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文档简介

1、第二节 傅立叶级数及其应用 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第二节 傅立叶级数及其应用 一、引例 弹簧的运动总路程自然界的许多现象都具有周期性或重复性，因此用周期函数 来逼近它们就极具意义例如，心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气分子的周期性振动产生的声波等等都属于周期现象，它们的合成与分解都大量用到三角级数 第二节 傅立叶级数及其应用如图1所示的四个图形为取三角函数级数的前1，2，3，6项所得到的曲线与矩形波的逼近程度 (a) (b) (c)(d) 第二节 傅立叶级数及其应用 二、概念和公式的引出函数展开成傅立叶级数函数

2、展开成傅立叶级数 若周期为 2的周期函数 )(xf满足条件(1) 在区间 ,连续或只有有限个第一类间断点；(2) 在区间 ,只有有限个极值点，则函数 )(xf可展开成傅立叶级数10)sincos(第二节 傅立叶级数及其应用其中 xxfad)(101( )cosd(1,2,)1(1,2,)( )sindnnaf xnx xnnbf xnx x系数 nnbaa,0), 2 , 1(n称为傅立叶系数该级数收敛，且x)(xf(1) 当 是连续点时，级数收敛于x2)0()0(xfxf是间断点时，级数收敛于 第二节 傅立叶级数及其应用运用傅立叶级数进行分析就是把一个复杂的周期现象) (如各种波形函数)分解

3、为一系列的简单谐波（有时叫“子波”） )sin(nnntA之和，其中, nA为 )(xf的 n阶谐波的振幅， n为频率研究 )(xf可以转而研究 nA的性质 第二节 傅立叶级数及其应用 三、案例 案例 矩形波的傅立叶逼近 设函数 )(xf是以 2为周期的t矩形波，它在 ),的表达式为xxxf00, 1, 1)( 如下图所示，将函数 )(xf展开成傅立叶级数 第二节 傅立叶级数及其应用解 cosf xnx计算傅立叶系数下.因为函数 )(xf是奇函数，所以 cosf xnx是奇函数，于是0na), 2 , 1 , 0(n0dsin)(2xnxxfbn0dsin2xnx)cos1 (2cos120nnnxn6 ,4,25 , 3 , 104)1(1 第二节 傅立叶级数及其应用于是，函数)(xf的傅立叶级数展开式为)(xf) 12sin(1215sin513sin31sin4xnnxxx)2, 1, 0,(kkxxkx 0当时，傅立叶级数收敛于当6 , 3 ,

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