高等流体力学第3章

1、2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 12022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 2v 流体的涡旋运动是流体的涡旋运动是工程和自然界中普遍存工程和自然界中普遍存在的一种流动现象在的一种流动现象。v 涡旋的有害作用：涡旋的有害作用：在自然界中，流体的涡旋运动在自然界中，流体的涡旋运动具有很强具有很强的破坏作用的破坏作用，台风和龙卷风每年要吞噬，台风和龙卷风每年要吞噬成千上万人的生命。成千上万人的生命。涡旋的产生往往还伴随着机械能的损耗涡旋的产生往往还伴随着机械能的损耗，使飞机、舰船、水轮机等的流体阻力增使飞机、舰船、水轮机等的流体阻力增加，降低

2、机械效率。加，降低机械效率。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 3v 涡旋的有利作用：涡旋的有利作用：航空学家利用三角翼所形成的涡旋以增加机航空学家利用三角翼所形成的涡旋以增加机翼的升力；翼的升力；在水坝泄水口，为保护坝基不被急泻而下的在水坝泄水口，为保护坝基不被急泻而下的水流冲坏，利用消能设备，人为地制造涡旋水流冲坏，利用消能设备，人为地制造涡旋以消耗水流动能；以消耗水流动能；利用涡旋可以加快完成掺混媒质的任务，以利用涡旋可以加快完成掺混媒质的任务，以加快化学反应速度，提高燃烧效率和热交换加快化学反应速度，提高燃烧效率和热交换效率。效率。 涡旋运动利害并存，因此

3、需掌握涡旋规律。涡旋运动利害并存，因此需掌握涡旋规律。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 4 主要内容主要内容第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量涡旋运动的基本概念和涡量 输运方程输运方程第二节第二节 无粘性流体的涡量输运方程无粘性流体的涡量输运方程 及涡旋运动性质及涡旋运动性质第三节第三节 涡旋在无粘性不可压缩流体涡旋在无粘性不可压缩流体 中所引起的速度场中所引起的速度场第四节第四节 涡旋的产生、扩散及衰减涡旋的产生、扩散及衰减2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 5第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和

4、涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性一、涡旋运动的一些基本概念和运动学特性一、涡旋运动的一些基本概念和运动学特性第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡旋运动的基本概念和 涡量输运方程涡量输运方程涡旋运动：涡旋运动：流体速度的旋度称为流场的流体速度的旋度称为流场的涡量涡量，记为，记为 在流场的某一区域中，在流场的某一区域中，如果如果 0，称在此区，称在此区域流动有旋域流动有旋(涡旋运动涡旋运动)，否则称为无旋。，否则称为无旋。vrot涡量是空间坐涡量是空间坐标和时间坐标标和时间坐标的函数。的函数。涡量构成矢量涡量构成矢量场，称为场，称为涡量涡量场场。2022-3-7流体流

5、动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 6第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性说明：说明： 不能根据流体质点的运动轨迹判断流体不能根据流体质点的运动轨迹判断流体运动是否有旋。运动是否有旋。均匀流和剪切流，均匀流和剪切流，流体质点的轨迹流体质点的轨迹都为直线。都为直线。均匀流均匀流无旋无旋剪切流有剪切流有旋旋“自由涡自由涡”和和“强强迫涡迫涡”，流体质点，流体质点轨迹都为圆周。轨迹都为圆周。“自由涡自由涡”无旋无旋“强迫涡强迫涡”有旋有旋2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算

6、 7第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性1. 涡线、涡面和涡管涡线、涡面和涡管涡线：涡线： 对于同一时刻的质点线，如它上面对于同一时刻的质点线，如它上面任一任一点切线方向与该点流体涡量方向一致点切线方向与该点流体涡量方向一致，这条线称为这条线称为涡线涡线。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 8第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性涡线方程：涡线方程：0d l直角坐标系中：直角坐标系中：

7、涡线上的微涡线上的微矢量元矢量元zyxzyxddd涡线族：涡线族： 在涡线方程中，时间在涡线方程中，时间 t 以参数形式出现，在以参数形式出现，在同一时刻，涡线方程代表了一个涡线族。同一时刻，涡线方程代表了一个涡线族。说明：说明： 在某一时刻构成涡线的质点线，在其他时刻在某一时刻构成涡线的质点线，在其他时刻不一定是涡线。不一定是涡线。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 9第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性涡面：涡面： 在涡量场中任取一条非涡线的曲线，在同在涡量场中任取一条

