大学物理实验绪论(修改稿)

1、 大学物理实验大学物理实验 绪论2014-2015学年第二学期学年第二学期一一 序言序言1 1 物理学与实验物理学与实验 物理学物理学一词一词() 源于希腊文源于希腊文()，意为，意为自然自然。其现代内涵是指研究。其现代内涵是指研究物质运动最一般规律及物质基本结构的科物质运动最一般规律及物质基本结构的科学。学。 物理学物理学是实验科学，凡物理学的概念、是实验科学，凡物理学的概念、规律等都是以客观实验为基础的。因此物规律等都是以客观实验为基础的。因此物理学绝不能脱离理学绝不能脱离物理实验结果的验证物理实验结果的验证，实，实验是物理学的基础。验是物理学的基础。研究方法研究方法实证分析实证分析可控实

2、验可控实验理论分析理论分析物理理论的两大功能解释力预测力 实验实验是有目的地去尝试，是对自然的积极是有目的地去尝试，是对自然的积极探索。科学家提出某些探索。科学家提出某些假设假设和和预见预见(推测推测) ，为对其进行证明，筹划适当的手段和方法，为对其进行证明，筹划适当的手段和方法，根据产生的现象来判断根据产生的现象来判断假设和预见的真假设和预见的真(假设假设成立成立)伪伪(修改假设修改假设)。因此科学实验的重要性。因此科学实验的重要性是不言而喻的，其中物理实验自然也雄居要是不言而喻的，其中物理实验自然也雄居要位。位。 伽利略把实验和逻辑引入物理学伽利略把实验和逻辑引入物理学, ,使物理使物理学

3、最终成为一门科学。学最终成为一门科学。2 物理理论和物理实验 整个物理学的发展史是人类不断深刻了整个物理学的发展史是人类不断深刻了解自然，认识自然的过程。解自然，认识自然的过程。实验物理和理论实验物理和理论物理是物理学的两大支柱物理是物理学的两大支柱，实验事实是检验，实验事实是检验物理模型和确立物理规律的终审裁判。物理物理模型和确立物理规律的终审裁判。物理理论则是对实验观测结果的归纳和总结，并理论则是对实验观测结果的归纳和总结，并在此基础上去解释新的实验结果和预测新的在此基础上去解释新的实验结果和预测新的实验现象。两者相辅相成，相互促进，恰如实验现象。两者相辅相成，相互促进，恰如鸟之双翼，人之

4、双足，缺一不可。物理学正鸟之双翼，人之双足，缺一不可。物理学正是靠着实验和理论的相互配合激励，探索前是靠着实验和理论的相互配合激励，探索前进，从而使人类对于自然基本规律的认识不进，从而使人类对于自然基本规律的认识不断向前发展的。断向前发展的。 这种相互促进、相互激励、相互完善的过这种相互促进、相互激励、相互完善的过程的实例是数不胜数的程的实例是数不胜数的.它们都是它们都是物理学思想（粗粒化、普适性）和物理学方法（实证分析、可控实验、理论分析）的完美结合 1924年法国人年法国人德布洛伊德布洛伊（De. Broglie）在光的微粒性的启发下，明确提出了实物粒在光的微粒性的启发下，明确提出了实物粒

5、子具有物质波动性，即波和粒子的缔合概念。子具有物质波动性，即波和粒子的缔合概念。通常人们将它描述为通常人们将它描述为波粒二重性波粒二重性，即，即p=h/，这是一个大胆而伟大的假设。这是一个大胆而伟大的假设。 物理伟人物理伟人爱因斯坦爱因斯坦曾称这是照亮我们最难曾称这是照亮我们最难解开物理学之谜的第一缕微弱的光。并提名解开物理学之谜的第一缕微弱的光。并提名德布洛伊德布洛伊获诺贝尔奖。获诺贝尔奖。 1927年，美国科学家戴维孙（年，美国科学家戴维孙（C.J.Davisson）和盖尔末和盖尔末(L.H.Germer)用被电场加速过的电子束用被电场加速过的电子束打在镍晶体上，得到打在镍晶体上，得到衍射

6、环纹照片衍射环纹照片。从而计算并。从而计算并证实了证实了p和和之之间关系的假设，使德布洛伊的理论间关系的假设，使德布洛伊的理论得以被公认。得以被公认。 De.Broglie和和C.J.Davisson分别获得分别获得1929年和年和1937年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。 理论上美妙的假设和推论，要成为被公理论上美妙的假设和推论，要成为被公认的物理规律，必须认的物理规律，必须有实验结果的验证有实验结果的验证。 De. Broglie指出可以通过电子在晶体上的指出可以通过电子在晶体上的衍射实验来证明他的假设。衍射实验来证明他的假设。 1895年年伦琴伦琴在实验上发现了新的电磁辐射，并称在

7、实验上发现了新的电磁辐射，并称其为其为X射线射线（它是由高速电子轰击重元素靶而产生的（它是由高速电子轰击重元素靶而产生的波长在波长在nm量级的电磁辐射）。量级的电磁辐射）。 X射线射线的发现进一步的发现进一步推动气体中电传导的研究。推动气体中电传导的研究。 J.J汤姆逊说明了被汤姆逊说明了被X射射线照射的气体具有导电性是由于线照射的气体具有导电性是由于X射线引起分子电离射线引起分子电离而使气体带有电荷。这给劳伦茨创立电子论提供了实而使气体带有电荷。这给劳伦茨创立电子论提供了实验基础。而电子理论又给验基础。而电子理论又给Zeeman效应，即光谱线在效应，即光谱线在磁场中会分裂，这一事实以理论解释

