高中数学选修4-1相似三角形的判定及性质

1、第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相相似三角形对应边的比值叫做相似比似比(或相似的系数或相似的系数).复习回顾预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的或两边的延长线延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述简述: :两角

2、对应相等两角对应相等, ,两三角形相似两三角形相似CBA已知已知,如图如图,在在ABC和和A B C 中中,A=A ,B=B , 求证求证:ABCA B C ABCDE证明: 在在ABC的边的边AB(或或AB的延长线的延长线)上上,截截取取AD=AB,过点过点D作作DE/BC,交交AC于点于点E.由由预备定理得预备定理得:ADEABCADE=B,B=B ADE=B A=A , AD=A B ADE A B C A B C ABCABCCBADE判定定理判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形, ,如果一个三如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对角形的两边和另一个三角形的两边对应成比

3、例应成比例, ,并且夹角相等并且夹角相等, ,那么这两个那么这两个三角形相似三角形相似. .简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等, ,两三角形相似两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在ABC和ABC中,A=A,ACCAABBA求证: ABCABCADE ABCACCAABBAACAEABADDE/BCABCADECBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且ACAEABAD求证：DE/BCE证明: 作 DE/BC,交AC于EACAEABADACAEABADACAEACAEAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与DE重合重合, 所以所以 DE

4、/BC采用了“同一法”的间接证明引理引理 如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边( (或两边的延或两边的延长线长线) )所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例, ,那么这条直线平行那么这条直线平行于三角形的第三边于三角形的第三边. .在探究数学问题的过程中，应当做到在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有步步有据据”。 有时有时,为了寻找某个步骤的推理依据为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产往往会产生一个原命题的辅助问题生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题数学家把这种辅助问题称为称为引理引理. 当直接证明比较困难时当直接证明比较困难时,用用间接法间接法. “同一法同一法

5、”是一种间接证明方法是一种间接证明方法. “同一法同一法”证明问题时证明问题时:先作出一个满足命先作出一个满足命题结论的图形题结论的图形,然后证明图形符合已知条件然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与确定所做图形与提设条件所指的图形相同提设条件所指的图形相同,从而证明命题成立从而证明命题成立.例例3.如图，在如图，在ABC内任取一点内任取一点D,连接连接AD和和BD,点点E在在ABC外外,.DBE:ABC求证ABECD证明证明:在在DBE与与ABC中中,.,DBCABDABCCBDEBCDBE) 1 (.,ABCDBEEBCABD.,DABECBABDEBC.,DABECBABDEBC又.A

6、BDCBE即.ABBCBDBE)2(.ABBDBCBE由(1)(2)及判定定理2知.DBEABC判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似ABCCBA已知:如图,在ABC和ABC中CAACBCCBABBA求证: ABCABC证明: 在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.DECAEABCDEABADADEABC AD=ABABBAABADCAACBCCBABBACAACCAEABCCBBCDE,ACEACBDE,ADE ABCABCABC例 如图,已知D、

7、E、F分别是ABC三边、BC、CA、AB的中点. 求证：DEFABCFDEBAC证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线ABDECAFDBCEF21,21,2121ABDECAFDBCEFDEFABC直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理定理定理 （1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。那么它们相似。 （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。例，那么它们相似。类比类比直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对斜边和一条直角边对应相等的两

8、个直角三角形全等应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形能得直角三角形相似相似的的另一个判定定理另一个判定定理.两角对应相等两角对应相等两边对应成比例两边对应成比例及及夹角相等夹角相等定理定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。.90CC.ABC:0CAACBAABCBARtRt中和已知CBARtRtABC:求证. kCBBCCAACBAAB.ABCAkACBAk那么，.)(22222222CBkCABAkA

9、CABBC.CBkBCCBARtRtABC3得由判定定理ABCABC. kCAACBAAB：设证明2.相似三角形的性质相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D 2.相似三角形的性质相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；角平

10、分线的比都等于相似比；ABDCA B C D .90.0BAABDAADDBAABDBDAADBBBCBAABC:证明2.相似三角形的性质相似三角形的性质ABDCA B C D CBAABC:证明（2）相似三角形周长的比等于相似比；）相似三角形周长的比等于相似比；. kCBBCCAACBAAB.ABCAkACCBkBCBAkACCBBACABCAB.)(kACCBBAACCBBAk（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D .21212kkkDAADCBBCDACBADBCSSCBAABC 例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和

