高数期末总结

1、期末复习总结期末复习总结第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用一、定积分的概念与性质一、定积分的概念与性质1 1、定义：、定义：iniibaxfdxxf10)(lim)( 2 2、几何意义：曲边梯形的面积、几何意义：曲边梯形的面积3 3、性质：、性质：dxxgkdxxfkdxxgkxfkbababa )()()()(2121 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(0)( aadxxf baabdxxfdxxf)()(期末复习总结期末复习总结 babadxxgdxxfxgxfba)()(),()(,则则上上在在)()( )()(baabfdxxfba 积分中值定理积分中值定理是是

2、奇奇函函数数时时，当当)(xf;0)( aadxxf是是偶偶函函数数时时，当当)( xf aaadxxfdxxf0.)(2)(二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数1 1、定义：、定义：)()()(badttfxxa 2 2、导数：、导数：)()()(xfdttfdttfdxdxaxa 期末复习总结期末复习总结)()()()(xuxufdttfdxdxua )()()()()()()(xvxvfxuxufdttfdxdxuxv 三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()(| )()()()(aFbFxFdxxfCxFdxxfbaba 四、定积分的计算：方法与不定积分相同四、定

3、积分的计算：方法与不定积分相同1 1、换元积分法（既换元又换限）、换元积分法（既换元又换限）则则令令),(),( ba 根根式式代代换换三三角角代代换换令令)2()1()()()()(dtttftxdxxfba 期末复习总结期末复习总结2 2、分部积分法、分部积分法 bababaxduxvxvxuxdvxu)()(|)()()()( babadxxuxvxvxu)()(|)()(五、无穷限的反常积分五、无穷限的反常积分 CxFdxxf)()()()(lim| )()(aFxFxFdxxfxaa )(lim)(| )()(xFbFxFdxxfxbb )(lim)(lim| )()(xFxFxFd

4、xxfxx 期末复习总结期末复习总结六、定积分的应用六、定积分的应用 1 1、微、微元元法法 2 2、平面图形的面积、平面图形的面积 (1) (1)直角坐标情形直角坐标情形 (2) (2)极坐标情形极坐标情形 3 3、体积、体积 (1) (1)平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 (2) (2)旋转体体积旋转体体积期末复习总结期末复习总结dxxfdyyg)()( 第六章第六章 一阶常微分方程一阶常微分方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程两边积分两边积分dxxfdyyg)()( 得通解得通解CxFyG )()(二、可化为可分离变量方程二、可化为可分离变量方程齐次方程齐次方

5、程),(xydxdy uxyxyu 即即令令,)(dxduxuuxuxdxdy 则则代入原微分方程得代入原微分方程得期末复习总结期末复习总结 uudxduxudxduxu)()( dxxduuu1)(1 可分离变量方程可分离变量方程三、一阶非齐次线性微分方程三、一阶非齐次线性微分方程)0)()()( xQxQyxpdxdy通解公式：通解公式： dxxPdxxPeCdxexQy)()()(期末复习总结期末复习总结第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介理解空间直角坐标系，认识并会画简单的空间理解空间直角坐标系，认识并会画简单的空间曲面（平面、柱面、球面、

6、椭球面、椭圆抛物曲面（平面、柱面、球面、椭球面、椭圆抛物面、锥面）面、锥面）二、多元函数的定义、极限及连续性二、多元函数的定义、极限及连续性三、多元函数偏导数的概念与计算（本质：一元函三、多元函数偏导数的概念与计算（本质：一元函数的导数）数的导数）四、全微分的概念与计算四、全微分的概念与计算dyyzdxxzdz 期末复习总结期末复习总结五、多元复合函数求导法（画出各变量间的函数关系五、多元复合函数求导法（画出各变量间的函数关系结构图，看图写公式）结构图，看图写公式）六、二元隐函数求导法六、二元隐函数求导法则则确确定定的的隐隐函函数数是是由由方方程程设设,),(),(zyxFyxzz zyzxF