8、非涡线的曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线所形成的一时刻过该曲线的每一点作涡线所形成的曲面称为涡面。曲面称为涡面。涡管：涡管： 在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线的每一点作涡线所形在同一时刻过该曲线的每一点作涡线所形成的管状曲面称为涡管。成的管状曲面称为涡管。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 10第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性根据定义，涡面和根据定义，涡面和涡管上任一点的法涡管上任一点的法向方向向方向 n

9、和该点的和该点的涡量垂直。涡量垂直。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 11第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性2. 涡通量、速度环量和涡管强度涡通量、速度环量和涡管强度涡通量：涡通量： 流场中某一流场中某一曲面曲面A上的涡量面积分上的涡量面积分，称为，称为过该曲面过该曲面A的涡通量：的涡通量：AAJd2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 12第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性

10、一、基本概念和运动学特性涡管强度：涡管强度： 对于流场中某一时刻的某一涡管，取该涡对于流场中某一时刻的某一涡管，取该涡管的一个横截面管的一个横截面A，称，称过该曲面过该曲面A的涡通的涡通量为该瞬时该涡管的涡管强度量为该瞬时该涡管的涡管强度。AJA d可以证明：涡管可以证明：涡管强度与横截面的强度与横截面的取法无关。取法无关。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 13第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性JAALAAvlvddd速度环量：速度环量： 沿流场中某一时刻的沿流场中某一

11、时刻的封闭曲线封闭曲线 L 作速度的作速度的线积分线积分 ， 称为称为 v 沿该封闭曲线的速沿该封闭曲线的速度环量度环量：根据积分中的根据积分中的斯托克斯定理斯托克斯定理A为以曲线为以曲线L为周界的任一为周界的任一曲面曲面 微分形式微分形式：Andd建立了涡通量建立了涡通量与速度环量之与速度环量之间的关系。间的关系。封闭曲线封闭曲线 L以逆时针方以逆时针方向为正向为正2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 14第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性3. 涡管强度守恒定理涡管强度守

12、恒定理涡管强度守恒定理：涡管强度守恒定理： 在同一时刻同一涡管的各个截面上，涡通在同一时刻同一涡管的各个截面上，涡通量都是相同的量都是相同的(涡管强度守恒涡管强度守恒)，且与截面，且与截面选取无关。选取无关。21dd21AAAAnn2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 15第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性证明：证明： 涡管段的两个端面为涡管段的两个端面为A1和和A2，侧表面为，侧表面为A3。0rotdivdivv0ddivd321AAAAJ奥高奥高公式公式2022-3-7

13、流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 16第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性0ddivd321AAAAJ0ddd332121AAAAAAJnnn21dd21AAAAnn0dd2121AAAAnn0dd2121AAAAnn在同一时刻同一涡管在同一时刻同一涡管的各个截面上，涡通的各个截面上，涡通量相同量相同(涡管强度守涡管强度守恒恒)，且与截面选取，且与截面选取无关。无关。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 17第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运

14、动的基本概念和涡量输运方程 一、基本概念和运动学特性一、基本概念和运动学特性结论：结论：对于同一涡管，截面积越小的地方，涡量越对于同一涡管，截面积越小的地方，涡量越大，流体旋转角速度越大；大，流体旋转角速度越大；涡管不可能收缩到零涡管不可能收缩到零(否则涡量将变得无穷大否则涡量将变得无穷大)，因此涡管不能在流体中产生或终止，只能在因此涡管不能在流体中产生或终止，只能在流体中形成环形涡环，或始于边界、终止边流体中形成环形涡环，或始于边界、终止边界，或伸展到无穷运。界，或伸展到无穷运。21dd21AAAAnn2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 18第一节第一节 涡旋运

15、动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 二、粘性流体涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程二、粘性流体涡量输运方程 对于粘性流体运动，当粘度为常数时，维纳对于粘性流体运动，当粘度为常数时，维纳-斯托克斯方程为：斯托克斯方程为：vvFv311DDbptvv22b1FDDpt粘度为常数时粘性粘度为常数时粘性可压缩流体运动的可压缩流体运动的涡量输运方程涡量输运方程两边取旋度，整理两边取旋度，整理2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 19第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 二、粘性流体涡量

