导数大题——双零点问题

1、1已知函数f XIn XX(1)若对任意X 0,2Xkx恒成立，求k的取值范围;试卷第6页，总10页1(2)若函数g X f Xm有两个不同的零点 Xi , X2 ,证明：Xi X2 2.XI答案】( m X在一,1上单调递增， m X m 1e3e,【详解】(1)解:X2kX对任意X 0, 恒成立，得2ln X对任意X0, 恒成立.2ln X3-，X1 3ln X在 h(0,则10,e3 上,Xmaxh e31e31单调递增；在 e2,上,h X单调递减.-,则k -,即k的取值范围为3e3e3e(2)证明：设 X1 X2 , g XIn X 1Xm ,贝U g XIn X-2X g 11

2、m,1g 仃e,当X时，g Xm ,且 g Xm , 0 m 1 ,1X11 X2,e要证X1 X22,即证X22X1. X21 ,2X11, g :X在1,上单调递减，只需证明g X2g 2 X1.由g X1g X2 ,只需证明g Xg 2X1令 m X g Xg 2 X ,X1,1 .m XIn XIn 2 X22eX2 X1 X -,1 , InX 0,22 X2 _InX In 2XInX 2 X0,X, 22e2 X2 X0 , g X单调递增；在1,上, g X 0, g X单调递减.在 0,1 上, g X0,即 m X 0 , x1X22.2.已知函数 f Xmsin 1 X

3、Inx.(1) 当 m1时，求函数f X在0,1的单调性；(2) 当 m0且a记 It t - 2l nt , tt时，g X1af X,求函数g X在0,e上的最小值；eX(3) 当 m10时，h( Xf Xb有两个零点X1,X2 ,且 X1 X2 ,求证：X1 X2 12x(1)由题意，函数f XSin 1XIn xfXcos 1X1X又X 0,1 , 1 1,COS 1X1, fX0, f X在0,1上单调递增X1 11aax1(2)由g Xaf XalnX,则gX-22 ,X XXXX(1)当a 0时，X0,e , gX0,【答案】(1) f X在0,1上单调递增(2) g X i丄a

4、In e此时图数g X在区间0,e上单调递减，11函数g X在X e处取得最小值，即 g X i g( e - a ； Ine1(2)当 a 0 时，令 g X 0 Xa11当e时，即当一a 0, X 0,e , g X 0,ae即 g Xmin11g e -a ；综上所得g X min g ea .ee(3)证明：根据题意，h X In X1b X 0 , V X1, X2 是函数 h X2x此时函数g X在区间0,e上单调递减，函数g X在X e处取得最小值,In X2xb的两个零点, In X112 X1b 0 , In X212 X2两式相减，可得In11即 In xLX1X2X22X

5、22X1 ,X22x2x1X1X2X1X2X1 ,贝U X12lnX2_X-11X2×2×1×2X1X12ln2ln×2×2令 tJXL , tX20,1 ,则X1X22lnt2lnt2ln t0,1 ,则 Itt 12r又 t 0,1 , I t0恒成立，故I t1I 1 ,即 t - 2ln tt1 t _ 0.可得 t2l ntX21 .3.已知函数f X axlnx b(a,b为实数)的图像在点1,f 1处的切线方程为y x 1.(1)求实数a,b的值及函数fX的单调区间;(2)设函数g X证明g X1g X2(Xi X2)时,X1 X

6、2 2.【答案】a 1,bX的单调递减区间为10,-,单调递增区间为e;(2)详见解析.(1)由题得，函数f的定义域为 0,a 1 Inx ,因为曲线f X在点1,f1处的切线方程为所以1,aln10,解得a1,b0.InX1时,eX在区间0,1e内单调递减;1在区间 -e内单调递增.所以函数f X的单调递减区间为0丄e,单调递增区间为(2)由(1)得，g XInX由 g X1 g X2 (X1 X2),得要证広：- K加戈,需证X1 X 2X 2设XIt(t八X21),则要证X1令 u(t)1 2lnt ,则 u' t t1Inx 21X2 ,即X2-X1X1X2:1 ×1

7、-X1X2X2X12ln,即证X2X1X1X22lnX2等价于证：t1X1t212110，t2ttXInx2ln t(t 1).110,tX2X1X1X22lnx ,X1InXI0X1 U t在区间1,内单调递增,即 t 1 2lnt ,故 X1 X22.t4.已知函数 f X xInx 2ax2 X, a R .(I)若f X在0,内单调递减，求实数 a的取值范围;()若函数有两个极值点分别为 X1 , X2 ,证明：X1 X212a【答案】( )见证明(I) flnx4ax. f X 在 0,内单调递减,X Inx 2 4ax 0在0,内恒成立,即4aln X2在X0,内恒成立令gIn X