8、。而磁场中会分裂，这一事实以理论解释。而Zeeman分分裂后来又扩展到可见光以外的波段，产生了各种裂后来又扩展到可见光以外的波段，产生了各种“磁磁共振共振”理论和技术。这一连串的事实关系表明了实验理论和技术。这一连串的事实关系表明了实验物理和理论物理之间的密切关系和相互激励而共同推物理和理论物理之间的密切关系和相互激励而共同推进物理学发展的进程。进物理学发展的进程。 80%以上的诺贝尔物理学奖给了以上的诺贝尔物理学奖给了实验物理学家。实验物理学家。 20%的奖中很多的奖中很多是实验和理论物理学家分享的。是实验和理论物理学家分享的。 实验成果可以很快得奖，而理论成实验成果可以很快得奖，而理论成果

9、要经过至少两个实验的检验。果要经过至少两个实验的检验。 有的建立在共同实验基础上的成果有的建立在共同实验基础上的成果可以连续几次获奖（可以连续几次获奖（例如核磁共振，例如核磁共振，参阅参阅“核磁共振核磁共振”实验实验）。）。3 3 科学实验和教学实验科学实验和教学实验 科学实验科学实验是为了试图验证某些预测或获是为了试图验证某些预测或获取新的信息，通过技术性操作来观测由预先取新的信息，通过技术性操作来观测由预先安排的方法所产生的现象。安排的方法所产生的现象。科学实验科学实验是探索是探索的过程，可能成功也可能失败，其结果是可的过程，可能成功也可能失败，其结果是可能符合预期也可能有否定预期的，当然

10、还可能符合预期也可能有否定预期的，当然还可以有意外收获，并得到未曾预期的成功。每以有意外收获，并得到未曾预期的成功。每一次科学实验的成功再一次揭示出自然界的一次科学实验的成功再一次揭示出自然界的奥秘，使人类在认识自然的道路上又前进了奥秘，使人类在认识自然的道路上又前进了一步。一步。 教学实验教学实验以传授知识、培养人才为目的。以传授知识、培养人才为目的。培养学生培养学生未来进行探索的基本能力未来进行探索的基本能力。教学。教学实验都是理想化了的，排除了次要干扰因实验都是理想化了的，排除了次要干扰因素，经过精心设计准备，是一定能成功的。素，经过精心设计准备，是一定能成功的。尽管如此，尽管如此，教学

11、实验教学实验的地位仍然是非常重的地位仍然是非常重要的。要的。教学实验教学实验担负着培养学生科学素质担负着培养学生科学素质的任务。的任务。 学生的任务主要是学生的任务主要是积累知识积累知识、提高能力提高能力和和培养素质培养素质。某种意义上说，不管学生自己是。某种意义上说，不管学生自己是否意识到，实际都在建造自己通向未来事业否意识到，实际都在建造自己通向未来事业高峰的阶梯。每个人建造阶梯的过程和结果高峰的阶梯。每个人建造阶梯的过程和结果取决于诸多取决于诸多主客观因素主客观因素，会有所不同。无论，会有所不同。无论如何总以明确目标自觉行动为先。如何总以明确目标自觉行动为先。 物理实验课是一门基础实验课

12、，是知物理实验课是一门基础实验课，是知识的底层，这底层的重要性是不言而喻的。识的底层，这底层的重要性是不言而喻的。 希望同学们充分发挥主观积极因素，希望同学们充分发挥主观积极因素，提高学习效益，切莫辜负好时光。提高学习效益，切莫辜负好时光。 4 结论 通过对实验现象的观察、分析和对通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识物理量的测量，学习物理实验知识和设计思想，掌握和理解物理理论。和设计思想，掌握和理解物理理论。 借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器；借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器； 运用物理学理论对实验现象进行初步的分析运用物理学理论对实验现象进行初步的分析判断；判

13、断； 正确记录和处理实验数据，绘制实验曲线，正确记录和处理实验数据，绘制实验曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告；说明实验结果，撰写合格的实验报告； 能够根据实验目的和仪器设计出合理的实验。能够根据实验目的和仪器设计出合理的实验。 培养理论联系实际和实事求是的科学作风；培养理论联系实际和实事求是的科学作风； 严肃认真的工作态度（严肃认真的工作态度（关键看态度！关键看态度！）；）； 主动研究和创新的探索精神；主动研究和创新的探索精神； 遵守纪律、团结协作和爱护公共财产的优遵守纪律、团结协作和爱护公共财产的优良品德。良品德。 预习预习用实验报告纸写用实验报告纸写预习报告预习报告 操作和记录操作和

14、记录准备好一本准备好一本实验记录本实验记录本记录你所做的一切记录你所做的一切 实验报告实验报告用实验报告纸写出用实验报告纸写出完整的实验报告完整的实验报告并按时交给任课并按时交给任课老师老师 姓名（每张报告纸上都要写姓名，包括所作姓名（每张报告纸上都要写姓名，包括所作的图纸上）、的图纸上）、 （完整的）班级、（完整的）学号（完整的）班级、（完整的）学号以及星期几第几节课（即选课的时间）绝不能遗以及星期几第几节课（即选课的时间）绝不能遗漏！漏！ 必须在记录本里记录你所做的一切.每个实验的记录都应从新的一页开始.它应包括5个主要部分:实验标题和日期;观测数据;(绝不能用铅笔记录，也不能记录在零绝不