16、输运方程二、粘性流体涡量输运方程影响涡量随体变化的因素：影响涡量随体变化的因素：vv22b1FDDpt表示速度沿涡线变化所表示速度沿涡线变化所引起的涡量变化。该变引起的涡量变化。该变化分为两个部分：化分为两个部分： 拉伸收缩变化拉伸收缩变化 扭曲变化扭曲变化平行于涡旋的速度变平行于涡旋的速度变化使涡线上相邻两点化使涡线上相邻两点产生沿涡线的相对位产生沿涡线的相对位移，涡线伸长或收缩。移，涡线伸长或收缩。垂直于涡线的速度变垂直于涡线的速度变化使涡线上相邻两点化使涡线上相邻两点产生垂直涡线的相对产生垂直涡线的相对位移，使涡线扭曲。位移，使涡线扭曲。与流体散度有关的项。与流体散度有关的项。流体运动时

17、，流体质流体运动时，流体质点收缩，散度小于零，点收缩，散度小于零，涡量增加；反之涡量涡量增加；反之涡量减少。减少。外力对涡量输外力对涡量输运的作用运的作用流体非正压性流体非正压性对涡量输运的对涡量输运的作用作用流体粘性对流体粘性对涡量输运的涡量输运的作用作用2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 20第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 三、粘性流体速度环量的变化三、粘性流体速度环量的变化三、粘性流体运动中速度环量的变化三、粘性流体运动中速度环量的变化 速度环量刻划了流体在运动过程中的涡旋特性，速度环量刻划了流体在运动过程中的

18、涡旋特性，描述涡旋特性时，有时使用速度环量更方便。描述涡旋特性时，有时使用速度环量更方便。llllbvptllvllFd31dd1dDD对封闭流体质点线进行线积分对封闭流体质点线进行线积分 粘度为常数的维纳粘度为常数的维纳-斯托克斯方程：斯托克斯方程：vvFv311DDbptJAALAAvlvddd2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 21第一节第一节 涡旋运动的基本概念和涡量输运方程涡旋运动的基本概念和涡量输运方程 三、粘性流体速度环量的变化三、粘性流体速度环量的变化llllbvptllvllFd31dd1dDD粘性流体运动粘性流体运动中速度环量的中速度环量的变化

19、变化体力对速度环量变体力对速度环量变化的影响；如体力化的影响；如体力有势，有势， 则该项则该项为零。为零。bF流体非正压性对速流体非正压性对速度环量变化的影响；度环量变化的影响；如流体正压，则该如流体正压，则该项为零。项为零。两项为：流体粘性对两项为：流体粘性对速度环量变化的影响；速度环量变化的影响；如流体无粘性，则该如流体无粘性，则该项为零。项为零。表明：非有势的体力、表明：非有势的体力、流体非正压性和粘性流体非正压性和粘性是使速度环量随体运是使速度环量随体运动发生变化的三个因动发生变化的三个因素。素。JAALAAvlvddd2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算

20、22第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 一、亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程一、一、亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程第二节第二节 无粘性流体涡量输运性质及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运性质及涡旋运动性质vv22b1FDDpt粘度为常数时粘性可粘度为常数时粘性可压缩流体运动的压缩流体运动的涡量涡量输运方程输运方程流体无粘性时流体无粘性时pt2b1FDDvv无粘性流体中无粘性流体中涡量所必须满涡量所必须满足的方程足的方程2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 23第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方

21、程及涡旋运动性质 一、亥姆霍兹方程一、亥姆霍兹方程vv22b1FDDpt流体无粘性时流体无粘性时pt2b1FDDvv流体体力有势且正压时流体体力有势且正压时0DDvvt亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程无粘性、体力有势、无粘性、体力有势、正压流体运动时，正压流体运动时，涡量所必须满足的涡量所必须满足的方程方程2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 24第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 二、开尔文定理二、开尔文定理二、二、开尔文定理开尔文定理0dddddllttv 在在体力有势体力有势、流体正压流体正压、无粘性无粘性的条件下，

22、的条件下，沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间而沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间而变化：变化：正压的无粘性流体正压的无粘性流体在体力有势时，沿在体力有势时，沿着任何封闭流体线着任何封闭流体线的速度环量在流动的速度环量在流动过程中保持不变。过程中保持不变。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 25第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 二、开尔文定理二、开尔文定理证明：证明：Ptddv 欧拉方程欧拉方程(无粘性流体无粘性流体)：ptt1DDbFvvvv体力有势：体力有势：流体正压：流体正压： Pp1bFgradFb

23、ppPppPddd或正压函数正压函数体力势体力势2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 26Ptddv第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 二、开尔文定理二、开尔文定理 则有：则有：0dd d ddddddddllllPPtttllvlv0dddddllttv正压、无粘性、体力正压、无粘性、体力有势时，沿着任何封有势时，沿着任何封闭流体线的速度环量闭流体线的速度环量在流动过程中保持不在流动过程中保持不变。变。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 27第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋

