习题答案与提示

1、习题答案与提示：第一节1 2当时，；当时， 3 4 5B 6D7 8，；，9由得，函数的定义域关于原点对称，奇函数 10（1）由得，有界 （2）有下界、无上界、无界（3），由函数图像可知，有上界、无下界、无界11由是奇函数，12，第二节1（1）； ； （2） （3）2（1） 0 （2） （3）0 （4）原式（5）原式（6）原式，由不存在，原式的极限不存在3有界，对任意有；由，当时，；于是当时，4分别用数学归纳法证明和数列单调增加，得极限存在，对两边取极限得5由数学归纳法证明，数列单调递增，极限存在，设为，对两边区极限得；解得（舍去）6子数列和的极限等于原来数列的极限由，当时，和，取，则当时有，

2、于是7 B 8 B第三节 函数极限1D 2 ， 1， 13，取 4 5极限不存在6极限不存在 7当时，；当时，极限不存在8（1） 2 （2） （3） （4） （5） （6） （7） 当时，；当时，不存在，10 设，则，易知两端数列的极限等于，于是无穷大与无穷小1 D 2 C 3 B 4. B 5（1）在内是无界函数，使得；（2）取，则时，由海涅定理，不存在；（3）取，则，而，从而。6极限不存在 7（1） 4 （2） （3） 1 （4） 1 （5） 1 （6） 1（7） 原式= （8）原式=8 9 是有界变量，必须是无穷小，从而9函数的连续性1 A 2 C 3 A 4（1） ，是跳跃间断点。（2

3、）在定义域内连续；由，是的可去间断点；在其他整数点时，是无穷小，不是无穷小，从而是的无穷间断点。（3）在内连续，是的跳跃间断点。 （4）在上连续。 5（1） （2） （3） （4） 6 ，于是，。第六节 闭区间上连续函数的性质1 C 2 B 3 令，应用零点定理4令，在区间上应用零点定理 5令，于是，若取等号，或，否则应用零点定理6令，在区间上应用零点定理 7在上连续，有最小值与最大值，则，由闭区间上连续函数的连通性定理可得8由，对，当时，即；在闭区间上连续，由有界性定理，有，令，则，第一章测验题一1 D 2 C 3 C 4 A 5 A二1 2 2 2 3 4 5 2三1 2 1 3 4 1

4、5 6 7 不存在时，极限为；时，极限不存在四的间断点是，；是跳跃间断点，是无穷间断点.五由，对，当时，于是，又，在上连续，由零点定理知：，使六；是可去间断点，是第二类间断点七 八1 ， 2 ，九（1） 时， 所以是有界数列. 显然， 设，则所以是单调递减数列. 所以极限存在，等式二边取极限得极限为0. (2) 第二章导数的概念1（1） （2） 2 3C，D4（1） 连续，不可导 （2） 不连续，故不可导5 6 切线方程为；法线方程为7 ， 8的不可导点是和9可导。先判断在处的连续性，再用定义分别求得点的左右导数都等于10第二节 导数的计算1 2 1 3 4 15（1） （2）（3） （4）（

5、5） （6） （7）（8） （9）（10） （11）（12）（13） （14）（15） （16）（17）6 78令，则，得，于是9当时，；当时， 10 11 12用导数定义，13（1） （2）14高阶导数1（1） （2）2（1）3 45 6，7，（判断及时，须用定义分别计算左右导数）8证明略几种类型函数的求导方法1 2 3 4， 5（1）（2） （3）6（1） （2） 7（1） （2）8（1） 3 （2）， 9 1011设经过秒钟后船与人的距离是米，人行走的距离是米，船航行的距离是米，则，两边对求导可得，时，并将，代入方程得，12（1） （2） 1 函数的微分与线性逼近1 2 0 3必要非充分

6、 4 5 B 6 A 7 D 8 B9 10 1112线性主部是 13 第二章测验题一、1 2 充要 3 45二、1 D 2 C 3 A 4 D三、1（或） 23 45 67，89 10四、（1）用，分别表示时刻梯子下端与墙的水平距离，上端与地面的垂直距离及梯子与墙面的夹角，则，两边对求导得，将，及代入得：； （2），两边对求导得，将，代入得：习题答案与提示微分中值定理1 否 2 是 3 1 4 B 5 D 6 C7令，于是当时，于是，得；当时，综上结论成立8设，用拉格朗日中值定理 9 10略11令，用罗尔定理 12设，则，：（1）若，在上满足罗尔定理条件，使，得；（2）若，由零点定理，使，于

