高数无穷级数复习

1、第七章第七章 无穷级数无穷级数常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数泰勒级数泰勒级数0)(xRn为常数为常数nu)(xuunn为为函函数数0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 1nnu一、无穷级数的概念一、无穷级数的概念第一节第一节 基本概念与性质基本概念与性质1nnunuuuu321无穷级数无穷级数级数的一般项级数的一般项级数的前级数的前 n 项和项和nkknuS1称为级数的称为级数的部分和部分和nuuuu321limnnSS若若 存

2、在，则称无穷级数存在，则称无穷级数收敛收敛，并称并称S为级数的和，记作为级数的和，记作1nnuS若若 不存在，则称无穷级数不存在，则称无穷级数发散发散.limnnS1111(1)ln (2)(1)nnnnn n解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln例例7-1. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .31214131111nn技巧技

3、巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和收敛收敛级数级数1nnSulim0nnulim0nnu二、级数收敛的必要条件二、级数收敛的必要条件lim0nnu1nnu收敛收敛？1nnu发散发散三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S ,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,即即其和为其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1n

4、nnvu 必必发散发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .第二节第二节 正项级数正项级数一、正项级数定义一、正项级数定义若若,0nu1nnu则称则称为为正项级数正项级数 .二、正项级数收敛的充要条件二、正项级数收敛的充要条件定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则nu1（1）当）当 时，级数时，级数收敛收敛

5、；（2）当）当 或或 时，级数时，级数发散发散；（3）当）当 时，判别法失效时，判别法失效.定理定理2. 比值判别法比值判别法11limnnnuu1 三、正项级数收敛的判别法三、正项级数收敛的判别法定理定理3. 比较判别法比较判别法若若 1nnu收收敛敛( (发发散散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛( (发发散散) ). .01pnn(常数常数 p 0)调和级数调和级数nnn13121111p 级数级数11pp收敛收敛发散发散发散发散是两个常用的比较级数是两个常用的比较级数设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则nulimnnnu11（1）当）当 时，级数收敛；

6、时，级数收敛；（2）当）当 时，级数发散；时，级数发散；（3）当）当 时，判别法失效时，判别法失效.定理定理5. 根值判别法根值判别法1第三节第三节 任意项级数任意项级数一一 、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法则各项符号正负相间则各项符号正负相间称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数 收敛收敛.1(1)(1, 2,);nnuun(2)lim0,nnunnnu11) 1(,2, 1,0nun设递减递减 )1()1(111nnnnnnuu 或或的级数的级数收敛收敛111(1)( 1)nnn111(

7、2)( 1)!nnn11(3)( 1)10nnnn收敛收敛例例7-6.用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性.111nn1lim0nn11!(1)!nn1lim0!nn收敛收敛二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 对任意项级数对任意项级数 ，若，若 收敛，则称原级收敛，则称原级数数 绝对收敛绝对收敛.1nnu若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则则称原级数称原级数 条件收敛条件收敛.1nnu1nnu1nnu绝对收敛的级数必收敛绝对收敛的级数必收敛.例例7-7. 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛41s

8、in(1).nnn证证: (1),1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛 .内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值判别法 limn1nunu根值判别法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较判别法用它法判别部分和极限13. 任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1) 1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称第四节第四节 幂级数幂级数一、幂级数及其收敛性一、幂

9、级数及其收敛性1.幂级数的定义幂级数的定义形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan当当 时，级数变为时，级数变为00 x0nnnxannxaxaxaa2210称为幂级数的称为幂级数的系数系数 .nnxxa)(00nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间的收敛域是以原点为中心的区间.二、幂级数的收敛半径及其收敛域的求法二、幂级数的收敛半径及其收敛域的求法(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， (R , R ) 称为称为收敛区间收

10、敛区间.0nnnxa1limnnnaRa（1 1）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 定理定理2. 2. 若若 的系数满足的系数满足 ，则则收敛半径收敛半径0R (, )R RxR 端点端点 处的敛散性要另外讨论处的敛散性要另外讨论. .（2 2）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 R (,) （3 3）当）当 时时, ,收敛域为收敛域为 0R 0 x 对端点 x =1, 1limnnnaaR11( 1)nnnxn解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为 limn例例7-8.求下列幂级数的收敛半径及其

11、收敛域求下列幂级数的收敛半径及其收敛域.（1）001!.!nnnnxn xn解解: (3) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为所以收敛域为. ),(4) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .! ) 1(1n（3）（4）求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法（1）对标准型幂级数）对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径（比值法）（比值法） , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .（2）对非标准型幂级数）对非标准型幂级数(通项为复合式通项为复合式)0(0nnnnaxa可通过可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .小结：小结：)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn若函数若函数 在在 的某领域内具有的某领域内具有 阶导阶导数，则在该领域内有数，则在该领域内有( )f x此式称为此式称为 的的 阶泰勒级数阶泰勒级数. .三、函数的幂级数展开三、函数的幂级数展开1.泰勒级数泰勒级数0 x1n( )f xn当当 时时, , 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 . .00 x 2. 函数的幂级数的直接展开法函数的幂级数的直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知, , 函数函数 展开