高等数学-第七版-课件-11-6对坐标的曲面积分

1、第六讲第六讲 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义曲面的侧曲面的侧通过曲面上任一点处法向量的指向来指定通过曲面上任一点处

2、法向量的指向来指定例：例：:( , )zz x yn (,1)xyzzcos0 上侧上侧(, 1)xyzzcos0 下侧下侧:( , )xx y z n (1,)yzxx cos0 前侧前侧( 1,)yzxx cos0 后侧后侧:( , )yy x z n (,1,)xzyy cos0 右侧右侧(, 1,)xzyycos0 左侧左侧oxyzoxyzoxyz有向曲面有向曲面 规定了侧的曲面规定了侧的曲面流向平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域单位时间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量? ( , )2v n 流体流速为流体流速为v流向

3、平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域流体流速为流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量Av n ( , )2v n |cos( , )VA vv nAv n vn流向平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域流体流速为流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量Av n ( , )2v n 0|cos( , )VA vv nAv n vn流向平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域流体流速为流体流速为v单位时

4、间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量Av n ( , )2v n |cos( , )VA vv n vn|cos( , )VA vv n 流向平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域流体流速为流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量Av n 有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影vPiQjRk coscoscosnijk Av n coscoscosPAQARA |cos|A A在在xoy面上的投影区域的面积面上的投影区域的面积cosA A在在xoy面上的投影区域的面积的代数值面上的投影区域的

5、面积的代数值称称cosA 为为A在在xoy面上的投影面上的投影. .分别称分别称cosA 为为A在在yoz面和面和zox面上的投影面上的投影. .cosA oxyz上述问题中上述问题中, , 设设An流向平面一侧的流量流向平面一侧的流量设有一面积为设有一面积为A的平面闭区域的平面闭区域流体流速为流体流速为v单位时间内流向区域指定侧的流量单位时间内流向区域指定侧的流量Av n 有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影oxyzn设设是有向曲面是有向曲面,在在上取一小块曲面上取一小块曲面,S S 在在xoy面上的投影区域的面积为面上的投影区域的面积为.)(xy 规定规定S 在在xoy面上的投

6、影面上的投影xyS)( 为为 xyS)(,)(xy 假定假定S 上各点处法向量的方向余弦上各点处法向量的方向余弦 cos有相同的符号有相同的符号.0cos ,)(xy 0cos 0cos 0S在在xOy面上的投影区域面上的投影区域的面积附以一定的正负号的面积附以一定的正负号类似可定义类似可定义zxyzSS)( ,)( S 一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量分割分割: :xyiiiiz

7、xiiiiyziiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiSRSQSPSRQPSnv)(,()(,()(,(cos),(cos),(cos),(求和求和: :取极限取极限: :取近似取近似: :流速流速 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体, ,为一有向曲面为一有向曲面?12,nSSSoxyz单位时间流向单位时间流向指定侧的流量指定侧的流量( ,)( ,)( ,)iiiiiiiiiivPiQjRk coscoscosiiiinijk)(,()(,()(,(1 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP )(,()

8、(,()(,(lim10 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP ),(kkkin一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义一、一、 对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念（一）预备知识（二）引例（三）对坐标的曲面积分的定义定义定义( , , )d d ,R x y zx y 其中其中R( (x, ,y, ,z) )叫做被积函数叫做被积函数,叫做积分曲面叫做积分曲面. .即即01( , , )d dlim(,)() .niiiixyiR x y zx yRS 设设是光滑的有向曲面是光滑的有向曲面, ,R( (x

9、, ,y, ,z) )在在上有界上有界. . 把把任意分成任意分成n小块小块Si i(Si i同时又表示第同时又表示第i小块的面积小块的面积),), 小块曲面直径的最大值小块曲面直径的最大值 时时, ,这和的极限总存在这和的极限总存在, ,且与曲面且与曲面是是Si上任意取定的一点上任意取定的一点, ,作乘积作乘积(,)iii 在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标x, ,y的曲面积分的曲面积分, ,记作记作Si在在xoy面面上的上的投影为投影为(),ixyS 12( ,)() (, , ),iiiixyRSin 并作和并作和 如果当各如果当各1( ,)() ,niiiixyiRS 0 的分法及点