7、是在上满足罗尔定理，使，也得13略 14即证明第二节 罗必达法则1 2 3 1 4 1 5 1 (不可用罗必达法则) 6 2 7 8 1 9 1 10 1 11原式=（指数的极限用罗必达法则） 其中记号 12在点处连续 13 B泰勒公式与函数的高阶多项式逼近2. 3. (1) (2) (3) (4) 4. 365. 函数的麦克劳林展式为，比较的系数有，所以有函数的单调性与凸性1. (1) 单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 单调递减区间是2. (1) 上凸区间，下凸区间，拐点坐标(2) 上凸区间，下凸区间，拐点坐标3. (1) 令，则，下略(2) 略 (3) 考察函数的凸性，应用凸性的定义

8、可得 (4) 略4. 当时，原方程有两个实根，分别在区间和内；当时，原方程有一个实根；当时，原方程无实根5. ， 6. 略7.在中令，并由得；又，此等式右端可导，可知存在，且有，令得到；于是可知点是曲线的拐点函数极值与最值的求法1. (1) 函数在处取得极小值，在处取得极大值(2) 函数在处取得极小值，无极大值(3) 函数无极大值和极小值函数y 在处取得最小值，在处取得最大值4. 时，在处取得极大值5. 方程有两个实根，分别在和内6. 矩形场地的最大面积是平方米7.当时，由极限的保号性，存在的某去心邻域使得恒成立，于是在邻域内有，即在处取得极大值；当时同理可证第六节 弧微分 曲率 函数作图1.

9、 2. 3. 曲线在点的曲率半径最小，为 4. 是一条斜渐近线 5. 是一条斜渐近线6. 列表讨论如下： 极大值 极小值 是铅直渐近线，是斜渐近线；函数图略7. 函数曲线无渐近线，列表讨论如下： 极小值 拐点 拐点 函数图略第三章 测验题一1 B 2 A 3 D 4 B 二1 1 2 3 3 和 4下凸 5 三1 2 1 3 2 4 四令，在区间上应用罗尔定理即可五令，于是在严格单增，又，由零点定理知原方程有唯一实根六令，于是数列是该函数在整数点的子列的纵坐标，易知函数在取得最大值，所以数列的最大项是七令，令得是驻点，是极大值点也是最大值点，于是，又，所以八，或，九列表讨论如下： 拐点 极小值

10、 是铅直渐近线，是水平渐近线；函数图略十1时，为连续函数；23验证，于是在处连续第四章 第一节 不定积分的概念与性质1 B 2 BD 3 C4(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 或(12) 原式(13) (14) (15) (16) 5由题知，于是，由得，所以曲线方程为6，于是第二节 换元积分法1 2 3 45 6 7 89 10 11 12原式13 14 15原式 1617 181920 21 22原式24 25原式26原式 2728原式29原式30原式31原式 分部积分法1 2 34原式5 6 7原式 所以原式；或者原式8 910 1

11、112 13 1415原式，于是原式 16， 17由题知，特殊类型函数的积分法1(1) (2) (3)令，则，原式，或原式(4)原式或令，原式(5)令，原式 (6)原式 (7) (8)令，原式(9) (10) (11)原式 (12)原式(13)(14) (15)原式2(1) (2) (3) (4) (5) 第四章 测验题1(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2(1)原式(2)略 (3)分部积分法(4)积化和差(5)令，(6)令，(7) 令， (8)(9) 分子有理化 (10)分部积分法 (11)原式 (12)原式(13) 原式3令，则，分部积分法得

12、部分答案更正P69. 题25. 答案也可为 ，参见P351积分表51P72. 题12. P73. 题16. P75. 题1.(3) P78. 题2.(1) P80. 题2.(4) 答案也可为 P82. 题2.(13) 答案也可为 第五章 第一节 定积分的概念与性质1> < > < 2C 3B 4C 56(1) (2) (3) 1 7(1) (2) (3) 8原式 9原式 10（用定义）11设使，即，由在上连续，使得当时，；由积分的区域可加性：，矛盾12在上连续，于是可取得最大值和最小值，又，即，由闭区间上连续函数的连通性定理知：，使得，结论成立第二节 微积分基本公式1

13、2 34 56，于是 7，时，于是在上严格单增，8(1) (2) 原式(3) 原式9 D 10(1) (2) (3) 1 (4) (5) 1 (6) (7) 11令得或；当时，；当时，；即12原式13(1) ，于是在内有 (2) ，证毕14 15 定积分的计算1 C 2 B 3(1) (2) (3) 令，原式 (4) (5)，(6) (7) (8) 原式 (9) (10) 原式 (11) 令，原式(12) 原式(13) 题目更正为，答案为(14) 原式4，于是5由，且，所以广义积分1 2 3发散 4 5 6 7 发散 8 定积分在几何上的应用1(1) (2) (3) (4) 23，于是切线方程

