = F（u（x）+ C （ 令 u = u（x） 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。 2.     第二换元积分法：令x=（x），常用于被积函数含 或 等形式。3. 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。（三）关于积分形式不变性如果f（x）dx=F（x）+C，那么有f（u）du=F（u）+C，其中u =（x）是x的可微函数。这个道理说明：（1）.积分变量x无论是自变量，还是中间变量，积分公式的形式不变，这一特性

5、叫做积分形式不变性。 （2）.根据这个定理，基本积分公式中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。 （四）分部积分法设u=u（x），v=v（x）是可微函数，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函数，则有分部积分公式：u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-v（x）u/（x）dx或 udu = uv - vdu当被积分函数是两个函数的乘机形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当的选择谁做u，谁做v/。如果选择不当，就有可能求不出积分的结果或者计算很困难

6、，一般说来选择u和v/的原则是：1. 根据v/容易求出v； 2. vu/dx要比u v/dx容易计算。 （五）关于定积分的定义9 由定积分的定义可以看出，定积分是一个数值，这个数值与被积函数f（x）及积分区间a，b有关，与区间a，b的分法和点的取法无关，而且与积分变量用什么字母也无关，所以有f（x）dx= f（t）dt = f（u）du函数f（x）在a，b上可积的条件与f（x）在a，b上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即f（x）在a，b上有以下关系： 可导 连续 可积反之都不一定成立 （六）有关定积分的性质 在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：

7、 f（x）dx = - f（x）dx  f（x）dx=0 1dx = b- a 定积分关于积分的区间的 可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即， f（x）dx + f（x）dx = f（x）dx  （七）关于牛顿- 莱布尼茨公式  牛顿-莱布尼茨公式不仅在定积分这部分内容中，而且在整个微积分学中都是一个重要的结论，主要表现在以下方面：1. 当被积函数连续时定积分的计算可通过求原函数来进行：若F（x）是f（x）的一个原函数，则 f（x）dx =F（b）- F（a） 因此这个公式揭示了定积分与不定积分的本质联系。这种本质的联系还可以由下

8、列两个公式来阐明：  f（x）dx = f（x） f（t）dt = f（x） （八） 换元积分法的运用  定积分的换元法与不定积分的换元法类似，差别在于：在定积分的换元积分法中，每进行一次变量替换，同时要将定积分的上下限做相应的改变，而在关于新的积分变量的原函数求出后，不要将新的变量解换成旧积分变量。 （九） 定积分的应用 定积分的几何应用：记住面积、弧长和旋转体积的计算公式。对于面积的问题，选择合适的积分变量，有时可简化计算；对于弧长问题，要先计算 ；对 于旋转体积问题，要分清是绕轴OX还是绕OY轴旋转。 （十）关于广义的

9、积分 广义积分是定积分的推广，以无穷积分为例，我们知道  f（x）dx = f（x）dx 要记住 的收敛性。  在计算收敛的广义积分时也有类似于牛顿-莱布尼茨公式的计算式，即若F（x）是f（x）的一个原函数，则  f（x）dx = F（x） = F（+）- F（a） 其中F（+）表示极限 F（b），如果此极限存在，则广义积分收敛，且即可由此求出其值，如果此极限不存在，则广义积分发散。在求广义积分的值时，也有与定积分类似的换元积分法和分部积分法。三角函数求导公式  (sinx)' = cosx(cosx)' = - si

10、nx(tanx)'=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2-(cotx)'=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2(secx)'=tanx·secx(cscx)'=-cotx·cscx(arcsinx)'=1/(1-x2)1/2(arccosx)'=-1/(1-x2)1/2(arctanx)'=1/(1+x2)(arccotx)'=-1/(1+x2)(arcsecx)'=1/(|x|(x2-1)1/2)(arccscx)'=-1/(|x|(x2-1)1/2)(si

11、nhx)'=coshx(coshx)'=sinhx(tanhx)'=1/(coshx)2=(sechx)2(coth)'=-1/(sinhx)2=-(cschx)2(sechx)'=-tanhx·sechx(cschx)'=-cothx·cschx(arsinhx)'=1/(x2+1)1/2(arcoshx)'=1/(x2-1)1/2(artanhx)'=1/(x2-1) (|x|<1)(arcothx)'=1/(x2-1) (|x|>1)(arsechx)'=1/(x(1-

12、x2)1/2)(arcschx)'=1/(x(1+x2)1/2) 21、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB   sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB   cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtan

13、A+    tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA+- cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB+    cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB-+ 2、倍角公式 tan2A =Atan12tanA2-    Sin2A=2SinACosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 3、

14、半角公式 sin(2A)=2cos1A-   cos(2A)=2cos1A+ tan(2A)=AAcos1cos1+-   cot(2A)=AAcos1cos1-+   tan(2A)=AAsincos1-=AAcos1sin+ 4、诱导公式  sin(-a) = -sina    cos(-a) = cosa sin(2p-a) = cosa&#

15、160;   cos(2p-a) = sina    sin(2p+a) = cosa  cos(2p+a) = -sina sin(-a) = sina   cos(-a) = -cosa   sin(+a) = -sina   cos(+a) = -cosa tgA=tanA =aacossin 5、万能公式 sina=2)2(tan12tan2aa+    cosa=22)2(tan1)2(tan1aa+-    tana=2)2(tan12tan2aa- 6、其他非重点三角函数 csc(a)