7、FyzFFxz ,zuvyx),(),(),(yxvyxuvufz 如如xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 期末复习总结期末复习总结七、二元函数极值的概念及其求法七、二元函数极值的概念及其求法1 1、解方程组、解方程组 0),(0),(yxfyxfyx2 2、).,(),(00yxyxf的的所所有有驻驻点点得得),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 设设值值大大为为极极小小且且)(),(),0( 0, 0) 1 (002yxfAABAC 。可能是也可能不是极值可能是也可能不是极值),(, 0)3(002yxfBAC 不不是是极极值值),(, 0)2(002y

8、xfBAC 期末复习总结期末复习总结八、二元函数的最值八、二元函数的最值九、条件极值九、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法1 1、有界闭区域、有界闭区域 上二元连续函数上二元连续函数 的最值：的最值：),( yxfD的的边边界界值值及及在在内内部部所所有有驻驻点点处处的的函函数数在在求求出出DDyxf),(较较大大小小。上上的的最最大大、最最小小值值，比比2 2、实际问题求最值，、实际问题求最值， 内部唯一驻点必为最值点情形。内部唯一驻点必为最值点情形。D1 1、构造拉格朗日函数、构造拉格朗日函数)(),(),(),(为为参参数数 yxyxfyxL :)(0),(),(值值最最下下的的极极在

9、在约约束束条条件件求求目目标标函函数数 yxyxfz 期末复习总结期末复习总结2 2、求驻点，即解方程组、求驻点，即解方程组 0),(0),(),(0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 该点是否为真的条件极值点，往往据问题性质可判断。该点是否为真的条件极值点，往往据问题性质可判断。满足该方程组的点满足该方程组的点),(yx就是可能的条件极值点。至于就是可能的条件极值点。至于期末复习总结期末复习总结第九章第九章 二重积分二重积分一、二重积分的概念和性质一、二重积分的概念和性质1 1、定义：、定义：2 2、性质、性质3 3、几何意义：曲顶柱体的体积、几何意义：曲顶柱体的体积二、

10、二重积分的计算二、二重积分的计算iiniiDfdyxf ),(lim),(10 1 1、直角坐标系下二重积分的计算、直角坐标系下二重积分的计算期末复习总结期末复习总结,:) 1 (bxaD 若若).()(21xyx X X型型域域.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:) 2(dycD 若若).()(21yxy Y Y型型域域期末复习总结期末复习总结.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(,: D).()(21 rrr 2 2、极坐标系下二重积分的计算、极坐

11、标系下二重积分的计算(1)(1)极点极点 是区域是区域 的外点的外点ODb.b.被积函数在极坐标下较简单，如被积函数在极坐标下较简单，如题型特点：题型特点：a.a.积分区域积分区域 的边界为圆或部分圆弧；的边界为圆或部分圆弧；D).(22yxf 期末复习总结期末复习总结.)sin,cos()(0 rrdrrrfd,: D).(0 rr Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rrdrrrfd,20: D).(0 rr (2)(2)极点极点 是区域是区域 的边界点的边界点OD(3)(3)极点极点 是区域是区域 的内点的内点OD期末

12、复习总结期末复习总结第十一章第十一章 无穷级数无穷级数一、常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念与性质1 1、概念、概念(1)(1)定义定义 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和(2) 级数的收敛与发散级数的收敛与发散.,lim11 nnnnnnususs且且级级数数的的和和收收敛敛则则称称若若.,lim1发发散散则则称称不不存存在在若若 nnnnus期末复习总结期末复习总结2 2、性质、性质(1)(1)具具有有相相同同敛敛散散性性。与与)0(11 kkuunnnn(2) ，则则、分分别别收收敛敛于于与与若若BAvunnnn 11收收敛敛。BAvuv