14、为，即，4由曲线过及得，所求面积 ，令，可得或（舍去），于是5垂直轴的截面面积为，于是6垂直轴的截面面积为，于是体积7由，垂直轴的截面面积为，8(1) (2) (3) (4) ，由知，第六节 定积分在物理上的应用1 深度为厘米时，阻力为，第一次锤击做功，第二次锤击做功，第二次打入厘米距锥底高为米的截面面积为，体积元，克服重力做功距薄板顶端米的面积元为，压强，于是压力4以过质点M和圆弧中点的连线为x轴，圆心角为处质量元为，轴方向上的引力元为，于是5距薄板顶端米的面积元为，压强为，于是压力6测验题1(1) D (2) C (3) B (4) A (5) A 2(1) 1 (2) (3) (4) (

15、5) 3(1) (2) (3) 原式(4) 原式 (5) (6) (7) 4，令得或(舍去)，即时面积最小5(1) 以垂直水面向下为轴，水平面为轴建立坐标系，压力元为，于是压力(2) 坐标同上，压力元为，压力6(1) (代入参数并整理)(2) (代入参数并整理)(3) ，(代入参数并整理)第六章 第一节 微分方程的基本概念1 D 2 B 3 C 4 C 5 A 6第二节 一阶微分方程1 2 3方法一：方程化为（Bernoulli）；方法二：方程化为，令；解得4 5 6（可分离变量或Bernoulli）7 8 9记质量为，初速度为，时刻的速度为位移为，则有，解得，又，得（或积分得可降阶的二阶微分

16、方程1 23 45依题意得，可得初值问题，解得6(1)方程有特解，方程有特解；(2)原方程为，解得二阶线形微分方程1 23是特征重根，设特解为，求得通解为4不是特征根，设特解为，代入求得，通解为5，均是二阶线性齐次方程的特解且线性无关，齐次方程通解为，于是原方程通解6方程两边求导两次得，通解为，代入初值条件，得特解7特征方程，特征根，由于，均是正数，若，则，可得；(2)若，则，可得；(3)若，则实部，可得8特征方程，特征根，通解；设()，得关于和的方程组,，于是方程有唯一解，即微分方程的应用举例设是所求曲线上任一点，则切线方程，在轴上的截距；法线方程，在轴上的截距，依题意得，解之得设时刻物体位

17、于，则有，得定解问题，解之得水的体积，两边求导得，又，得初值问题，；解之得和，令得4链条竖直端所受重力是整个链条产生加速度的原因，设时刻时链条竖直端的长度为，链条的线密度为，重力加速度为，则，即得初值问题，解之得，令，解得或（舍去）第六章 测验题1 D 2 A 3 4方程化为，两边积分得 5（一阶线性）6 7令，则，可解得特解为8特征根，对应的齐次方程通解为，不是特征根，可设特解，代入得，于是通解9设是所求曲线上任一点，则法线方程，原点到法线的距离为，由题意，整理得（齐次方程），定解条件，解之得曲线方程10两边对求二阶导，可得初值问题，对应齐次方程的通解为，原方程特解设为，代入可求得，于是原方

18、程通解，由定解条件11设物体B运动的轨迹为曲线，设时刻物体B位于点处，则（其中为物体B的速度方向即运动轨迹切线方向与轴正向的夹角），可得 (1) ，式中含有三个变量，需进一步简化，方程(1)两边关于求导得 (2) ，设在时刻物体B所走过的弧长为，则有（），因此 (3) ，由(2)式及(3)式得微分方程，初值条件，期末模拟试卷（一）一1 2 34 5 二1 D 2 B 3 D 4 D 5 A三1 2（令） 四1 2五1 2 3原式六1取正整数 2取大于1的正整数 3取大于2的正整数七1单调递增区间和，单调递减区间，时有极小值上凸区间，下凸区间和，拐点铅直渐近线，斜渐近线八设，则连续且，由零点定理

19、使得，又，于是原方程有唯一解九更正为，通解为十两曲线交于点和，由对称性：面积；体积十一设，由题意，于是，十二方程左边令，方程化为，两边求导并整理得，代入并由得期末模拟试卷（二）一1 1 2 3 4 5 二1 D 2 A 3 A 4 C 5 C三1 2 四1 2 五1 2六更正时，；答案为七，八略九1极小值 2拐点横坐标 3十由对称性，只考虑第一象限，和的交点坐标为；由十一令，令得，时，于是，即十二设时刻的贮存费用为，则，总贮存费用为第七章 空间解析几何与向量代数7.1节 1.2.3. 4. 5. 7.2节. 2. . 3. 4. . , 7.3节1. 2. . 3. . 4.