24、运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 三、涡保持性定理三、涡保持性定理三、三、拉格朗日涡保持性定理拉格朗日涡保持性定理 在在体力有势体力有势、流体正压流体正压、无粘性无粘性的条件下，的条件下，流体若在某一时刻的某一部分内无旋，则在流体若在某一时刻的某一部分内无旋，则在这之前及以后时间，该部分流体内也无旋。这之前及以后时间，该部分流体内也无旋。拉格朗日涡保持定理拉格朗日涡保持定理 说明，在一定条件下，说明，在一定条件下，流场中的漩涡既不会流场中的漩涡既不会产生也不会消失。产生也不会消失。拉格朗日涡保持拉格朗日涡保持定理是判断流场定理是判断流场是否有旋的重要是否有旋的重要依据。依据。202

25、2-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 28第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 三、涡保持性定理三、涡保持性定理证明：证明：假设：假设：流体的体力有势、正压、无粘性；流体的体力有势、正压、无粘性；在某一时刻在某一时刻t0，所研究流体内无旋。，所研究流体内无旋。根据斯托克斯公式：根据斯托克斯公式：0ddALAnlv任取的封闭任取的封闭曲线曲线以以L为边界的为边界的流体面流体面说明在所讨论的流体说明在所讨论的流体中，沿任意封闭流体中，沿任意封闭流体线的速度环量在线的速度环量在 t0 时时刻为零。刻为零。2022-3-7流体流动

26、与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 29第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 三、涡保持性定理三、涡保持性定理0ddlvALA0ddALAnlv根据开尔文定理根据开尔文定理在以前任何时刻在以前任何时刻t1和以后任何时刻和以后任何时刻t2，该部分流体中任一封闭流体线，该部分流体中任一封闭流体线的速度环量始终为零。的速度环量始终为零。根据斯托克斯定理根据斯托克斯定理曲面曲面A选取的任意性选取的任意性0体力有势、正压、无粘性体力有势、正压、无粘性条件下，流体若在某一时条件下，流体若在某一时刻的某一部分内无旋，则刻的某一部分内无旋，则在这之前及以

27、后时间，该在这之前及以后时间，该部分流体内也无旋。部分流体内也无旋。所研究那部分流所研究那部分流体中的任何流体体中的任何流体曲面曲面A2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 30第二节第二节 无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质无粘性流体涡量输运方程及涡旋运动性质 三、涡保持性定理三、涡保持性定理体力有势、正压、无粘性流体的无旋流场实例：体力有势、正压、无粘性流体的无旋流场实例：无穷远均匀来流绕流物体的流场；无穷远均匀来流绕流物体的流场；物体在静止流体中运动造成的流场；物体在静止流体中运动造成的流场；平静水面受外来干扰引起的波动。平静水面受外来干扰引起的波动。2022

28、-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 31第二节第二节 涡量输运方程及涡旋运动性质涡量输运方程及涡旋运动性质 四、涡面及涡管保持性定理四、涡面及涡管保持性定理四、四、亥姆霍兹涡面及涡管保持性定理亥姆霍兹涡面及涡管保持性定理 ( (亥姆霍兹第一定理亥姆霍兹第一定理) ) 在在体力有势体力有势、流体正压流体正压、无粘性无粘性条件下，在某条件下，在某一时刻组成涡线、涡面及涡管的流体质点，在一时刻组成涡线、涡面及涡管的流体质点，在这之前或之后时间仍组成涡线、涡面和涡管。这之前或之后时间仍组成涡线、涡面和涡管。在流体正压、无粘性和在流体正压、无粘性和体力有势的条件下，涡体力有势的条件

29、下，涡线、涡面和涡管具有保线、涡面和涡管具有保持性。持性。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 32第二节第二节 涡量输运方程及涡旋运动性质涡量输运方程及涡旋运动性质 五、涡管强度保持性定理五、涡管强度保持性定理五、五、亥姆霍兹涡管强度保持性定理亥姆霍兹涡管强度保持性定理 ( (亥姆霍兹第二定理亥姆霍兹第二定理) ) 如果流体如果流体无粘性无粘性、正压正压且且体力有势体力有势，则涡管，则涡管强度在运动过程中保持不变。强度在运动过程中保持不变。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 33证明：证明：保持不变保持不变涡管强度在运动过程中涡管强度

