高数课件10-4

1、下页返回上页最后高等数学高等数学第第十十章章 重积分重积分下页返回上页最后下页返回上页最后 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式，的形式，其中其中 在在 D 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为，所求量

2、的积分表达式为 d d dyxf),( dyxf),( DdyxfU ),(一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. .dU下页返回上页最后设曲面设曲面S的方程为：的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS . sAdAdsSzd则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 二、

3、曲面的面积二、曲面的面积下页返回上页最后,）面面上上的的投投影影区区域域（面面积积在在为为xoydAd,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1为为法法向向量量1 ,22yxff ,DdAA ddA下页返回上页最后设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可

4、得同理可得下页返回上页最后例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx下页返回上页最后面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa yzxzyxDxy下页返回上页最后例例 2 2 求求由由曲曲面面azyx 22和和222yxaz )0( a所所围围立立体体的的表表面面积积.解解解方程组解方程组,2

5、2222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 下页返回上页最后 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a下页返回上页最后例例3.3. 求由抛物线求由抛物线 z=x2 上从上从 x=1 到到 x=2 的一段的一段绕绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积

6、轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积.解解： : z=x2+y2Dxy: 1x2+y222222441)()(1yxyzxz xyDyxyxAdd)( 4122 xyDrrr dd412z=x2201xyzDxy下页返回上页最后 xyDrrr dd412rrr d41d21220 )41 (d418122212rr 21232)41 (324r )551717(6 下页返回上页最后三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,

7、),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 下页返回上页最后将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点下页返回上页最后同理可得同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyx

8、xx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd下页返回上页最后解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy下页返回上页最后 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐标标为为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，下页返回上页最后四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯

9、量下页返回上页最后,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量yyxoIII 下页返回上页最后解解设设三三角角形形的的两两直直角角边边分分别别在在x轴轴和和y轴轴上上，如如图图aboyx对对y轴轴的的转转动动惯惯量量为为,2dxdyxIDy 下页返回上页最后 babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：对对x轴轴的的转转动动惯惯量量为为dxdyyIDx 2 .1213 ab 下页返回上页最后)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:22

10、22azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例6.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 下页返回上页最后解解先先求求形形心心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb下页返回上页最后将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴的转动惯量轴的转动惯量

11、 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴轴的的转转动动惯惯量量 DvdudvuI2 .123 hb 下页返回上页最后薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF cosdFdFx 五、物体对质点的引力五、物体对质点的引力rxrdyxG2),(*1 oyzxF的的引引力力方方向向为为处处对对点点点点M)y,x(,ayxS 下页返回上页最后,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz 同理同理为引力常数为引力常数G下页返回上页最后解解由积分区域

12、的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxaGFDz 23)(),(222 dayxaGD 23)(1222oyzxF例例7下页返回上页最后drrardaGR 0222023)(1 .11222 aaRGa 所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRGa 下页返回上页最后例例8.8. 计算由椭圆抛物面计算由椭圆抛物面z=x2+2y2及抛物柱及抛物柱面面z=2 x2所围立体体积所围立体体积.解：解： z=x2+2y2 z=2 x2 x2+y2=1D: x2+y21 DdzzV )(12 Dyxyxxd)d2()(2222Dxyz下页返回上页最后 Dyxyxd)d1(2

13、22 10220d)1(d2rrr 1042424rr 下页返回上页最后 axaaxaxadx2020dz2 axxaa0d22a 24aA DdAA1联立联立x2+y2=ax，x2+y2+z2=a2(a0)所围成。所围成。和和由由知知00,22zxaxazDxyydAzxdzd)()(122 zyxL22xaxadzdx 例例9.9. 求柱面求柱面x2+y2=ax含在球面含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内内部的那部分面积部的那部分面积.解解：A=4A1下页返回上页最后12y xy1xO例例1010求抛物线求抛物线 所围成的均匀薄片对于直线所围成的均匀薄片对于直线y=-1y=-1的转动惯

14、量。的转动惯量。12 yxy和和直直线线解解21(1)yDIyd 21121(1)xdxydy12318(1) 3xdx21336871375105下页返回上页最后例10. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(ddRxyzo0MazD,azyxSF下页返回上页最后RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRa

15、zrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量下页返回上页最后几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结下页返回上页最后思考题思考题.)0(cos,cos之之间间的的均均匀匀薄薄片片的的重重心心求求位位于于两两圆圆babrar 下页返回上页最后ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 思考题解答思考题解答下页返回上页最后练练 习习 题题下页返回上页最后五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六