鲁棒控制器设计1

1、鲁棒控制系统鲁棒控制系统 参数变化；参数变化； 未建模动态特性；未建模动态特性； 平衡点的变化；平衡点的变化； 传感器噪声；传感器噪声； 不可预测的干扰输入不可预测的干扰输入；鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统的特点鲁棒控制系统的特点 灵敏度低灵敏度低在参数的允许变动范围内能保持稳定在参数的允许变动范围内能保持稳定当参数发生较剧烈变化时，能够恢复和保持预期性能当参数发生较剧烈变化时，能够恢复和保持预期性能鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系

2、统鲁棒性分析鲁棒性分析系统设计目标是输入的跟踪误差系统设计目标是输入的跟踪误差 e(t) 保持在很小的范保持在很小的范围内，同时将干扰围内，同时将干扰 d(t) d(t) 引起的输出维持在较低水平引起的输出维持在较低水平上。上。鲁棒控制系统鲁棒控制系统系统对受控对象的灵敏度为系统对受控对象的灵敏度为1( )1( ) ( )cS sG s G s当当 时，闭环系统的传递函数为时，闭环系统的传递函数为 ( )1pGs ( ) ( )( )1( ) ( )ccG s G sT sG s G s于是有于是有( )( )1S sT s由灵敏度函数定义可知，要提高鲁棒性，就必须减小由灵敏度函数定义可知，要

3、提高鲁棒性，就必须减小 S(s) 的取的取值。值。鲁棒控制系统鲁棒控制系统加性摄动加性摄动受控对象模型可描述为受控对象模型可描述为( )( )( )aG sG sA s幅值有界的摄动幅值有界的摄动假设假设 和和 在在s s右半平面上极点个数相同右半平面上极点个数相同( )aG s( )G s那么，若对于所有那么，若对于所有 w 都有都有()1()A jG j则系统的稳定性不变则系统的稳定性不变鲁棒控制系统鲁棒控制系统乘性摄动乘性摄动受控对象模型可描述为受控对象模型可描述为( )( )1( )mGsG sM s幅值有界的摄动幅值有界的摄动假设假设 和和 在在s s右半平面上极点个数相同右半平面上

4、极点个数相同( )mGs( )G s那么，若对于所有那么，若对于所有 w 都有都有1()1()M jG j则系统的稳定性不变则系统的稳定性不变.-鲁棒性稳定判据鲁棒性稳定判据鲁鲁 棒棒 控控 制制 系系 统统n 常用乘性摄动来描述受控对象的不确定性常用乘性摄动来描述受控对象的不确定性n 乘性摄动更符合直觉乘性摄动更符合直觉n 在低频段对象模型精确，乘性摄动较小在低频段对象模型精确，乘性摄动较小n 在高频段对象模型不够精确，乘性摄动较大在高频段对象模型不够精确，乘性摄动较大鲁棒控制系统鲁棒控制系统具有不确定参数的系统具有不确定参数的系统假设系统的特征多项式为假设系统的特征多项式为其系数满足其系数

5、满足我们称为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所我们称为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所有有可能的参数组合，这是个无穷检验问题。可能的参数组合，这是个无穷检验问题。 前苏联数学家前苏联数学家 KharitonovKharitonov于于19781978年给出了关于判断区间多年给出了关于判断区间多项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统的的鲁棒性分析奠定了基础。鲁棒性分析奠定了基础。1110( ) nnnnf sa sasa sa,0 , 1 , 0,iiiiiaaniaaa鲁棒控制系统鲁棒控制系统Kharito

6、novKharitonov定理：定理： (1)(1)中的每一个多项式均稳定当且仅当中的每一个多项式均稳定当且仅当下面的四个多项式稳定下面的四个多项式稳定注：定理中的四个多项式通常被称作注：定理中的四个多项式通常被称作KharitonovKharitonov顶点多项顶点多项式。式。KharitonovKharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无穷定理的意义在于它将区间多项式中无穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。无穷检验变为有限检验（顶点检验）。554433221045544332210355

7、44332210255443322101)()()()(sasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasP鲁棒控制系统鲁棒控制系统考虑下图所示的闭环系统考虑下图所示的闭环系统其中其中 miiiiiniiiirrrsrrsDsqsNrsDsNrsG00,),(,)(,),()(),(闭环传递函数为闭环传递函数为 ),(1),(),(rskGrsGrsGCLGGclcl( (s s) )的分母为的分母为)(),(skNrsD-G(s)kuy鲁棒控制系统鲁棒控制系统例：1122),(12233423srsrsrssssrsG3 , 2,4 , 3