15、能用铅笔记录，也不能记录在零散纸张或书本上散纸张或书本上! !)计算;实验方法的有关说明,必要时可画出图表,做电学实验要画出电路图.（包括：遇到的困难遇到的困难和其它现象，以及克服这些困难的方法；观察到不寻常的观察到不寻常的现象时，最好及时记录下来，若一时无法解决，现象时，最好及时记录下来，若一时无法解决，可供以后分析讨论可供以后分析讨论.）实验结果,包括标准不确定度.（特别注意给出的特别注意给出的应当是有效数字！应当是有效数字！） 完整的实验报告通常包括下列几个部分：完整的实验报告通常包括下列几个部分： 实验名称；实验目的；仪器设备；实验原实验名称；实验目的；仪器设备；实验原理；实验步骤；实

16、验数据表格；计算和作理；实验步骤；实验数据表格；计算和作图；实验结果；小结或讨论。图；实验结果；小结或讨论。如未能完成实验,应写出中止实验的理由!凡未做实验或未交实验报告或抄袭别人数据者实验成绩记零分！1.仔细阅读实验标题,准确理解它的意思.教材中有的地方提示一些理论要点,但不作系统完整的讨论.如果你不熟悉实验涉及的理论,我们设想你在做实验之前会设法去掌握它.2.阅读实验指导全文,对需要做的事情、需要注意的事项及需要做的记录,都能“心中有数”.3.检查要用的仪器检查要用的仪器,如果有疑问应请教老师.4.按给定的步骤进行实验操作.但要记住记住,实验教材实验教材并不是为不了解整个实验、只会盲目机械

17、地从一并不是为不了解整个实验、只会盲目机械地从一个操作到下一个操作的人写的个操作到下一个操作的人写的. .5.把观察到的一切数据记在实验记录本实验记录本上.6.做完实验后做完实验后, ,把仪器物品放回原处把仪器物品放回原处. .7 7. .勿忘在实验前写勿忘在实验前写预习报告预习报告和在实验后交和在实验后交实验报告实验报告! ! 实验是在理论思想指导下实验是在理论思想指导下, ,利用科学仪器设备利用科学仪器设备, ,人人为地控制或模拟自然现象为地控制或模拟自然现象, ,使它以比较纯粹和典型使它以比较纯粹和典型的形式表现出来的形式表现出来, ,然后再通过观察与测量去探索自然后再通过观察与测量去探

18、索自然界客观规律的过程然界客观规律的过程. . 物理规律是用物理量之间的定量关系来表达的物理规律是用物理量之间的定量关系来表达的. . 观察与测量不会永远在理想化的条件下进行观察与测量不会永远在理想化的条件下进行, ,所谓所谓“完善的测量完善的测量”是做不到的是做不到的. . 实验中获得的数据，必须经过认真的、正确的、实验中获得的数据，必须经过认真的、正确的、有效的处理，才能得出合理的结论。有效的处理，才能得出合理的结论。3.3.误差分类误差分类2. 2. 测量方法与测量分类测量方法与测量分类 4. 4. 精密度、正确度与准确度精密度、正确度与准确度1.1.3 1.1.3 随机变量随机变量2.

19、 2. 用非统计的方法估计用非统计的方法估计1.2.4 1.2.4 不确定度的合成与不确定度的合成与传递传递 1. 1. 用统计方法估计用统计方法估计1.2.1 1.2.1 不确定度的由来不确定度的由来1.3 1.3 有效数字及测量结果的表示有效数字及测量结果的表示1.4 1.4 列表、作图之要点及组合测量与最佳直线参数列表、作图之要点及组合测量与最佳直线参数1.1 1.1 测量及误差测量及误差1.2 1.2 不确定度不确定度1.1.1测量的基本概念测量的基本概念1. 量、测量与单位量、测量与单位1.1.2测量误差的基本概念测量误差的基本概念1. 绝对误差绝对误差2. 相对误差相对误差1.1.

20、4 1.1.4 正态分布正态分布1.2.2 1.2.2 不确定度的概念及表征参不确定度的概念及表征参数数1.2.3 1.2.3 不确定度的估计不确定度的估计1.量、测量和单位量、测量和单位量量表征现象或实体，对现象或实体作定性表征现象或实体，对现象或实体作定性区别或定量确定。区别或定量确定。测量测量定量获得定量获得量值量值（数值和单位）的过程。（数值和单位）的过程。需要标准器具或仪器。需要标准器具或仪器。单位单位基准（国际单位制）。由基准给出量基准（国际单位制）。由基准给出量值单位的值单位的真值真值（或约定真值）。（或约定真值）。1.1.1测量的基本概念测量的基本概念不等精度测量不等精度测量：

21、 在所有的测量条件下，在所有的测量条件下，只要有一个发生变化，只要有一个发生变化，所进行的测量为不等精度测量。所进行的测量为不等精度测量。测量等精度测量直接测量直接测量(p.5)(p.5)间接测量间接测量(p.5)(p.5)单次测量多次测量不等精度测量2.2.测量分类测量分类等精度测量等精度测量： 对某一物理量进行多次测量，且每次对某一物理量进行多次测量，且每次测量条测量条件都相同。件都相同。（如同一观察者，同一组仪器，同（如同一观察者，同一组仪器，同一测量方法和同样环境条件下测试等等。）一测量方法和同样环境条件下测试等等。） 误差是误差是观测值观测值与与真值真值之差。之差。 上述定义的误差也

22、称上述定义的误差也称绝对误差绝对误差。1.1.2 1.1.2 测量误差的基本概念测量误差的基本概念 所谓所谓“真值真值”是指被测量的客观真实值，是指被测量的客观真实值，它是在研究某量时所处的条件下通过完善的测它是在研究某量时所处的条件下通过完善的测量所得到或确定的量值，或者说是在某一时刻量所得到或确定的量值，或者说是在某一时刻和某一位置或状态下某量的效应体现出的客观和某一位置或状态下某量的效应体现出的客观值。它通常是未知的，是个理想的概念。事实值。它通常是未知的，是个理想的概念。事实上，量子效应排除惟一真值的存在。上，量子效应排除惟一真值的存在。 由于真值是未知的，这就使得用误差来表由于真值是