8、 2则gX X1 In X2 ，X当 O0 ,即g X在0,e内为增函数；当-时，g X 0 ,即 g X 在 1,ee内为减函数. g X的最大值为( )若函数fX有两个极值点分别为X1 ,X2 ,则 f X InX2 4ax O在 0,内有两根X1 ,X2 ,由( I),知0a由224ax1In X224ax2不妨设0X1X2 ,要证明X1X2-410,两式相减，得0InM Inx24a x1 X2 即证明-X1,只需证明2aXiX24a x1 X22a In x1 In X2邑 Inx1X1 X22In x2 ,亦即证明-X17/ r _ I 令函数l' I 1'.

9、47;1 h'(x) (X I)2X(X 1)即函数h X 0,1 时，有 hX2X1沁1 X2 X2X在0,1内单调递减. 2(x 1)In X 2即不等式-XLX2XLIn鱼成立.X2综上，得xX212aX211试卷第8页，总10页X2e5.已知函数f X a In X2 X 0 .XX试卷第10页，总10页(1)-H-若a 0，求函数g XXf X的单调区间;(2)若函数f X在区间0,2内有两个极值点Xi、X2XiX2 ,求实数a的取值范围;(3)(2)的基础上，求证:x1x22ln a【答案】(1)单增区间为1,单减区间为0,1 ；(2)(1) a0 时，g X0，则 g X

10、0 ,得X0 ,得 0 X1因此，函数X的单增区间为1,单减区间为0,1 ;(2) f2exXX 2(2 x) ex axXX3,其中由题意可知,x1、x2是函数yex ax在区间0,2内的两个零点.由 eX axXe-,结合(X1),则问题也等价于g X a在区间0,2有两个零点,从而，可转化为直线g X的图象在X0,2上有两个交点,O1由(1)知，函数yX在0,1上单减，在1,2上单增,而当X 0时，g，g X min g 1 e，2e,如图所示:2由图象可知，当e2e时，直线y2a与函数y在区间0,2上的图象有两个交点,因此，实数a的取值范围是(3)由(2)可知，X1、X2 为 gXeX

11、a在区间0,2内的两个根，且0X11X22 ,其中X1是函数yg X的极小值点，e aI gX1ae51ax1XIn aIn X1由,可得 122In agX2aex2ax2X2In aIn X2故所证X1x2 2ln aIn x1200X1X21 .X2In x1x2e20,1 ,即证Int2 tX1F面证明出-In X1X2In X2.X1X2 ,即证In乞X2XiX2X1X2X1X2X2.设tXiXiX20 t 1构造函数 t t12Int I ,其中1 ,则1|所以，函数yt在区间0,1上单调递增,当0 t 1时,0.所以,12In t -0 ,t所以,X1In x1In X2将等式X

12、1In aX2In aIn N两式相减得X1In X2X2In x1InX1In X1X2In X2X1X2In 1In X21，因此，0X1X21.所以，X1 X2 2In26已知函数f (x) X5x2In X .(1)求f (X)的极值；(2)若fX1f X2f X3 ,且 X1X2X3,证明：X1X2【答案】(1) f(x)极大值为42In 2 ；极小值为2ln 2 ；(1)函数f(x)的定义域为0,f (x) 2x 5(2x 1)(x 2)(X 0),1所以当X %(2,)时,f (X)0;当 X1,2时,f (X)0,则f (x)的单调递增区间为0<2和(2,),单调递减区间

13、为-,2 .2故f (X)的极大值为f -22Ini2In 2 ； f (x)的极小值为4f(2)4 102I n26 2In2.(2)证明：由(1)知0X1X2X3,设函数 F(X) f (x)f(1X),X0,1 ,则2F(X)X2 5 2In XX 2In 1 X , F (x)(2x1)(xX2)(2 X 1)(x1 X1)22(2 X 1)2,则x(1 x)F (x)10, 上恒成立，即F (x)在210,上单调递增故F(X)210,则F(X)f (X)f(1 x) 0,即 f() f(1X)在0E上恒成立因为X1102 ,所以f X1X1 ,又 f X2f X1则f X2X1因为2

14、,1 X11,2 ,且 f(x)在 12,2上单调递减，所以X21X1 ,故 X1X21.2试卷第12页，总10页XX 1 e2XX1 X2 ,x1 x2故要证丁 lna,即证e丁a ,即证ex e - eX| X2,即证eX1X2e"1X1 X2X 127.已知函数f X e ax 1有两个极值点X1,X2(e为自然对数的底数). 2(1)求实数a的取值范围；求证: X2 x2In a1 X(1)由 f XeXax2 1 ,得 f' XeXax,2由题意知函数f X有两个极值点，f ' X0有两个不等的实数解X即方程a -(X 0)有两个不等的实数解XX即方程g X