30、在运动过程中 涡管强度与速度环量的关系：涡管强度与速度环量的关系：根据亥姆霍兹涡管根据亥姆霍兹涡管保持性定理保持性定理开尔文定理：开尔文定理： 0ddtlvAddLAJ第二节第二节 涡量输运方程及涡旋运动性质涡量输运方程及涡旋运动性质 五、涡管强度保持性定理五、涡管强度保持性定理2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 34推论：推论： 无粘性、体力有势、密度为常数无粘性、体力有势、密度为常数(正压正压)的流体作平的流体作平面定常运动时，沿流线涡量面定常运动时，沿流线涡量 保持不变。保持不变。在在平平面面运运动动中中(1) k , 0 , 0wzvzu第二节第二节 涡量

31、输运方程及涡旋运动性质涡量输运方程及涡旋运动性质 五、涡管强度保持性定理五、涡管强度保持性定理 证明：证明： 在流动平面上任取一小流管，并在此流管在流动平面上任取一小流管，并在此流管中作面积为中作面积为A1的微元涡管。的微元涡管。 由于定常运动，迹线和流线一致，此微元由于定常运动，迹线和流线一致，此微元管随流体质点一起沿该流管运动。管随流体质点一起沿该流管运动。涡量与涡量与xy平平面垂直面垂直2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 35亥姆霍兹涡管强亥姆霍兹涡管强度保持定理度保持定理2211AA第二节第二节 涡量输运方程及涡旋运动性质涡量输运方程及涡旋运动性质 五、涡

32、管强度保持性定理五、涡管强度保持性定理(2) 密度为常数密度为常数根据连续性方程根据连续性方程21AA21AA k常常量量，结结论论：21沿流线涡量沿流线涡量 保持不变保持不变(3) 无粘性、体力有势、密度为常数、无粘性、体力有势、密度为常数、流体作平面定常运动时，沿流线流体作平面定常运动时，沿流线涡量涡量 保持不变。保持不变。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 36第三节第三节 涡旋在无粘性不可压缩流体中引起的速度场涡旋在无粘性不可压缩流体中引起的速度场 流动区域中流动区域中出现漩涡时出现漩涡时，流场的，流场的流动状态流动状态将因将因为漩涡的出现而为漩涡的出现而

33、发生变化发生变化。 (龙卷风的出现将影响整个大气中流场的变化龙卷风的出现将影响整个大气中流场的变化)第三节第三节 涡旋在无粘性不可压缩涡旋在无粘性不可压缩 流体中引起的速度场流体中引起的速度场2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 37第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 一、涡旋场感生的速度场一、涡旋场感生的速度场一、涡旋场感生的速度场一、涡旋场感生的速度场0rot , 0divrot , 0divvvvv外：外：在在内：内：在在均质不可压缩流场中，在有限区域均质不可压缩流场中，在有限区域 内给定涡旋场：内给定涡旋场： 通过求解微分方程通过

34、求解微分方程(泊松方程泊松方程)，可得该给定，可得该给定涡旋涡旋场感生的速度场可以表示为：场感生的速度场可以表示为：d413rrv2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 38第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 二、涡线感生的速度场二、涡线感生的速度场二、涡线感生的速度场二、涡线感生的速度场lr3d4rlv许多涡旋都可以看许多涡旋都可以看作是由涡线所引起作是由涡线所引起的涡旋运动的涡旋运动d413rrv涡线诱导速度涡线诱导速度的公式的公式涡旋场感生的速涡旋场感生的速度场的公式度场的公式比奥比奥-萨瓦尔公萨瓦尔公式式2022-3-7流体流动与传

35、热的数值计算流体流动与传热的数值计算 39第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 二、涡线感生的速度场二、涡线感生的速度场设：涡量集中在一根细的涡管上，该涡管可近似设：涡量集中在一根细的涡管上，该涡管可近似 看成几何上的一条线；看成几何上的一条线； 在涡管上取微元管段，其长在涡管上取微元管段，其长dl，截面积，截面积A， 体积体积Adl，涡强度分布，涡强度分布 。证明：证明：2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 40第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 二、涡线感生的速度场二、涡线感生的速度场令：令：lAddAA0l

36、im则有：则有：l dd因此：因此：lrr33d4 d41rlrv速度环量，速度环量，称为称为涡线强度涡线强度涡线感生的速涡线感生的速度场度场2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 41第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场sincosyx设：圆周涡线在设：圆周涡线在 xy 平面内，平面内， 半径为半径为a； 涡线强度为涡线强度为 ； z 轴通过圆周涡线的圆心。轴通过圆周涡线的圆心。 取：柱坐标系取：柱坐标系( , , z)。 柱坐标系柱坐

