高中数学定积分定义

1、上页 下页 返回 退出 定积分概念与性质一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 上页 下页 返回 退出 一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1.曲边梯形的面积 上页 下页 返回 退出 观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？上页 下页 返回 退出 求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxixixi1; 小曲边梯形的面积近似为

2、f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取极限: 设maxDx1, Dx2, Dxn, 曲边梯形的面积为 DniiixfA10)(limx. (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;DniiixfA10)(limx 上页 下页 返回 退出 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物体在时间

3、段T1, T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记maxDt1, Dt2, Dtn, 物体所经过的路程为 DniiitvS1)(; DniiitvS10)(lim. 上页 下页 返回 退出 二、定积分定义v定积分的定义maxDx1, Dx2,Dxn; 记Dxixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1性质3 注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 上页 下页 返回 退出 三、定

4、积分的性质性质1 性质2 性质3 性质4 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 上页 下页 返回 退出 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 这是因为g(x)f(x)0, 从而 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以上页 下页 返回 退出 这

5、是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 推论2 即 babadxxfdxxf| )(|)(|. badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 上页 下页 返回 退出 推论1 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 推论2 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值,

6、 则 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). baabMdxxfabm)()()(ab). 上页 下页 返回 退出 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x , 使下式成立: 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) 积分中值公式. 由介值定理, 至少存在一点xa, b, 使两端乘以ba即得积分中值公式.baabfdxxf)()(x. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, badxxfabf)(1)(x, 上页 下页 返回 退出 解解,sin31)(3xxf, 0 x, 1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx上页 下页 返回 退出 总结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限上页 下页 返回