11、AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE分析: (1)只要证明RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD例例6.如图如图,锐角三角形锐角三角形ABC是一块钢板的余料是一块钢板的余料,边边BC=24cm,BC边上的高边上的高AD=12cm.要把它加工成要把它加工成正方形零件正方形零件,使正方形的一边在使正方形的一边在BC上上,其余两个顶其余两个顶点分别在点分别在AB,AC上上.求求这个正方形零件的边长这个正方形零件的边长.ABCMDQPNE解解:设正方形设正方形PQMN为加工成为加工成的正方形零件的正方形零件.边边QM在在BC上上,

12、顶点顶点P,N分别在分别在AB,AC上上. ABC的高与边的高与边PN相交于点相交于点E.设正方形的边长为设正方形的边长为xcm. )(8241212cmxxxxBCPNADAEABCAPNBCPN/ 相似三角形中的高，中线，内角平分线，相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关周长，面积等要素都与相似比有关. 思考：思考： 那么，与三角形有关但不在三角形内的那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆三角形的外接圆和内接圆问题问题1 两个相似三角形的

13、外接圆的直径比，周长两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？比，面积比与相似比有什么关系？探究探究：ABDCOABDCOC=C而而D=C D=CD=D,RtABDRtABD. kBAABDAADADADO22的周长DADAO22的周长. kDAADOO周长周长.)2()2(222kDAADOO面积面积结论：结论：两个相似三角形的外接圆的两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比直径比，周长比等于等于相似比；面积比相似比；面积比等于等于相似比的平方。相似比的平方。问题问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系

14、？比，面积比与相似比有什么关系？结论：结论：两个相似三角形的内切圆的两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比直径比，周长比等于等于相似比；面积比相似比；面积比等于等于相似比的平方。相似比的平方。Rr习题习题 1.35.如图如图,线段线段EF平行于四边形平行于四边形ABCD的一边的一边AD,BE与与CF交于一点交于一点G,AE与与DF交于一点交于一点H.求证求证:GH/AB.ABCDEFGHEGAGEFADEFBCEHBH预备定理预备定理 定义定义 引理引理习题习题 1.36.已知已知:DE/AB,EF/BC.求证求证:DEFABC.7.ABC是钝角三角形是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高

15、分别是三条高. 求证求证:ADBC=BEACABCEDFOABCDEF三边对应成比例ACDBCE.习题习题 1.310.如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中中,AEEB=12 求求:AEF与与CDF的周长比的周长比; 如果如果AEF的面积等于的面积等于6cm, 求求CDF的面积的面积.ADEBCF作业：作业：1、如果一个圆过、如果一个圆过ABC的顶点的顶点B和和C，并且分，并且分别交别交AB、AC于点于点D和点和点E。求证：求证：A DA EA CA B2、已知、已知E是圆内接四边形是圆内接四边形ABCD的对角线的对角线BD上上的一点，并且的一点，并且BAE=CAD，求证：求证：(1)(2

16、)AB CDAC BEAD BCAC ED3、已知：在、已知：在ABC和和ABC中，中，A=A，AB=a，AC=b，AB=a，当，当 AC为多少时，为多少时， ABCABC？2相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形面积的比等于相似比的平方；1相似三角形对应高的比、对应中线相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；的比和对应角平分线的比都等于相似比；4、已知、已知ABC，求作，求作ABC，使它与，使它与ABC相似，并相似，并且且ABC和和ABC的相似比为的相似比为2：3。5、如图，线段、如图，线段EF平行于平行四平行于平行四边形边形ABCD，的一边，的一边AD，BE与与CF交于一点交于一点G，AE与与DF交于一交于一点点H，求证：，求证：GHABABCDEFGH6、如图：已知、如图：已知DEAB，EFBC。求证：求证：DEF ABCAOBCDEF2相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；3相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形面积的比等于相似比的平方；1相似三角形对应高的比、对应中线相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比；的