37、标系( , , z)与直角坐标系与直角坐标系(x, y, z)的关系为：的关系为： eeeeeecossinsincosryrx2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 42第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场 由于轴对称，所有过由于轴对称，所有过z轴轴的子平面上运动相同，的子平面上运动相同，因此只考察因此只考察 0平面上平面上P(x, 0, z)点的诱导速度。点的诱导速度。zrzyxzxaxzaaxeeeeeersincos sincoselddarzazxaaeerlddcosd2022

38、-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 43第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场圆周形涡线的感生圆周形涡线的感生(诱导诱导)速度：速度：rzrazrxaareerlv2032033d4dcos4 d4Z轴上任一点轴上任一点P(0, 0, z)的的感生感生(诱导诱导)速度：速度：zrzzaarazraeeev2/322220320322 d14d14rzazxaaeerlddcosd2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 44第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体

39、中引起的速度场 三、圆周形涡线感生的速度场三、圆周形涡线感生的速度场Z轴上感生轴上感生(诱导诱导)速度的特点：速度的特点：如如 0，则，则 z 轴上任一点的诱导速度都是沿轴轴上任一点的诱导速度都是沿轴线的正方向，速度大小随环量的增加而增加；线的正方向，速度大小随环量的增加而增加；速度值上下对称；速度值上下对称；诱导速度随圆周形涡线半径的增大而减小；诱导速度随圆周形涡线半径的增大而减小；诱导速度随距涡线距离诱导速度随距涡线距离 z 的减小而增大，在的减小而增大，在 z = 0 的圆心处，诱导速度达到极大值。的圆心处，诱导速度达到极大值。zzaaev2/32222说明：说明： 圆周涡线上任一点要在

40、涡线上其他点影响下产生圆周涡线上任一点要在涡线上其他点影响下产生运动，因此圆周涡线本身以一定速度移动。运动，因此圆周涡线本身以一定速度移动。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 45第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场设：有一与设：有一与 z 轴平行的直涡线段；轴平行的直涡线段； 涡线的强度为涡线的强度为 ； 空间计算点与直涡线段的垂直距离为空间计算点与直涡线段的垂直距离为h。rrer zleldd rzlreerlddsin ,sinddhrrl20

41、22-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 46第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场直涡线感生直涡线感生(诱导诱导)的速度场：的速度场：eerlv123coscos4dsin4 d421hhrl无限长直涡线感生无限长直涡线感生(诱导诱导)的速度场：的速度场：evh2rzlreerlddsin ,sinddhrrl2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 47第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场无限长直线涡感生速

42、度场的特点：无限长直线涡感生速度场的特点：evh2在与直涡线垂直的平面上，某一点的速度在与直涡线垂直的平面上，某一点的速度方向为以直涡线与平面的交点为圆心、过方向为以直涡线与平面的交点为圆心、过该点圆周的切线方向该点圆周的切线方向。感生速度大小除与涡线强度有关外，只与感生速度大小除与涡线强度有关外，只与所求点到直涡线的垂直距离有关；所求点到直涡线的垂直距离有关；无限长直涡线对应的是无限长直涡线对应的是平面流场平面流场，可以把可以把无限长的直涡线看成是无限长的直涡线看成是平面上某点强度为平面上某点强度为 的点涡的点涡。即：在无限长直涡线影响下流体运即：在无限长直涡线影响下流体运动的问题，可以归结

43、为在点涡影响动的问题，可以归结为在点涡影响下的平面流动问题下的平面流动问题2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 48第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 四、直涡线感生的速度场四、直涡线感生的速度场说明：说明：v 无限长直涡线的邻域流体都是绕直涡线旋转的，无限长直涡线的邻域流体都是绕直涡线旋转的，因此并不引起直涡线本身的运动，即因此并不引起直涡线本身的运动，即单根无限单根无限长直涡线不对自身产生诱导速度长直涡线不对自身产生诱导速度。v 从上式可见，旋转速度与到直涡线的距离成反从上式可见，旋转速度与到直涡线的距离成反比，比，h0时，时，v ，

44、在物理上不可能。因此，在物理上不可能。因此一一般将直线涡内部考虑成半径为般将直线涡内部考虑成半径为R的的“涡核涡核”：“涡核涡核”以外的区域，上式成立；以外的区域，上式成立；“涡核涡核”以内的区域看成以内的区域看成“刚性核刚性核”，即速，即速度随半径减少而线性减小，中心处速度为零。度随半径减少而线性减小，中心处速度为零。evh22022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 49第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡 n 条平行直线涡的流动问题相当于条平行直线涡的

