偏导数的定义及其计算法

1、定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有 定定义义，当当y固固定定在在0y而而x在在0 x处处有有增增量量x 时时， 相相应应地地函函数数有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，则则称称 此此极极限限为为函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的的 偏偏导导数数，记记为为 偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. . 函数对函数对 x 的偏增量的偏增量同理可定义函数同

2、理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导的偏导数为数为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. . .),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx 如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的 偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数， 它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数，记记作作 xz ，xf ，xz 或或 ),(yxfx.

3、 . 同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作 yz ，yf ，yz 或或 ),(yxfy. . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只

4、要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 例例 2 2 求求yxz2sin2 的的偏偏导导数数 解解 xz;2sin2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 偏导数存在与连续的关系偏导数存

5、在与连续的关系例如，函数例如，函数 . 0 , 0 , 0,),(222222yxyxyxxyyxf, , 依定义知在依定义知在)0 , 0(处，处，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz 偏偏导导数数),(00yxfx就就

6、是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对x轴轴的的斜斜率率. . 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率. . 几何意义几何意义: :定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数 xyz 2 及及 yxz 2 在在区区域域 D 内内连连续续，那那末末在在该该 区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相

7、等吗？具备怎样的条件才相等？22222)(2)(yxyyyx 22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu 于于是是，. 0 .)(22222yxyx ,)(22222yxxy 22222)(2)(yxxxyx 22xuxyxx 22 22yuyyxy 22 全微分的定义全微分的定义),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得如果函数如果函数),(yxf

8、z 在点在点),(yx的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 设设),(yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的的全增量全增量， 记为记为z ，即，即 全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为 )( oyBxAz ， 其中其中BA,不依赖于不依赖于yx 、而仅与而仅与yx、有关，有关， 22)()(yx

9、 ，则称函数，则称函数 ),(yxfz 在点在点 ),(yx 可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数 ),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 全微分的定义全微分的定义. yBxAdz 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数 在在 D 内内可可微微分分. . 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, , 则函数在该则函数在该 点点连续连续. . 事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数 )

10、,(yxfz 在在点点 ),(yx 处处连连续续. . 二、可微的条件二、可微的条件定理定理 1 1（可微分必要条件可微分必要条件） 如果函数如果函数),(yxfz 在在 点点),(yx可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点),(yx的偏的偏 导数导数xz 、yz 必存在，且函数必存在，且函数),(yxfz 在点在点),(yx的全微分为的全微分为 . yyzxxzdz .,dyydxx .dyyzdxxzdz 证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, , PyyxxP ),(的某个邻域的某个邻域 )( oyBxAz 总成立总成立, ,特特别别地地，当当0 y时时

11、，上上式式仍仍成成立立， 此此时时|x , , ),(),(yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有 . 0)0 , 0()0 , 0( yxff 微分存微分存在在全微分存全微分存在在)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线 xy 趋趋近近于于)0 , 0(， 则

12、则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0, , 时时，即即，当当 0 21)0 , 0()0 , 0( yfxfzyx函函数数在在点点 )0 , 0( 处处不不可可微微. . ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。定定理理（可可微微分分的的充充分分条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函 数数在在点点),(yx可可微微分分 证略。证略。.

13、dyyzdxxzdz 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符合.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微分符合微分符合例例 1 1 计计算算函函数数 xyez 在在点点 )1 , 2( 处处的的全全微微分分. . 解解,xyxe dyyzdxxzdz 因因此此

14、，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。,xyye xxyexz yxyeyz 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y， 4 x， y时的全微分时的全微分. . 解解),2sin(2)2cos(yxyyx dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 xyxyxz)2cos( ),2sin(yxy yyxyyz)2cos( 例例 3 3 计计算算函函数数 yzeyxu 2sin 的的全全微微分分. . 解解,2cos21yzzey ,yzy

15、e 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin 例例 4 4 试证函数试证函数 . 0 , 0 , 0 ,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf (1) (1) ),(yxf在点在点)0 , 0(连续且偏导数存在；连续且偏导数存在； (2) (2) ),(yxf在点在点)0 , 0(不可微不可微. . 证证 （1）令令,cos x,sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxy

16、x 220cossinlim 0 ),0 , 0(f 故故函函数数),(yxf在在点点)0 , 0(连连续续。 )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy即即，函函数数),(yxf在在点点)0 , 0(偏偏导导数数存存在在。 ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线 xy 趋趋近近于于)0 , 0(， )0 , 0()0 , 0( yfxffyx 则则22222)()()()(xxxx 41 ( (2 2) ) ),(yxf在在点点)0 , 0(不不可可微微. . 所所以以，函函数数),(yxf在在点点 )0 , 0( 处处不不可可微微. . ),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着