23、未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度遇到了困难。示测量结果的准确度遇到了困难。aXk 完整地阐述测量结果应包括测量的完整地阐述测量结果应包括测量的不确定度不确定度。根据根据误差理论误差理论提供的依据，可对测量的不确定度提供的依据，可对测量的不确定度作出估计作出估计(pp.5-6)。测量的测量的相对误差相对误差R：例：仪器的引用误差（例：仪器的引用误差（p.7）指针式电表的量程为指针式电表的量程为XF，准确度等级为准确度等级为a,则最大示值误差的绝对值为则最大示值误差的绝对值为XFa%。若电表的示值为若电表的示值为Xk，则相对误差为则相对误差为(XF/Xk)a%。为减小相对误差，使用时应

24、使为减小相对误差，使用时应使Xk尽量接近尽量接近XF。绝对误差绝对误差与被测量的（真）值与被测量的（真）值a之比之比:R=/a或/Xk 误差就其性质和来源分为误差就其性质和来源分为随机误差和系统误随机误差和系统误差两差两大类。大类。 随机随机误差误差（p.7，亦称亦称偶然偶然误差误差）r=Xk-：包括判断误差、实验条件涨落及观测者所不能控包括判断误差、实验条件涨落及观测者所不能控制的干扰所引起的误差。其特点为：制的干扰所引起的误差。其特点为： 测量结果变化不定，其值与真值之差测量结果变化不定，其值与真值之差时正时时正时负，时大时小负，时大时小，事实上有无穷多个取值，可以表，事实上有无穷多个取值

25、，可以表示为一示为一随机变量随机变量X。且分布于某一范围之内，服。且分布于某一范围之内，服从于一定的从于一定的统计规律统计规律。 大多数随机误差具有大多数随机误差具有抵偿性抵偿性，故可把，故可把定义为对同一被测量实行无限多次测量结定义为对同一被测量实行无限多次测量结果的平均值（即其果的平均值（即其“总体总体”的均值）。相的均值）。相当多的当多的随机误差还有随机误差还有单峰性单峰性，随机误差分，随机误差分布绝大多数是布绝大多数是“有界性有界性”的。的。 这类误差无法避免这类误差无法避免，也无法直接消除与也无法直接消除与修正。它对测量结果的影响只能用统计的修正。它对测量结果的影响只能用统计的方法作

26、出估计。方法作出估计。 系统误差系统误差：包括包括仪器仪表校准的仪器仪表校准的误差误差、个人习惯的误差、实验条件及不完善技个人习惯的误差、实验条件及不完善技术所产生的误差术所产生的误差。系统误差表现在一系列测量。系统误差表现在一系列测量中中测量结果差不多都朝着相同方向偏离真值一测量结果差不多都朝着相同方向偏离真值一定值定值。系统误差可以通过检查改进实验方法或系统误差可以通过检查改进实验方法或测量设备引进相应的修正值，使之尽量减少测量设备引进相应的修正值，使之尽量减少。可在实验前，预见可能产生系统误差的来源，可在实验前，预见可能产生系统误差的来源，在实验中在实验中设法测量之，并设法测量之，并在实

27、验后在实验后从计算中消从计算中消去之。去之。as说明说明: :上述误差定义把不具有抵偿性的随机误差也归上述误差定义把不具有抵偿性的随机误差也归入了系统误差入了系统误差. .但这类误差对测量结果的影响也只能但这类误差对测量结果的影响也只能用统计的方法作出估计用统计的方法作出估计. . 还有一类误差，由于外界干扰、实验者的还有一类误差，由于外界干扰、实验者的疏忽大意等原因而明显超出规定条件下的预疏忽大意等原因而明显超出规定条件下的预期值，以前称为粗大误差。包含粗大误差的期值，以前称为粗大误差。包含粗大误差的测得值或粗大误差称为异常值（测得值或粗大误差称为异常值（outlier）。）。测量要避免高度

28、显著的异常值。已被谨慎确测量要避免高度显著的异常值。已被谨慎确定为异常值的个别数据要剔除。定为异常值的个别数据要剔除。 总之，测量结果的误差是由多个随机影响总之，测量结果的误差是由多个随机影响和系统影响引起的。测量误差对测量结果的和系统影响引起的。测量误差对测量结果的影响程度叫做测量的准确度。在数值上用影响程度叫做测量的准确度。在数值上用“不确定度不确定度”表征。表征。 精密度精密度是指重复测量的结果彼此接近的程度。是指重复测量的结果彼此接近的程度。彼此非常接近的，叫高精密度：彼此离散得大彼此非常接近的，叫高精密度：彼此离散得大的，叫低精密度。因此，精密度描述实验重复的，叫低精密度。因此，精密

29、度描述实验重复性的好坏程度。性的好坏程度。 正确度正确度是指测量值接近真值的程度。是指测量值接近真值的程度。测量的精密度正确度与准确度精密度高精密度高正确度高正确度高精密度低精密度低正确度低正确度低精密度低精密度低正确度高正确度高精密度高精密度高正确度低正确度低相比较而言：准确度很高相比较而言：准确度很高 准确度较高准确度较高 准确度较低准确度较低 准确度很低准确度很低 准确度准确度是对测量的系统误差和随机误差的是对测量的系统误差和随机误差的综合评定。通俗地讲，测量的准确度高是指综合评定。通俗地讲，测量的准确度高是指测量数据比较集中在真值附近。测量数据比较集中在真值附近。 测量结果的准确度在数