13、unnnnnnn 111)(发发散散，收收敛敛，若若 11nnnnvu发发散散。则则)(1nnnvu (3) 在级数中去掉、增加或改变前面有限项，不在级数中去掉、增加或改变前面有限项，不改变级数的敛散性。改变级数的敛散性。 期末复习总结期末复习总结(4)(4). 0lim1 nnnnuu 收收敛敛01 nnnuu ，二、正项级数二、正项级数.0lim1发发散散 nnnnuu.0lim1收收敛敛 nnnnuu定义定义1、比较判别法、比较判别法（1） 1111nnnnnnnnnnvuuvvu发发散散发发散散收收敛敛收收敛敛注：注：期末复习总结期末复习总结(2)(2) 11,0(limnnnnnnn

14、vullvu与与则则为为确确定定常常数数） 11011,1111,npnnnPPnPnqqaq时时发发散散时时收收敛敛，级级数数发发散散调调和和级级数数时时发发散散时时收收敛敛，等等比比级级数数比比较较级级数数 具有相同敛散性具有相同敛散性期末复习总结期末复习总结2、比值判别法、比值判别法 11111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuuu敛敛散散性性需需另另外外判判别别，发发散散收收敛敛 一般项一般项 中含阶乘或指数表达式中含阶乘或指数表达式 情形的适用。情形的适用。nuna期末复习总结期末复习总结3、根值判别法、根值判别法 1111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuu敛敛

15、散散性性需需另另外外判判别别，发发散散收收敛敛 一般项一般项 中含有某个表达式中含有某个表达式 次幂情形的适用。次幂情形的适用。nun期末复习总结期末复习总结莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件0lim)2(), 2 , 1()1(1 nnnnunuu则级数收敛。则级数收敛。三、任意项级数三、任意项级数1、交错级数、交错级数定义定义 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中期末复习总结期末复习总结2、绝对收敛与条件收敛、绝对收敛与条件收敛定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发

16、发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .)1(11收收敛敛必必收收敛敛，则则若若 nnnnuu（2）别别法法或或根根植植判判别别法法若若用用正正项项级级数数的的比比值值判判)3(.11也也发发散散发发散散，则则可可得得判判断断出出 nnnnuu期末复习总结期末复习总结四、幂级数四、幂级数1 1、函数项级数、函数项级数概念概念(1)(1) 定义定义(2)(2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域Ixxuxuxuxunnn ,)()()()(211部分和部分和 nkknnxuxuxuxuxs121)()()()()(,)(,100收收敛敛常常数数项项级级数数

17、如如果果对对于于 nnxuIx期末复习总结期末复习总结存存在在，对对收收敛敛域域中中的的点点)(limxsxnn 则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否则称为否则称为发散点发散点. .所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,(3)(3) 和函数和函数记记作作)()(limxsxsnn ，且且有有为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数称称)(xs).()(1xuxsnn 期末复习总结期末复习总结2、幂级数及收敛域、幂级数及收敛域(1)(1) 定义定义(

18、2)(2) 收敛收敛半径半径与收敛域与收敛域,00 nnnnaxa的的所所有有系系数数如如果果幂幂级级数数,0nnnxa 标准形式标准形式. .其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.,)(00nnnxxa 一般形式一般形式. .则则收收敛敛半半径径设设,lim1 nnnaa期末复习总结期末复习总结 0, 0),(0,),(:0,1xRRR收收敛敛域域：收收敛敛域域：与与收收敛敛端端点点并并集集收收敛敛区区间间收收敛敛域域 00nnnnxaa断断，则则可可用用比比值值判判别别法法判判若若存存在在进进而而求求出出其其的的敛敛散散性性，的的敛敛散散性性，得得到到 0nnnxa收收敛敛半半径径与与收收敛敛域域。期末复习总结期末复习总结( (3 3) ) 幂级数和函数的性质幂级数和函数的性质.)(0在在收收敛敛域域上上连连续续的的和和函函数数幂幂级级数数xsxannn 1 1) ) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可积积,且且对对),(RRx 可可逐逐项项积积分分. 3 3) ) 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次. 2 2) ) 期末复习总结期末复习总结五、五、 函数展开成幂级数函数