高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换

1、二二.平面直角坐标系中的伸缩平面直角坐标系中的伸缩变换变换xO 2 y=sinxy=sin2x思考：思考： （1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到得到曲线曲线y=sin2x? 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来的的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12 上述的变换实质上就是一个坐标的上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：压缩变换，即： 设设P(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意一点，一点，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩缩为

2、原来为原来 ，得到点得到点P(x,y).坐标对应关坐标对应关系为：系为：12x= xy=y121通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：8642-2-4-6-8-10-5510（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?写出其坐标变换。写出其坐标变换。设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x=xy=3y2通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。的一个坐标伸长变换。2 在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），）

3、，保持横坐标保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原不变，将纵坐标伸长为原来的来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。 上述的变换实质上就是一个坐标的上述的变换实质上就是一个坐标的 伸长变换，即：伸长变换，即：8642-2-4-6-8-10-5510（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来缩为原来的的 ，在此基础上，将纵坐标变为原，在此基础上，将纵坐标变为原来的来的3倍，就得到正弦曲线倍，就

4、得到正弦曲线y=3sin2x.12设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x= xy=3y123通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。的一个坐标伸缩变换。3定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中任意一点，在变换任意一点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换

5、得到；换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。缩变换。0,01)2(032) 1 (32222yxyxyyxx、后的图形。换对应的图形经过伸缩变，求下列方程所、在平面直角坐标系中例0032320, 032)5()5(312132) 1 (yxyxyyxxyxyxyyxxyyxx变成直线后，直线所以，经过伸缩变换后的方程为得到经过伸缩变换代入将得到由伸缩变换解：194132194, 1)5()2(22222222yxyxyyxxyxyx变成椭圆后，圆所以，经过伸缩变换图形的方程是得到经过伸缩变换

6、后的代入、将由上所述可以发现，在伸缩变换由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下，下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。圆。思考：思考：在伸缩变换在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？练习：练习：1.在直角坐标系中，求下列方程所对在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换应的图形经过伸缩变换x=xy=3y后的图形。后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，求满足下列在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变变为曲线为曲线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的的方程并画出图形。方程并