30、值上以测量结果的准确度在数值上以“不确定度不确定度”表征。是评价测量方法优劣的基本指标之一。表征。是评价测量方法优劣的基本指标之一。不确定度不确定度的评定方法：的评定方法：统计的方法统计的方法非统计的方法非统计的方法 注：注：无论对于随机误差影响还是系统误差无论对于随机误差影响还是系统误差影响的评定，都既可以用统计的方法，也影响的评定，都既可以用统计的方法，也可以用非统计的方法。可以用非统计的方法。1.随机变量的分布函数和分布密度（随机变量的分布函数和分布密度（pp.10-11）所谓所谓分布函数分布函数即随机变量即随机变量 小于或等于某任意实数小于或等于某任意实数x的概率，即的概率，即F（x）

31、称为总体的）称为总体的分布函数分布函数。分布函数的导数称为分布函数的导数称为分布密度分布密度：而分布函数为分布密度的积分：而分布函数为分布密度的积分：分布函数或分布密度给出了随机变量取值的概率分布，分布函数或分布密度给出了随机变量取值的概率分布，是对随机变量统计特征的完整描述。是对随机变量统计特征的完整描述。X)()(xXPxF)( )(xFxfxdxxfxF)()(随机变量随机变量X在在xx+dx范围内取值的概率范围内取值的概率(当x时F(x)=1)期望（总体均值）： 总体均值： 若已知F（x）或f（x）则方差和标准差： 方差： 标准差：协方差和相关系数(p.13)： cov(X1,X2)=

32、E(X1-1)(X2-2)平均误差(已很少用):随机误差绝对值的总体均值（P.13）)(1)(1nXnXEnkkdxxxfxxdFXE)()()()()(1)()()(12222nXnXEXEXEXnkkdxxfXExX)()()(22)()(2XX)()(),cov(),(212121XXXXXX 例(p.11)：把测量结果看作随机变量X，为其期望（总体均值），则X-的期望E（X-）=-=0即由r=Xk-所定义的随机误差的数学期望为零。这一性质称为随机误差的抵偿性抵偿性0/lim1nkrnnk抵偿性：在相同条件下对同一物理量进行测量，抵偿性：在相同条件下对同一物理量进行测量，其其误差的算术平

33、均值误差的算术平均值随测量次数的增加而趋向零。随测量次数的增加而趋向零。即即其中：随机其中：随机误差误差=测量值测量值-期望（总体均值）期望（总体均值）记作：记作：krXk方差的传递（p.14）)cov()()(2)()()(),()(),(,111122,2211111jijNiNjiNiiiNNX,XXfXfXXfYfYEXXfYNNN则若思考题思考题1.1.掷一粒骰子掷一粒骰子，求所得点数的，求所得点数的(总体总体)均值与均值与(总体总体)方差。方差。2.2.掷两粒骰子掷两粒骰子，求所得点数的求所得点数的(总体总体)均值与均值与(总体总体)方差。方差。*3.掷两粒骰子，令掷两粒骰子，令表

34、示第一粒出现的点数，表示第一粒出现的点数，表示表示其中最大的点数，求二维随机变量（其中最大的点数，求二维随机变量（，）的）的(总体总体)协方差。协方差。1.1.4 正态分布随机误差的特点正态分布随机误差的特点若随机变量若随机变量XN（，2 2），则（数字特征），则（数字特征）E（X）=p.15p.15式式(34)(34)2 2（X X）= =2 2 p.15p.15式式(35)(35)exxf222)(21)(021)(22dyyedyeXEyydxe21x)X(E222)x(作变量替换：作变量替换：y=(x-)/2,则222222)(dyeyXy类似地：1)(dxxf正态分布正态分布密度，即

35、密度，即exxf222)(21)( 其中，其中， x-为为随机随机误差误差，f (x) 为为随随机机误差误差出现的概率密度，曲线下面的出现的概率密度，曲线下面的面积等于面积等于1，即：，即： 作正态分布函数从作正态分布函数从-到到+的积分，即的积分，即随机误差随机误差出现于出现于-，+区间内的概率，可计算得区间内的概率，可计算得(P.15例例3)：%)(68.3dxxfP 当当小时，分布曲线陡峭，表示小时，分布曲线陡峭，表示测量列中测量列中小误差出现的几率大小误差出现的几率大，测，测量的精密度高。当量的精密度高。当大时，分布曲大时，分布曲线平缓，表示该测量列中线平缓，表示该测量列中大误差出大误

36、差出现的几率现的几率增加，测量的精密度较低，增加，测量的精密度较低，所以所以是反映测量精密度高低的表是反映测量精密度高低的表征参数。征参数。注：若随机变量注：若随机变量X在区间在区间a,b取值的概率为取值的概率为P，则则称称a,b为为随机变量随机变量X的一个的一个置信区间置信区间。正态分布正态分布随机变量在区间随机变量在区间a,b取值的概率取值的概率P为为dxe21)(222)x(babadxxfP在不确定度评定中在不确定度评定中当当k=1时，时，u u=（一倍标准差，对应于（一倍标准差，对应于标准不确定度标准不确定度）, ,表示表示-, (称为置信区间称为置信区间)覆盖真值的置信度为覆盖真值

37、的置信度为68.3% 68.3% 。当当k=3k=3时，时，u=3u=3（三倍标准差，对应于三倍标准差，对应于扩展扩展不确定度不确定度），），表示表示-3, 3 覆盖真值的置信度为覆盖真值的置信度为99.7%99.7%。即扩大了置信区间，提高。即扩大了置信区间，提高了置信度。了置信度。一般把出现的概率不大于一般把出现的概率不大于0.3%0.3%定义为仪器的误差限值（也称极定义为仪器的误差限值（也称极限误差）。限误差）。标准差和极限误差标准差和极限误差( (参见参见p.15p.15例例3)3)可以计算出正态分布的随机误差出现在可以计算出正态分布的随机误差出现在-3-3，+3+3范围内的概率为范围

