五点菱形格式-拉普拉斯第一边值问题-计算实习报告

1、精选优质文档-倾情为你奉上计算实习报告姓名：蔡欣麟 学号：一、 实习目的1、熟悉偏微分方程数值解的理论知识；2、提高matlab编程能力。3、进一步加深对使用matlab解决相关数学问题的理解。二、 实习内容运用matlab实现对Laplace方程第一边值问题的求解。三、 算法公式考虑如下区域=上求解Poisson方程边值问题Lu=-u=f x,ya,b×c,d= (1)un+k(x,y)u=r(x,y)的差分方法。用差分方法求解椭圆边值问题时，对区域离散化统一采用矩形网格剖分。对是矩形区域的情况，可将a,b等分为N等分，记h1=ab/N；将c,d等分为M等分，记h2=cd/M；的离

2、散结果记为h，网格节点记为（i,j）,边界结点为i=1和N+1,j=1和M+1的情形，内结点为2iN，2jM的情形。在差分方程中，微分方程的离散化处理都采用差商代替微商的方法。为此，要先假设解函数u（x,y）足够光滑，以便利用Taylor展开式做出差商近似。设（i,j）是内节点，为了表现在该结点处的微商，应用Taylor展式，有1h12uxi+1,yi-2uxi,yi+uxi-1,yi=2(xi,yi)x2+h12124u(xi,yi)x4+h143606u(xi,yi)x6+O(h16)1h22uxi,yi+1-2uxi,yi+uxi,yi-1=2u(xi,yi)y2+h22124u(xi,

3、yi)y4+h243606u(xi,yi)y6+O(h26)用以上两式中的沿x和y方向的二阶中心差商直接代替方程（1）中的uxx和uyy，就得到-1h12ui+1,j-2uij+ui-1,j-1h22ui,j+1-2uij+ui,j-1=fij (2)由于式（2）中只出现u在点（i,j）及其4个邻点共五个节点处的值；另外，对一切内节点（2）都适用；称（2）为五点差分格式。五点差分格式的截断误差为Ri,j=uxi,yi-huxi,yi=O(h2)四、 程序设计1、 计算实例在区域求解Laplace方程第一边值问题：(要求取x方向与y方向取相同的步长)：(结果：取h0.125，利用五点菱形格式，用

4、Gauss-Seidel进行迭代计算得数值结果按先沿x方向后沿y方向为：5.25，12.50，18.75，12.50，25.00，37.50，18.75，37.50，58.25)2、 模块设计(1)网格剖分；(2)近似；(3)Gauss-Seidel迭代；(4)输出结果。3、 变量说明q：内点初始值(边界值的算术平均值) u：序号点的函数值U: 每次迭代序号点的函数值 u1：上次迭代的函数值du：两次迭代函数值的偏差。4、 程序清单（附）clear;clc;q=25;u=0;0;0;0;0;0;q;q;q;25;0;q;q;q;50;0;q;q;q;75;0;25;50;75;100;for

5、i=1:100for j=1:25 U(j,i)=u(j); u1(j)=u(j);endu(7)=(u(2)+u(6)+u(8)+u(12)/4;u(8)=(u(3)+u(7)+u(9)+u(13)/4;u(9)=(u(4)+u(8)+u(10)+u(14)/4;u(12)=(u(7)+u(17)+u(11)+u(13)/4;u(13)=(u(8)+u(18)+u(12)+u(14)/4;u(14)=(u(9)+u(19)+u(13)+u(15)/4;u(17)=(u(12)+u(16)+u(18)+u(22)/4;u(18)=(u(13)+u(17)+u(19)+u(23)/4;u(19)

6、=(u(14)+u(18)+u(20)+u(24)/4;for j=1:25 du(j)=u(j)-u1(j);endif norm(du,1)<=0. break; end endfor i=1:5 for j=1:5 u2(i,j)=u(5*(i-1)+j); endendmesh(u2);五、 结果分析这样我们就求出了这25个点的精确值，在0,0.5×0,0.5区域内的所有点都可以用最靠近它的网格点来近似，这样我们就很好地解决了这个偏微分方程问题。六、 实习心得通过本学期的计算实习，我对偏微分数值解有了更深的了解。虽然学艺不精，对matlab的掌握还有待提高，但是较以前有了明显进步，应该说是这门课让我在这学期受益良