45、流动问题相当于 n 个点涡个点涡引起的平面流动问题引起的平面流动问题(1) 第第i个点涡对流体的诱导速度个点涡对流体的诱导速度1. 涡对涡对2222iiiiiiiiRxxvRyyu第第i个点涡的坐标个点涡的坐标为为(xi, yi)第第i个点涡的涡个点涡的涡强度强度流体中任一点流体中任一点(x, y)速度速度evh22022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 50第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡(2) n 个点涡对第个点涡对第 j 个点涡所在点的诱导速度个点涡所在点的诱导速度 第第 j 个点涡不对自

46、身产生诱导速度，其他个点涡不对自身产生诱导速度，其他 n-1 个点涡使第个点涡使第 j 个点涡产生运动：个点涡产生运动：njiijiijijjnjiijiijijjRxxtyvRyytxu12122dd2dd2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 51第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡(3) n个点涡的涡旋惯性中心个点涡的涡旋惯性中心njiijiijijjnjiijiijijjRxxtyvRyytxu12122dd2dd02dd02dd11211121njnjiijiijijjnjjnjnjii

47、jiijijjnjjRxxtyRyytx常常量量常常量量njjjnjjjyx11对对 t 积分积分2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 52第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡定义：定义： n个点涡的涡旋惯性中心个点涡的涡旋惯性中心常常量量常常量量njjnjjjnjjnjjjyyxx101101常常量量常常量量njjjnjjjyx11 ;常常量量常常量量njjnjjjnjjnjjjyyxx110110n个点涡的涡旋惯性中个点涡的涡旋惯性中心心(x0, y0)n 个点涡的涡旋惯性中心个点涡的涡旋惯

48、性中心(x0, y0) (几何点几何点)不会改变，而不会改变，而位于位于(x0, y0)点上的流体质点点上的流体质点在在 n 个点涡的影响下产生个点涡的影响下产生运动。运动。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 53第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡(4) 涡对涡对涡对：涡对： 涡对指流场中存在的涡对指流场中存在的一对点涡一对点涡(n=2)。 (自然界中的热带双台风即可看作涡对自然界中的热带双台风即可看作涡对)涡对的诱导速度：涡对的诱导速度：22222111222221112222RxxRxx

49、vRyyRyyu2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 54第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡涡对相互影响所产生的自身运动速度：涡对相互影响所产生的自身运动速度：21221211212212112dd2ddRxxtyvRyytxu22112122221121222dd2ddRxxtyvRyytxu涡对的涡旋惯性中心：涡对的涡旋惯性中心：21221102122110yyyxxx222221112222211122 22RxxRxxvRyyRyyu2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传

50、热的数值计算 55第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡结果分析：结果分析：12121010 xxyyxxyy21221102122110yyyxxx说明涡对的涡旋说明涡对的涡旋惯性中心在涡对惯性中心在涡对两个点涡的连线两个点涡的连线上上2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 56第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡221121222211212221221211212212112dd2dd2dd2ddRxxtyvRyytxuR

51、xxtyvRyytxu121222121211xxyyvuxxyyvu表明：表明：两个点涡运动速度两个点涡运动速度 垂直于其连线；垂直于其连线；涡对距离及每个点涡对距离及每个点 涡与涡旋惯性中心涡与涡旋惯性中心 的距离保持不变。的距离保持不变。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 57第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡 涡对相互作用引起的自身运动是绕涡旋惯性涡对相互作用引起的自身运动是绕涡旋惯性中心的旋转运动，其旋转角速度为：中心的旋转运动，其旋转角速度为：结论：结论：212210112 Rx

52、xv涡对绕惯性中心转动的方涡对绕惯性中心转动的方向由强度大的那个点涡的向由强度大的那个点涡的转动方向决定。转动方向决定。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 58第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡(5) 强度相同、旋转方向相反的两个点涡构成的涡对强度相同、旋转方向相反的两个点涡构成的涡对21221102122110yyyxxx0221221011Rxxv涡旋惯性中心在涡旋惯性中心在无穷运处无穷运处涡对绕惯性中心涡对绕惯性中心的旋转角速度为的旋转角速度为零零2022-3-7流体流动与传热的数值计

