高等数学6_6(1)第一型线面积分

1、第六章第6节积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 2AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 即所谓的“分、匀、合、精”kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量

2、采用目录 上页 下页 返回 结束 3设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对目录 上页 下页 返回 结束 4如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲

3、线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.目录 上页 下页 返回 结束 53. 性质性质szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目录 上页 下

4、页 返回 结束 6ttztytxtztytxfdszyxfCd)()()()(),(, )(),(222)(二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(zyxf设且)()(, )(ttzztyy上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txxC,),()(存在Cdszyxf求曲线积分把区间 任意划分：,210ntttt目录 上页 下页 返回 结束 7, ,1kktt.d)()()(1222ttztytxskkttk,)()()(222kkkktzyx令,)(,)(,)(kkkkkkzyx),(kkkkM)(ks显然，

5、 应位于小弧段 上， 作和式kkkknksf),(1kkkkkkknktzyxzyxf)()()()(),(),(2221考察 对应的小弧段目录 上页 下页 返回 结束 8xyOxdydsd说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 两边取极限即得：ttztytxtztytxfdszyxfcd)()()()(),(, )(),(222)(目录 上页 下页 返回 结束 9如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syx

6、fLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目录 上页 下页 返回 结束 10例例6.1222d ,CIxyzs求 :cos ,sin ,(02 ).C xat yat zktt 曲线解解222 2220()dIak takt222222(34)3akak目录 上页 下页 返回 结束 11 解解 d ,CIy s求222d1ddyIyyx2221dyyy0oxyAB例例6.22:2(2, 2)(

7、2,2).C yx上介于与之间的线段目录 上页 下页 返回 结束 12例例6.3(柱面侧面积柱面侧面积)22159xy设椭圆柱面被平面z=y,z=0解解oxyzddAz s22159xy5cos(0)3sinxttyt 222(d )(54cos)(d )sttdCAz s121cos354dutuu120654duu159ln5403sintdd?Az s254cosdt t所截,求位于第一,二卦限内所截下部分的侧面积 A目录 上页 下页 返回 结束 13例例5 设有一半圆形金属丝，质量均匀分布设有一半圆形金属丝，质量均匀分布， 求它的质心和它对直径的转动惯量求它的质心和它对直径的转动惯量解

8、解oxy(1)dddxMy my sdsdxCMy s20sin da 22 a222xMaayma 22(2)dddxIymys22ddxCCIymys320sinda 32a22ddsxyddsa目录 上页 下页 返回 结束 14例例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL目录 上页 下页 返回 结束 15例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0(

9、)()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目录 上页 下页 返回 结束 16例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线目录 上页 下页 返回 结束 1

10、7例例5. 计算,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目录 上页 下页 返回 结束 18思考思考: 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆 的形心在原点, 故0XaX22, 如何利用形心公式目录 上页 下页 返回 结束 19d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中 为球面解

11、解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程 21cos2x sin2y则目录 上页 下页 返回 结束 20例例7. 有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4目录 上页 下页 返回 结束 21

12、内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(目录 上页 下页 返回 结束 223. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,

13、cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目录 上页 下页 返回 结束 23思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 242. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目录 上页 下页 返回 结束 25syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 26备用题备用题1. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求sICyxde222e)