高中数学--立体几何中的向量方法

1、第第7课时立体几何中的向量方法课时立体几何中的向量方法目录目录2014高考导航高考导航考纲展示考纲展示备考指南备考指南1.理解直线的方向向量与平面的法理解直线的方向向量与平面的法向量向量2.能用向量语言表述直线与直线、能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系平行关系3.能用向量方法证明有关直线和平能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理面位置关系的一些定理(包括三垂包括三垂线定理线定理)4.能用向量方法解决直线与直线、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研的

2、计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用究立体几何问题中的作用.从近几年的高考试题来看，从近几年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象注重考查学生的空间想象能力、运算能力能力、运算能力.本节目录本节目录教材回顾夯实双基教材回顾夯实双

3、基考点探究考点探究 讲练互动讲练互动名师讲坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关目录目录教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基1直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一直线的方向向量：在直线上任取一_向量作向量作为它的方向向量为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面是平面内内两不共线向量，两不共线向量，n为平面为平面的法向的法向非零非零目录目录思考探究思考探究直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？提示：提示：不唯一，凡是

4、在直线不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与上的非零向量或与l平行的平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量的非零向量都可以作为平面的法向量目录目录目录目录coscosn1，n2或或cosn1，n2目录目录课前热身课前热身答案：答案：B目录目录2已知已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面，则平面MNP的一的一个法向量是个法向量是()A(1,0,0) B(0,1,0)C(0,0,1) D(1,1,1)目录目录3已知直线已知直线l的方向向量为的方向向量为v，平面，平面的法向量是的法

5、向量是，且，且v0，则，则l与与的位置关系是的位置关系是_答案：答案：l或或l4已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1中平面中平面AB1D1与平面与平面A1BD所成的角为所成的角为(090)，则，则cos_.目录目录考点探究讲练互动考点探究讲练互动例例1目录目录【证明证明】以以C为坐标原点，为坐标原点，CB所在直线为所在直线为x轴，轴，CD所在所在直线为直线为y轴，轴，CP所在直线为所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐轴建立如图所示的空间直角坐标系标系Cxyz.PC平面平面ABCD，PBC为为PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，PBC30.目录目录目录目录目录目录目录目录目录目

6、录【名师点评名师点评】(1)利用空间向量解决空间中线面位置利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为解决立体几何问题带来了简捷的方法解决立体几何问题带来了简捷的方法. (2)用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解题中常出现的问题题中常出现的问题目录目录跟踪训练跟踪训练目录目录例例2 (2011高考大纲全国改编卷高考大纲全国改编卷)如图，四棱锥如图，四棱锥SABCD中，

7、中，ABCD，BCCD，侧面，侧面SAB为等边三角形，为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：证明：SD平面平面SAB；(2)求求AB与平面与平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值目录目录【解解】以以C为坐标原点，射线为坐标原点，射线CD为为x轴正半轴，建立如轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系图所示的空间直角坐标系Cxyz.设设D(1,0,0)，则，则A(2,2,0)、B(0,2,0)又设又设S(x，y，z)，则，则x0，y0，z0.目录目录目录目录目录目录目录目录【名师点评名师点评】利用向量法求线面角的方法：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方

8、向向量，转化分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角目录目录跟踪训练跟踪训练目录目录解：解：(1)证明：由正三棱柱证明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知，的性质知，AA1平面平面ABC.又又DE平面平面ABC，所以，所以DEAA1.又又DEA1E，AA1A1EA1，所以所以DE平面平面ACC1A1.又又DE平面平面A

9、1DE，故平面故平面A1DE平面平面ACC1A1.目录目录目录目录目录目录例例3 (2012高考天津卷高考天津卷)如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明证明PCAD；(2)求二面角求二面角APCD的正弦值；的正弦值；(3)设设E为棱为棱PA上的点，满足异面直线上的点，满足异面直线BE与与CD所成的角所成的角为为30，求，求AE的长的长目录目录目录目录目录目录目录目录目录目录【名师点评名师点评】求二面角最常用的方法就是分别求出求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平二

10、面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角实际图形判断所求角是锐角还是钝角目录目录目录目录解：解：(1)证明：如图，连接证明：如图，连接AB，AC，因为三棱柱，因为三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以四边形为直三棱柱，所以四边形ABBA为矩形，又为矩形，又M为为AB的中点，所以的中点，所以M为为AB的中点的中点又因为又因为N为为BC的中点，所以的中点，所以MNAC.又又MN 平面平面AACC，AC平面平面AACC，因此，因此MN平面平面AACC.目录目录目录目录目录目录1

11、用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量空间向量的联系，用空间向量(或坐标或坐标)表示问题中所涉及的表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结根据

12、运算结果的几何意义来解释相关问题果的几何意义来解释相关问题目录目录2空间向量在求空间角中的价值体现空间向量在求空间角中的价值体现(1)求两异面直线求两异面直线a、b的夹角的夹角，须求出它们的方向向量，须求出它们的方向向量a，b的夹角，即的夹角，即cos|cosa，b|.(2)求直线求直线l与平面与平面所成的角所成的角，可先求出平面，可先求出平面的法向量的法向量n与直线与直线l的方向向量的方向向量a的夹角则的夹角则sin|cosn，a|.(3)求二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面的法向量，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则所成的角，则n1，n2或或n1，n2目录目录名师讲

13、坛精彩呈现名师讲坛精彩呈现例例 (本题满分本题满分12分分)如图，已知在长方体如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB2，AA11，直线，直线BD与平面与平面AA1B1B所成的角为所成的角为30，AE垂直垂直BD于点于点E，F为为A1B1的中点的中点(1)求异面直线求异面直线AE与与BF所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)求平面求平面BDF与平面与平面AA1B1B所成二面角所成二面角(锐角锐角)的余弦值的余弦值目录目录1目录目录2目录目录3目录目录信息提炼层层剖析信息提炼层层剖析 建系时，要说明详细，属易失分点建系时，要说明详细，属易失分点 找准向量，求角或求角的三角函数值时，若为钝角或负值，找准向量，求角或求角的三角函数值时，若为钝角或负值， 直接转化为锐角或正值直接转化为锐角或正值 绝对值符号的加与不加，要看所求角为锐角或钝角而定绝对值符号的加与不加，要看所求角为锐角或钝角而定123目录目录【名师点评名师点评】利用向量法求两异面直线利用向量法求两异面直线a，b的夹角的夹角，须，须求出它们的方向向量求出它们的方向向量a，b的夹角，则的夹角，则cos |cosa，b|；求二面角求二面角l的大小的大小，可先求出两个平面的法向量，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，