38、内的概率为99.7%。即误差超过即误差超过3的概率只有的概率只有0.3%。在一。在一般有限次测量中几乎是不可能出现的。般有限次测量中几乎是不可能出现的。因此，可以用因此，可以用的倍数标志测量值的可的倍数标志测量值的可靠性程度，即靠性程度，即u=k 。该倍数称为置信。该倍数称为置信系数系数k。 如果给定区间a,b，由分布可求出随机变量（例如X或X-）在这一区间取值的概率P。反过来，如果给定P，由分布可求得随机变量的置信区间a,b 。对给定的P，根据样本确定总体的未知参数（例如）的置信区间，在数理统计学中称为对参数的区间估计。区间估计。对于随机变量X，未知参数取值的置信区间实际上为一随机区间(p.

39、16)，但如果选定一个X（或一个随机样本），则这个样本确定的置信区间或者包含，或者不包含，此时P的意义是：由不同样本求得的置信区间中覆盖的区间所占百分比为P。于是完整的测量结果(如果可以看成随机变量)应包括(测得的最佳值)和(确定区间)。但是由于和是未知的，因此，首先要根据样本样本估计未知参数和的最佳值。的置信区间即为不确定度。补充思考题补充思考题1.1.连连掷一粒骰子掷一粒骰子20次次，求所得点数的，求所得点数的(样本样本)均值与均值与(样样本本)方差。方差。2.2.每次每次掷两粒骰子掷两粒骰子，共掷，共掷20次，次，求所得点数的求所得点数的(样本样本)均值与均值与(样本样本)方差。方差。*

40、3.掷两粒骰子，令掷两粒骰子，令表示第一粒出现的点数，表示第一粒出现的点数，表示表示其中最大的点数，取掷其中最大的点数，取掷2020次所得之次所得之(，)值值的的(样本样本)协协方差。方差。测量不确定度测量不确定度： 由于真值是未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度由于真值是未知的，这就使得用误差来表示测量结果的准确度遇到了困难。遇到了困难。由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度称为测量的不确定度。称为测量的不确定度。 定义：定义：不确定度为表征被测量的真值所在的量值范围的评定，不确定度为表征被测量的真值所在的量值范围的评定，用来表述测量

41、结果与用来表述测量结果与被测量的真值被测量的真值之间的一致程度。之间的一致程度。1.2.2 1.2.2 不确定度的概念及表征参数不确定度的概念及表征参数1.2 1.2 不确定度评定不确定度评定1.2.1不确定度的由来不确定度的由来关于表述不确定度的建议书关于表述不确定度的建议书:INC1(1980)测量不确定度表示指南测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement） 因为因为反映了测量值反映了测量值( (如果看成随机变量如果看成随机变量) )或随机误或随机误差的分散程度，或重复测量各测量值的密集程度差的分散程度，

42、或重复测量各测量值的密集程度( (即测即测量的精密度量的精密度) )。 大，表明误差取值的分散程度大；大，表明误差取值的分散程度大；小，小，表明误差取值的分散程度小。但须注意，测量值表明误差取值的分散程度小。但须注意，测量值密集（精密度高）并不表示其与真值的接近程度。密集（精密度高）并不表示其与真值的接近程度。 所以所以是测量随机误差的表征参数，与误差值本身不是测量随机误差的表征参数，与误差值本身不同。因此同。因此可可作为表达测量结果不确定度的参数。作为表达测量结果不确定度的参数。不确定度的分量不确定度的分量：A类分量类分量：用统计方法计算的分量：用统计方法计算的分量( (用估计的标准差用估计

43、的标准差s s或或u uA A表示表示) )；B类分量类分量：用其他方法计算的分量（：用其他方法计算的分量（用估计的标准差用估计的标准差u或或uB表示表示）。）。不确定度的合成：由二类分量的不确定度的合成：由二类分量的方和根方法方和根方法确定，确定，即：即： qjjpii1212usuc 其中：其中：si表示表示A类分量类分量第第i个误差因素个误差因素产生的不确定产生的不确定度，度，uj表示表示B类分量类分量第第j个误差因素个误差因素产生的不确定度，产生的不确定度，合成不确定度合成不确定度仍然是一个标准差。仍然是一个标准差。扩展不确定度扩展不确定度： U=kuc（k为置信因子）qjjpii12

44、12usuc 对于对于n次测量的测量列次测量的测量列 ，测量值与其测量值与其算术平均值算术平均值之差可表示之差可表示为为 ，通常称其为残差。其对应的，通常称其为残差。其对应的标准偏差标准偏差为为(p.19)(p.19)：)()1(12法BesselnsiXni 在实际测量中，由于真值是不可知的，且测量次数也不可能是在实际测量中，由于真值是不可知的，且测量次数也不可能是无限的，通常用无限的，通常用n次测量值的次测量值的算术平均值算术平均值 （样本样本均值）作为测量均值）作为测量值的期望的值的期望的最佳估计值最佳估计值。容易证明：。容易证明：1 1 多次直接测量的不确定度估计（统计方法）多次直接测

45、量的不确定度估计（统计方法）当当n时，时， 。也就是说也就是说估计的标准差估计的标准差sX能反能反映有限测量列的离散程度。映有限测量列的离散程度。22)(XXsE1.2.3 1.2.3 不确定度的估计不确定度的估计X iXXXii)8 . 0(1Xiniisxn正态分布时当算术平均误差定义为算术平均误差定义为(不推荐使用)(XE 显然，随着显然，随着n的增大，测的增大，测量列平均值的标准偏差量列平均值的标准偏差 会越来越小。但是，其减会越来越小。但是，其减少程度在少程度在n大于大于1010后变得缓后变得缓慢，如图所示。因此，慢，如图所示。因此，在在实际测量中，一般只测实际测量中，一般只测10-