15、 -(X 0)有两个不等的实数解XX设 g X -(X 0),则 g ' X Xg X在(，°)上单调递减，0,1上单调递减,(I,)上单调递增作出函数图象知当 a e时,直线y a与函数g X有两个交点当且仅当a e时f X有两个极值点，综上所述,a e.因为X1,X2是f X的两个极值点，X1 X2 ,Xl X2x1CXaC e -ee -ay 0,e -ax20, a试卷第14页，总10页不妨设X1 X2,即证x22 t O,即证2tet e2t 10设 Ft 2tetet 1 t 0 ,则 F ' t 2e t 1 et易证 t 1 et, F' t0

16、 ,所以Ft在(-,0)上递减.F tF 00,得证2tet e2t 1 0 .综上所述：宁lna成立,8已知函数f (X) e X .,0单调递减；.X(1)讨论f(x)的单调性;Xi(2)若 f (xjf(X2)，X1 X2 ,求证：eX1 eX2【答案】(1) f X在0,单调递增，在(1)函数f X定义域为R, f X eX 1，0,令 f,00,单调递增，在,0单调递减.X2×1(2)f XiX2 ，不妨设X2XlX1 ,则 eX1X2X2要证:eXeX22 ,即证:X2eX2X1X2eX1(*)，X2X2 X1eX2eX1X2XieX2 x×2,令tX2Xi，t

17、0,(*)等价于2et0,2et0,et 12etet 1,1, h' ttet0,恒成立,0,单调递增,0 ,故 g t单调递增,故原命题得证.试卷第16页，总10页29.已知函数 f(x) (X 2)In X a X.试卷第18页，总10页0，求f '(X)的最小值;X在(0,)上单调递增,求a的取值范围;1 , f (Xi )f (X2),且XiX2,求证：X1X20,解: (1)函数f ()的定义域为(0,),f '(x) In X2C2ax ,X若a 0,记 g()f '(X),则 g(x)2In XX 0X,g (X)-1 4(XX X0)0 X2,

18、g'()0;X 2,g'(x)0g ()的单调减区间为0,2,单调增区间为g(x)min g(2)In 2 1 f '(x)的最小值为In2 1(2) fX 在(0,)上单调递增，当且仅当f '(x)0在区间0,恒成立，f'(X)I 2 In XX2ax 0(x0)C In X 2 2a2XX(X 0)记 h(x)(x 0),则 h'(x)XX1 In X 4X XI n X 4(X 0)23XX3 X记 t(x)X XI n X4(x 0),则 t'(x)1 (I nx 1)In X(X 0)0 X1,t(x)0,x1,t'(x

19、)0t(x)max t(1)3 0 t(x)0,h'(x)0【答案】;(3)详见解析.(1) ln2 1 ；( 2)2,h(X)在(0,)上单调递减h(X)IimXInIimXIn XInx ' IimX x'Iim -X X(根据洛比塔法则2a0.(3)f (X) (X2)In XX2f'(X)In X2x (X0),f '(1) 0g()f '(),g'()X222x22X0), g'()<0f'(X)在(0,)上单减,当0I IIf(XI) f(X2), X1 X2时，f'()f(1)0X1d '

20、;() f '() f '(2 X)In (2X)0,f(x)在(0,1 X2 令 d()1)上单增；当 Xf() f (2 X) (01 时，f'()X 1),则f(1) 0,f()在(1 ,上单减;1 时，I'(t)X)1t2In X 2 +In(2)X4In tt0 d()在(0,4t0,1)上单增,22(2 X)(2 X)I(t),其中令 t (2 X)I(t)在(0,1)单减,I(t)(0,1)I(1) 01 d()d(1)0 f(xj f(2xjf (X2)f (X1)f(2又2 X 1,X2 1, f (X)在(I,)上单调递减x22 X1x1X22.X210(较难).已知函数 f (x)(2 x)e , g(x) a(x 1).(1)求曲线y f (x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)若函数f (x)和g(x)的图像有两个交点,它们的横坐标分别为X ,X2 ,求证：XI X2 2.【答案】(1)Xy 20( 2)证明见解析(1)因为 f (x)(2x)ex ,所以 f (X)ex (2x)ex (1 x)ex ,所以 f(0)1 ,又 f(0)2，所以切线方程为:X 2 ,即 X y 2(2)令 F(X)g(x)f (x