10、的分法及点 的取法无关的取法无关, ,那么称此极限为函数那么称此极限为函数( (x, ,y,z) )(,)iii 类似可定义函数类似可定义函数(x,y,z)在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标y、z 的曲的曲面积分及面积分及函数函数Q( (x, ,y, ,z) )在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标x、y 的的曲面积分曲面积分, ,分别为分别为l注注(1)(2)函数函数P, ,Q, ,R在有向光滑曲面在有向光滑曲面上连续上连续, ,第二类曲面积分存在第二类曲面积分存在. .01( , , )d d(,)()limniiiiyziP x y zy zPS 应用中经常出现组合形式的第二类曲面积分应

11、用中经常出现组合形式的第二类曲面积分以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分. .( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 通常记为：通常记为：( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx y 01( , , )d d(,)()limniiiizxiQ x y zz xQS 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系

12、对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系线性性质线性性质可加性可加性与侧有关与侧有关( , , )d d( , , )d dP x y zy zP x y zy z ( , , )d d( , , )d dQ x y zz xQ x y zz x ( , , )d d( , , )d dR x y zx yR x y zx y 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对

13、坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系定理定理( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y 且且设设R(x,y,z) )在曲面在曲面上连续上连续,的方程为的方程为z= =z( (x, ,y) )则曲面积分则曲面积分( , , )d dR x y zx y 存在存在, ,在在xoy面上的投影区域为面上的投影区域为Dxy, ,z= =z( (x, ,y) )在在Dxy上有连续偏导数上有连续偏导数, ,（为上侧取正号；为上侧取正号； 为下侧取负号为下侧取负号）注注(1) 对坐标的曲面

14、积分的计算归结为计算一个对坐标的曲面积分的计算归结为计算一个二重积分二重积分! !(2) 化为二重积分中的三个变化化为二重积分中的三个变化Dxy R(x,y,z) , , ( , )R x y z x yd dx yd dx y (3) 注意注意: :必须向必须向xoy面投影，面投影，Dxy的面积为零时，曲面积分为零的面积为零时，曲面积分为零. .(4) 口诀口诀: :一投、二代、三定号一投、二代、三定号. .( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y （为上侧取正号；为上侧取正号； 为下侧取负号为下侧取负号）其它公式其它公式：( ,

15、 ), ( , ),xzy y xzx zD：( , ), ( , ),yzx x y zy zD ( , , )d d( , ( , ), )d dzxDQ x y zz xQ x y x zzz x ( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y （为上侧取正号；为上侧取正号； 为下侧取负号为下侧取负号）（为右侧取正号；为右侧取正号； 为左侧取负号为左侧取负号）( , , )d d( ( , ), , )d dyzDP x y zy zP x y zy zy z （为前侧取正号；为前侧取正号； 为后侧取负号为后侧取负号）对坐标的曲面积

16、分计算步骤对坐标的曲面积分计算步骤明确明确的方程的方程化为二重积分化为二重积分确定确定( , , )d dR x y zx y 一投二代三定号( , )R x y z积分曲面积分曲面 被积函数被积函数( , ( ,)R x y z x y面积元素面积元素d dx yDxyd dx y ( , , ( , )d dxyDR x y z x yx y 计算二重积分计算二重积分( , )zz x y 明确明确对坐标的曲面积分计算步骤对坐标的曲面积分计算步骤明确明确的方程的方程化为二重积分化为二重积分确定确定( , , )d dR x y zx y ( , , ( , )d dxyDR x y z x

17、 yx y 计算二重积分计算二重积分对坐标的曲面积分解题模板对坐标的曲面积分解题模板的方程为的方程为:xy:求投影求投影!必须有必须有明确明确:由由得得:xy 取取侧侧必须指明侧必须指明侧 !u例例1 1 yxzxzyzyxdddddd222其中其中 是长方体是长方体的整个表面的外侧的整个表面的外侧, , 000( , , )|,x y zxaybzc 计算曲面积分计算曲面积分u例例2 2 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是球面是球面外侧在外侧在x0,0,y00的部分的部分. . 2221xyz yxxyzddoxzy12364512oxzyabc对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、坐标的曲

18、面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系:( , ), ( , ),xyz z x yx yD 取上侧，取上侧，( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y 2211cosxyzz ( , , )cos d( , , ( , )d dxyDR x y zSR x y z x yx y ( , , )cos d( , , )d dR x y zSR x y zx y 若若取下侧取下侧, ,有同样结论有同样结论( , , )cos d( , , )d dR x y zSR x y