46、10-2020次来减小随机误差。次来减小随机误差。 由于由于 也是随机变量，因而也能求得其方差。也是随机变量，因而也能求得其方差。可以证可以证明它与测量列的方差的关系是明它与测量列的方差的关系是）所以其估计（标准偏差为有限值注意此处)()()(22nnXXiXniiXXnnnss12) 1(Xs时不服从正态（高斯）分布，而是过渡到时不服从正态（高斯）分布，而是过渡到t分布分布(分布密度见分布密度见p.37)。理论证理论证明，可由明，可由t分布提供一个系数因子，简称分布提供一个系数因子，简称t因子因子，用，用t因子乘上因子乘上算术平均值的算术平均值的标准偏差标准偏差来估计测量结果的来估计测量结果

47、的置信度置信度。测量次数很少时的置信区间的确定（测量次数很少时的置信区间的确定（t分布）分布）不同置信度不同置信度P下的下的t因子因子和测量次数和测量次数n的关系的关系)1 ,0(/NnX在实验中，当测量次数很少时（例如当在实验中，当测量次数很少时（例如当n10），），总体服从正态分布的随机总体服从正态分布的随机误差误差即随机变量即随机变量 (因此因此的的P=0.683的置信区间为的置信区间为 ) 当随机变量取当随机变量取nsXT/),(nXnX 如用如用0.10.1分度的水银温度计测量水温分度的水银温度计测量水温t为为28.3028.30，温度计的误差限为温度计的误差限为 ， ，则温度表，则

48、温度表示为：示为： C2 . 0U仪C12. 0u仪C)12. 030.28(t2 2 单次测量的单次测量的不确定度不确定度估计（非统计方法）估计（非统计方法）得出或由分布仪仪仪仪仪仪仪UxUxUxUUxfUu021)(3作为测量结果的作为测量结果的不确定度的一个分量。不确定度的一个分量。U仪仪称为仪器误差限。称为仪器误差限。在物理实验中，经常遇到一些不能多次测量的量，如测量在物理实验中，经常遇到一些不能多次测量的量，如测量热敏电阻的电阻热敏电阻的电阻温度特性实验中，温度的测量只能是一温度特性实验中，温度的测量只能是一次性的，相应的电阻测量也只能是一次性的；又如仪器的次性的，相应的电阻测量也只

49、能是一次性的；又如仪器的精度较低，或被测对象稳定，多次测量的结果并不能反映精度较低，或被测对象稳定，多次测量的结果并不能反映测量结果的随机性，即多次测量已经失去意义。在这些情测量结果的随机性，即多次测量已经失去意义。在这些情况下，我们往往把测量值作为该物理量的值，而取况下，我们往往把测量值作为该物理量的值，而取(假设假设)(p.20) 测量仪器测量仪器（量具（量具仪表和标准器等）都有国仪表和标准器等）都有国家标准规定的家标准规定的准确度等级准确度等级。依据所用仪器的等。依据所用仪器的等级和量程可以计算出仪器的级和量程可以计算出仪器的基本误差限基本误差限或或示值示值误差误差. .例：例：0-25

50、mm0-25mm的的1 1级级千分尺（螺旋测微器）千分尺（螺旋测微器）的误差的误差限为限为0.004mm0.004mm；150mA150mA的的0.50.5级级的电流表的的电流表的误差限误差限为为0.75mA0.75mA。仪器的误差限仪器的误差限仪器的误差限也称仪器的最大允差或仪器误差仪器的误差限也称仪器的最大允差或仪器误差 我们称足以使仪器示值可察觉的被测量最小我们称足以使仪器示值可察觉的被测量最小变化值为仪器的变化值为仪器的灵敏阈值灵敏阈值。仪器的灵敏度仪器的灵敏度阈阈 一般来说，测量仪器的一般来说，测量仪器的灵敏阈值灵敏阈值小于示值误小于示值误差限，而示值误差限小于最小分度值。例如，一差

51、限，而示值误差限小于最小分度值。例如，一级千份卡的最小分度为级千份卡的最小分度为0.01mm0.01mm，示值误差限为，示值误差限为0.0040.004，灵敏阈值灵敏阈值为为0.0020.002或或0.0010.001。 例如，有时会出现这样的情况：用精密的例如，有时会出现这样的情况：用精密的0.010.01秒表对单摆的周期测量时，发现每次测量值都不秒表对单摆的周期测量时，发现每次测量值都不一样，而用一样，而用0.10.1秒等级的秒表测量，多次测量的结秒等级的秒表测量，多次测量的结果都一样。是不是低精度的仪表测量结果反而好果都一样。是不是低精度的仪表测量结果反而好呢？呢？ 显然不是。原因是小于

52、显然不是。原因是小于0.1s0.1s的时间变化用的时间变化用0.10.1级级的秒表反映不出来。的秒表反映不出来。 仪器误差（限）的影响相当于对测量结果给出仪器误差（限）的影响相当于对测量结果给出了一个附加的修正。当此误差界限为对称界限时，了一个附加的修正。当此误差界限为对称界限时，修正值的期望为修正值的期望为0，但测量结果的（标准）不确定，但测量结果的（标准）不确定度（即标准差的估计）不为度（即标准差的估计）不为0，而是，而是u仪仪。由估读引起的不确定度分量u估读通常取最小刻度的十分之几十分之几。电桥、电位差计：式中S为灵敏度。一般取0.2格。数字仪器：若其指示装置的分辨力为d，则取u估读=0