20、60; 5. 6. . 7. . 8. 9. 或者 10. . 11. .12. . 13. 、. 14.7.4 节1. (1) . 2. .  3. . 4. .7.5 节1.(1)； (2);(3), 7; (4);,; ;(1) 绕轴旋转; (2)绕轴旋转 (3) 绕轴旋转;4. ;7.6节1. ； 2. , ;3. ; 4. (1) , (2) 5. ,;7.7节1. (1); (2)   (3) 1; (4) 2 , 1, ; (5).2. ; 3. 4. . 5. (1) ; (2) .6. ; 7. ; 8. ; 9.7.8节 1. ； 2

21、. ; 3. ; 4. ; ;5. ; ; 6. 0 ; 7.; 8. C ; 9. C ; 10. ;11. ; 12.; 13. ; 14. 略 ； 15. .7.9节旋转椭球面；二次锥面；椭圆抛物面；双叶双曲面；原曲线是平面内的抛物线，略.第七章测验题1.(1) ; (2) ; (3) (4) . (5) . (6) .(7) . (8) . (9) . (10) .2. . 3. . 4. . 5. .6. .第八章 多元函数微分学8.1节(1) . (2) . (3) . (4) .2. . 3. (1) ; (2) 2 ; (3) 0 ; (4) 3 ; (5) 1 ; (6) 不

22、存在; (7) 不存在； (8) 0 .4. 连续.8.2节. 2. .3.(1).(2) . .(4) .4. . 5. . 6. . 7. 略8.3节(1). (2).， (3) . (4) .(1) . (2) .3 . (1)函数在点连续，且, 可微，但是其偏导函数在不连续.(2) 函数在点连续，且, 但不可微.4. 函数在点连续，, 但不存在，不可微.5. 8.4节(1). (2) ；. (3) . (4) .2. (1) ;. (2) ;.3. ; ; .4. . 5. 6. .7. 由题意得.8.5节(1). (2).2. (1) ; . (2) . 4. 2.5. (1) .

23、(2) ,.6. 8.6节 1.(1); ; . (2) . (3) . 3. 4. . 5. .6. . 7. . 8. .8.7节. 2. . 3 . . 4. ; . 5. . 6. . 7. (1) ; . (2) . 8. . 9. . 10. .8.8 节. 2. . 3. . 4. . 5. 是极小值点，极小值为;是极大值点，极大值为.6. 长、宽、高分别为. 7. . 8. 最短距离为; 最长距离为.9. 不是的极值点.第八章测验题(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . 2. (1) . (2) (3) . (4) . (5) .3. (1) ; .(2)

24、.(3) ; .4. 极小值. 5. .6. 在点处连续，偏导数不存在，不可微.7. ，.8. .9. . 10. .11. 长、宽，高.第九章 部分答案9.1节 （一）(1) （2）(3)0；(4)0； (5) 省略. 4.略 5.  6. 7.负号；9.1节 （二）. 2. 4. 5. 6. 7. 9.1节 （三） 4. . 5. 6. . 7. . 8. 1. 0 2. 3. .4. . 5. . 6.0. 7. 8 令换元后改变积分次序. 9.2节 （一）1.(1) 0； (2) 0; 2略;4. 5. 6.0； 7. 8. 9.2节 （二） 2. 3. (1) (

25、24. (1) (2) 5.（1）.(2)9.2节 （三）1.(1) (2)2. (1) ; (2) (3) (1) (2)4. 5. 6. 7.8. 9. 10. 9.3节 1. 0. 2. 3. 4. 5. 4. 6. 7. 8. .9.4节1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.100小时9.5节1. 2. 3. 4. 5. 6. . 7. .8. 9. 10. 11.12. 13. 14.15. （1） （2）（3）测验题1.（1）. (2) (3) (4); (5); (6) .（1）C; (2) B; (3) A; (4)C; (5)C; (6) B.3.××××4. (1);(2);(3);(4). 5.; 6. . 7. 8. 略.第十章10.1节. 2. . .7. 略.10.2 节. 2. . 3. .4. 0 . 5. . 6. . 7. C . 8. (1) 0 ; (2) 0 ; (3) 0 .9. . 10.略.