高二数学双曲线的定义和标准方程1

1、一、回顾1 1、椭圆的定义是什么？、椭圆的定义是什么？ 2 2、椭圆的标准方程、焦点坐标、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？是什么？定义图象方程焦点a.b.c的关系yoxF1F2yoF1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) oF1F2) 0( 12222babyax) 0( 12222 babxay1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常

2、数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 双曲线两条射线1、 2a |F1F2 | 无轨迹无轨迹|MF1| - |MF2|= 2a想一想？想一想？ 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2F1M 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差等于常数等于常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.的绝对值的绝对值（小于（小于F1F2）注意注意定义定义: | |MF1| - |MF2| | = 2a1. 建系设点建系设点.F2F1MxOy2. 写出适合条件的点写出

3、适合条件的点M的集合；的集合；3. 用坐标表示条件，列出方程；用坐标表示条件，列出方程；4. 化简化简.求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：方程的推导方程的推导xyo设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数常数=2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴，线段线段F1F2的中点为原点建立直角的中点为原点建立直角坐标系坐标系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这如何求这优美的优美的曲线的方程？曲线的方

4、程？4.4.化简化简. .2222()()2 .xcyxcya 222222()2().xcyaxcy 222().cxaaxcy 22222222()().ca xa ya ca oF2FMyx1222.cab 22221(0,0)xyabab F1F2yxo焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程的标准方程 想一想想一想F1(0,-c), F2(0,c)22221(0,0)yxabab 222cab 确定焦确定焦 点点 位置位置：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲看系数正负双曲看系数正负12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，双曲线的标准方程

5、双曲线的标准方程F ( c, 0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)1916. 122yx1916. 322xy1169. 222yx1169. 422xy判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。cba, 2222222211214222314(0,0)42xyxyxynxmymn mn 答案：答案： 12,2,6(6,0).( 6,0);abc 22,2,2( 2,0).(2,0);abc 32,2,6(0,6).(0,6);abc 4,(,0).(,0);am bn cmnmnm

6、n （1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2） 是否表示双曲线？是否表示双曲线？ 221(0)xymnmn 表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；x0;0mn 表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。y0;0mn 表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。m22121xymm 答案：答案： 。12mm 或或例例1 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上，双曲线上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于8，求双曲线，求双曲线的标

7、准方程的标准方程.221.169xy)0, 0(12222 babyax解解: :小结：小结：求标准方程要做到先定型，后定量。求标准方程要做到先定型，后定量。Ex1求适合下列条件的双曲线的标准方程。求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴焦点在在轴 上，上， ； 焦点在在轴焦点在在轴 上，经过点上，经过点 .xx4 ,3 .ab 15(2 ,3 ),(,2 ).3 答案答案: 221;169xy 22221(0,0).xyabab 设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为代入点代入点 得得15(2,3),(,2).32222231.5213abab 令令2211,.mnab 则则231.

8、5213mnmn 解得解得1.13mn 故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为221.3yx 223.1_.32xyEx 双双曲曲线线的的焦焦点点坐坐标标224.88(0,3)_Exkxkyk 双双曲曲线线的的一一个个焦焦点点为为则则实实数数2222.(_).351.56ExABCmDxymmm是方程是方程表示双曲线的表示双曲线的充分非必要条件必要非充分条件充分非必要条件必要非充分条件充要条件不充分也不必要条件充要条件不充分也不必要条件A(5,0) 1k 225.,.Exaxayba bAxBCyD 已已知知曲曲线线实实数数异异号号, ,则则它它表表示示的的曲曲线线是是( () )焦

9、焦点点在在 轴轴上上的的双双曲曲线线圆圆焦焦点点在在 轴轴上上的的双双曲曲线线椭椭圆圆2212126.1,6436,| 17,| ?xyExPF FPFPF 是是双双曲曲线线上上一一点点是是双双曲曲线线的的两两焦焦点点 若若则则C2| 133PF 或或2.2.已知已知A A，B B 两地相距两地相距800m800m，在，在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2秒，秒，且声速为且声速为340m/s340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。，求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析：爆炸点爆炸点P的轨迹是靠近的轨迹是靠近B处处的双曲线的一支。的双曲线的一支。2340.PAPB ABP假

10、设爆炸点为假设爆炸点为P P，爆炸点距，爆炸点距A A地比地比B B地远地远；解：建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系 ，使，使 两点在两点在 轴上，并且坐标原轴上，并且坐标原点点 与线段与线段 的中点重合。的中点重合。xOyBA,xOAB设爆炸点设爆炸点 的坐标为的坐标为 ，则，则 ， P),( yx3402680.PAPB 即即2680,340.aa 又又800.AB 所以所以2222800,40044400.ccbca 因为因为34026800PAPB 所以所以0 x 因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为方程为221(0)1156004440

11、0 xyx xyOPAB222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1椭椭 圆圆双曲线双曲线y2x2a2-b2= 1F（0，c）F（0，c）例例3:求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程。1、4,5ac焦点在焦点在 轴上轴上y2、焦点为、焦点为( 5,0),(5,0)且且3b 221169yx221169xy3、4a 经过点经过点410(1,)3A)3m2，0（ 变式二变式二: :2m0m201m 1m2)

12、2m()1m(c2 )1m2,0( 焦焦点点为为分析分析: :11mym2x22 变式一变式一: :2m1m 或课后思考题：课后思考题：2222()()2 .xcyxcya 222)(ycxaacx) 0, 0( 12222babyax-(1)-(2)-(3)(1)(2)(3)有什么内在有什么内在 联系？联系？ 平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹 （2）可以利用电脑研究； （3）可以利用文曲星自编BASIC语言进行研究； （4）合作探究、相互学习、相互交流。建议：（1）可以进行理论研究；例例4 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线轴上，并且双曲线上两点上两点P1、P2

13、的坐标分别为（的坐标分别为（3， ）、）、（9/4,5），求双曲线的标准方程），求双曲线的标准方程.24解：因为双曲线的焦点在解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：求双曲线的标准方程为： 12222bxay因为点因为点P1、P2在双曲线上，所以点在双曲线上，所以点P1、P2的的坐标适合方程坐标适合方程.将将P1, P2 坐标分别代入方程坐标分别代入方程中，得方程组中，得方程组1)49(2513)24(2222222baba解得：解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程故所求双曲线的标准方程为：为：. 191622xy例例5 一炮弹在某处爆炸，在一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声处听到爆炸声的时间比在的时间比在B处晚处晚2 s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知）已知A、B两地相距两地相距800 m，并且此时，并且此时声速为声速为340 m/s，求曲线的方程，求曲线的方程.解（解（1）由声速及）由声速及A、B两处听到爆炸声的时两处听到爆炸声的时间差，可知间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以因此爆炸点应位于以A、B为