53、.5d/3。Su3估读22估读仪uuuB 例例 千分尺测量一铜棒的直径千分尺测量一铜棒的直径d，所得的数据如下表，所得的数据如下表： 千分尺的误差千分尺的误差 ，且有，且有零点误差零点误差（恒（恒定系统误差）定系统误差） 。求：。求：测量结果；合成标测量结果；合成标准不确定度。准不确定度。mm004. 0仪mm002. 00序号12345678D(mm)22.80022.80922.81422.81522.81222.80822.81022.802解：解：(1)算术平均值算术平均值 (2)误差分析误差分析：标准偏差标准偏差千分尺的仪器误差引入的不确定度千分尺的仪器误差引入的不确定度零位读数的估

54、读误差引入的不确定度误差引入的不确定度合成不确定度合成不确定度 注意，注意，不确定度不确定度一般用一般用一位有效数字一位有效数字表示，测量结果的有表示，测量结果的有效数字末位与不确定度末位效数字末位与不确定度末位对齐对齐。测量结果表示：测量结果表示：注意：作不确定度评定时，对各分量既不要遗漏，也不要重复。)mm(8105.22)002. 0(8085.22810iddm12Sm85Sdd.mmuB33 . 23/1仪muuSuBBdc8 . 322212mm)004. 0810.22(d%.%.0200170EmmmuB1001. 021.2.4 1.2.4 间接测量的标准差间接测量的标准差

55、不确定度不确定度的传递的传递(p.25)(p.25)设设Y Y为为间接测量量间接测量量，且有：，且有： 仿照方差传递仿照方差传递得到不确定度传递公式： ),(21NjiXXXXXfY),(),()(2121NjiNjifXXXXXfEYE)(2)()()()()(,22,22,22,122,12111111jiXXXXjXXXXiNXXXXNjXXXXjiXXXXiXXXXX,XuXfXfXuXfXuXfXuXfXuXfYuNjiNjiNjiNjiNjiNji式中式中)() 1(1)(,)()(,)()(12222jkjinkkijijjiiXXXXnnX,XunXuXunXuXu)(不独立和

56、假定jiXX当各直接测量量互相独立，公式简化为当各直接测量量互相独立，公式简化为(p.26)NiN122,2)()(21iXXXiXuXfYu注：注：若测得值为均值若测得值为均值iX式中的式中的2,21NXXXiXf)(2iXu和和应该用应该用iX代入其中进行计算。代入其中进行计算。常用函数常用函数（设自变量互相独立）（设自变量互相独立）标准偏差的传递公式标准偏差的传递公式(p.38)(p.38)函数表达式函数表达式标准偏差传递（合成）公式标准偏差传递（合成）公式yxwyxwyxw nmkzyxw kxw xkw xwsinxwln2y2xwSSS 2yS2xSwSyxw 2zS22yS22x

57、S2wSzyxwnmk 2yS2xSwSyxwxSwSxwxSwSxw21xwSxScosxSSxw求间接测量标准差的步骤求间接测量标准差的步骤 对函数求全微分，或先取对数再求全微对函数求全微分，或先取对数再求全微分（对乘除法）；分（对乘除法）； 合并同一分量的系数，从而可以得到最合并同一分量的系数，从而可以得到最简单形式；简单形式； 将微分号以标准差或其估计将微分号以标准差或其估计不确定度不确定度代替，求平方和代替，求平方和( (条件条件: :各直接测量量相互独各直接测量量相互独立立) )，然后再开方。，然后再开方。 例例 用用流体静力称衡法流体静力称衡法测量固体的密度，其公测量固体的密度，

58、其公式为：式为： 。今测量。今测量9次，测得的数据如次，测得的数据如下，试计算密度。下，试计算密度。 oommm202002)()()(0mmSmmmSmSSmmoo7271. 2.727061. 2oommm解： 先计算直接测量量的平均值及其标准偏差 再用物理关系及其误差传递公式计算间接测量量及其标准偏差0004. 0.00031. 0S测量结果为%02. 0/)0004. 07271. 2(3Ecmgg95452m.g554833m0.30/9990344. 0cmgg00140001360Sm.g00160001560S0m.3/000030. 0.0000296. 00cmgS%02.

59、 0.00011. 0E1、有效数字的定义有效数字的定义 可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的果的有效数字有效数字。2、与有效数字定义有关的几个概念与有效数字定义有关的几个概念 (1)(1)有效数字位数与小数点和单位无关有效数字位数与小数点和单位无关 用以表示小数点位置的用以表示小数点位置的“0”不是有效数字。不是有效数字。 (2)(2)当当“0”不是表示小数点位置时，为有效数字不是表示小数点位置时，为有效数字，因，因此数据最后零不能随便加上，也不能随便减去。此数据最后零不能随便加上，也不能随便减去。例如：例如：0.02040米中，米中，

60、“2”前面的前面的“0”不是有效数字，不是有效数字，而中间和最后的而中间和最后的“0”为有效数字，最后的为有效数字，最后的“0”不能省不能省略。略。1.3 1.3 有效数字及测量结果的表示有效数字及测量结果的表示第一位非零数字前第一位非零数字前的的“0”在确定有效位在确定有效位数时无意义，而在数时无意义，而在第一位非零数字后第一位非零数字后的的“0”在确定有效位数时应计入有效位数。在确定有效位数时应计入有效位数。(3)有效数字反映仪器的精度有效数字反映仪器的精度。 读数时读数时，必须读到估读的一位，即最后一位是估读，必须读到估读的一位，即最后一位是估读的，是有误差的。的，是有误差的。例如：例如