8、,54321rrr，取取k k1 1，此时闭环传递函数的分母为，此时闭环传递函数的分母为2122112233423122334spspspsssssrsrsrs其中其中 4 , 3,6 , 5 ,3 , 2321ppp此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式稳定此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式稳定43244323432243214622)(4522)(3632)(3532)(sssssFsssssFsssssFsssssF鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统设计鲁棒控制系统设计( )( )1( )Y sT sR s希望希望系统的伯德图平整，具有无限带宽的系统的伯德图平整，具

9、有无限带宽的0db增益并且相角始终为零增益并且相角始终为零1212( )( )( )( )( )( )1( )( )( )ccG s G s G sY sT sR sG s G s G s212( )( )( )1( )( )( )cG sY sD sG s G s G s鲁棒控制系统鲁棒控制系统( )( )T sD s对的灵敏度的灵敏度1211( )( )( )TGcSG s G s G s要想降低系统的灵敏度要想降低系统的灵敏度S，就应该提高环路开环增益就应该提高环路开环增益L(jw)鲁棒控制系统鲁棒控制系统设计鲁棒控制器应当要求设计鲁棒控制器应当要求 应具有较宽的带宽，以便系统输出能很好

10、地重现应具有较宽的带宽，以便系统输出能很好地重现R(s) 应增大环路增益应增大环路增益L(s)，以便最小化灵敏度，以便最小化灵敏度S 应主要通过增大应主要通过增大 来提高环路开环增益来提高环路开环增益L(s), 以便同时减小以便同时减小 ，因为，因为 1( )( )cG s G s( )/( )Y sD s1( )/( )1/( )cY sD sG G s鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统鲁棒控制系统H控制理论提出的背景 现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用并不成功。主要原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所并不成功。主要原因是忽略

11、了对象的不确定性，并对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。存在的干扰信号作了苛刻的要求。 加拿大学者加拿大学者ZamesZames在在19811981年提出了著名的年提出了著名的H H 控制思想，控制思想，考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的H H 范数可描范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影述有限输入能量到输出能量的

12、最大增益，所以用表示上述影响的传递函数的响的传递函数的H H 范数作为目标函数对系统进行优化设计，范数作为目标函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。对于反馈系统对于反馈系统如果如果P(s) 具有误差具有误差 ，那么相应地开环和闭环频，那么相应地开环和闭环频率特性也具有误差率特性也具有误差)()(1)()( ),()()(jKjPjKjPGjKjPjGBK其中其中K(s)为控制器，为控制器，w 为干扰信号，为干扰信号，r 为参考输入为参考输入 )()()(0sPsPsP-ryP(s)k K(s)ewu)()

13、()()()()(00jGjGjGjGjGjGBBBKKK体现了开环特性的相对偏差体现了开环特性的相对偏差 到闭环频率特性到闭环频率特性 的增益，因此，如果我们在设计控制器的增益，因此，如果我们在设计控制器K K时，能够使时，能够使S S的增益的增益足够小，即足够小，即)()(1)()( ),()()(00000jKjPjKjPGjKjPjGBK分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导可得分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导可得而传递函数而传递函数 )()()()(11 )()(0jGjGjKjPjGjGKKBB)()(11 )(0sKsPsSKKGGBBGG为充分小正数, )

14、(jS那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。传递函数那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。传递函数S S( (s s) )称为系统的称为系统的灵敏度函数灵敏度函数。实际上。实际上S S( (s s) )还等于干扰还等于干扰ww到输出的到输出的闭环传递函数，因此减小闭环传递函数，因此减小S S( (s s) )的增益就等价于减小干扰对控制误的增益就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义差的影响。引入定义)(sup)(jSsSR其中其中 表示最大奇异值，即表示最大奇异值，即 )(,)()(21*maxAAA H 控制问题即为对于给定的控制问题即为对于给定的 0，设计控制器设计控制器K K使得闭环系使得闭环系统稳定且满足统稳定且满足)(sS为最大特征值。的共轭转置阵，为max*AA H 理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个可描述集理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个可描述集L2中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰 w L2 对系统性能对系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量 ，求控制器求控制器 K 使得使得满足满足z为输出信号。为输出信号。022)(| )(dttwtwL(1) ,222222Lwwz220sup)(wzjTwzw其中其中T Tzwzw( (s s)