53、算流体流动与传热的数值计算 59第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡点涡的运动方向及速度：点涡的运动方向及速度：122 RU22112122211212212212121221212222RxxvRyyuRxxvRyyu两个点涡以相同的两个点涡以相同的速度垂直于两个点速度垂直于两个点涡连线方向运动涡连线方向运动2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 60第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡点涡的诱导速度：点涡的诱导速度：222

54、22111222221112222RxxRxxvRyyRyyu22221122221122RxxRxxvRyyRyyu点涡的诱导点涡的诱导速度速度2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 61第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡涡对诱导流场的流线：涡对诱导流场的流线：22221122221122RxxRxxvRyyRyyuyvxudd流线流线方程方程代入代入积分积分常量常量21RR表明诱导流场的流表明诱导流场的流线是对称于涡对连线是对称于涡对连线中点的圆周族线中点的圆周族2022-3-7流体流动与传

55、热的数值计算流体流动与传热的数值计算 62第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡流线的图像：流线的图像：诱导流场的流线诱导流场的流线是对称于涡对连是对称于涡对连线中点的圆周族线中点的圆周族2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 63第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡2. 卡门涡街卡门涡街 圆柱体在流体中运动时，柱体后面左右两侧圆柱体在流体中运动时，柱体后面左右两侧分离出两列涡旋，它们两两间隔、旋转方向分离出两列涡旋，它们两两间

56、隔、旋转方向相反，涡旋间距离不变，而两排涡列间距只相反，涡旋间距离不变，而两排涡列间距只与物体的线尺度有关。与物体的线尺度有关。卡门涡街卡门涡街2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 64第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡假设：假设：卡门涡街由两条平行直线涡列构成；卡门涡街由两条平行直线涡列构成；两平行直线涡列的距离为两平行直线涡列的距离为h；每条涡列中，点涡相距为每条涡列中，点涡相距为l;设两涡列强度为设两涡列强度为- 1= 2= 。点涡点涡z1和点涡和点涡z2的速度：的速度：lblhlblv

57、vlblhlhluu2cos2ch/2sin22cos2ch/2sh22121z1和和 z2两点的两点的水平间距水平间距2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 65第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡设涡街沿设涡街沿x轴方向运动：轴方向运动：021 vv02sinlb20lbb或或lblhlblvvlblhlhluu2cos2ch/2sin22cos2ch/2sh22121b=0对应于上下点涡对对应于上下点涡对齐的对称涡街齐的对称涡街不稳定涡街不稳定涡街b=l/2对应于卡对应于卡门涡街门涡街条件稳

58、定条件稳定2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 66第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡说明：说明：卡门涡街不仅在圆柱后出现，也可在其他形卡门涡街不仅在圆柱后出现，也可在其他形状物体后形成，如在高层建筑物、烟囱、铁状物体后形成，如在高层建筑物、烟囱、铁塔后等形成。塔后等形成。建筑物受强风作用而引起的振动往往与涡街建筑物受强风作用而引起的振动往往与涡街的产生有关。的产生有关。卡门涡街的交替发放会在物体上产生垂直于卡门涡街的交替发放会在物体上产生垂直于流动方向的交变侧向力，其频率与流动速度流动方向的

59、交变侧向力，其频率与流动速度和物体尺度有关。当涡发放频率与物体自由和物体尺度有关。当涡发放频率与物体自由振动频率吻合时，可使物体振动加大，甚至振动频率吻合时，可使物体振动加大，甚至对物体造成破坏。对物体造成破坏。2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 67第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡3. 兰金组合涡兰金组合涡 前面讨论的直线涡是前面讨论的直线涡是对圆柱涡的一种近似对圆柱涡的一种近似，认为它的认为它的截面线尺度很小截面线尺度很小，不考虑它的内部不考虑它的内部结构结构。而对自然界中的有些涡。而

60、对自然界中的有些涡(如台风、旋风、如台风、旋风、涡旋等涡旋等)进行研究时，必须要考虑到涡旋的内进行研究时，必须要考虑到涡旋的内部结构。部结构。说明：说明：2022-3-7流体流动与传热的数值计算流体流动与传热的数值计算 68第三节第三节 涡旋在流体中引起的速度场涡旋在流体中引起的速度场 五、涡对、涡街及组合涡五、涡对、涡街及组合涡兰金组合涡：兰金组合涡： 假定在无界流体中有一圆柱形涡管假定在无界流体中有一圆柱形涡管(半径为半径为R)，整个流场由两部分组成：整个流场由两部分组成：受迫涡受迫涡(rR)自由涡自由涡(rR)兰金组合涡兰金组合涡(1) 兰金组合涡的组成兰金组合涡的组成2022-3-7流