2019年全国重点高中初升高自主招生数学模拟试题(4套)含答案解析

1、2019 年全国重点高中自主招生数学模拟试题1一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）在 “百度”搜索引擎中输入 “永安”二字，能搜索到与之相关的结果个数约为 61600000，数 61600000 用科学记数法表示正确的为（） A61.6×107B6.16×108C 6.16×107D0.616×1082（4 分）下列运算正确的是（）Aa3÷ a2=aBa3+a2=a5 C（ a3）2=a5Da2?a3=a63（4 分）一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况为（） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根

2、C有两个不相等的实数根D没有实数根4（4 分）若双曲线 y=分布在二、四象限，则 k 的值可为（）A0B1C2D35（4 分）在正方形网格中， ABC的位置如图，则 cosB 的值为（）ABCD6（ 4 分）下列函数： y=3x；y=2x 1；y=x2+2x+3其中 y 的值随 x 值的增大而增大的函数有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个7（ 4 分）按下面的程序计算， 若开始输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 x 的不同值最多有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个第 6 页（共 94 页）8（4 分）已知关于 x 的不等式组的解集中任意一个 x 的值均

3、不在 0x4 的范围内，则 a 的取值范围是（）Aa5 或 a 2B 2a5C 2a5Da5 或 a 29（ 4 分）如图，已知点 A 是以 MN 为直径的半圆上一个三等分点，点 B 是 的中点，点 P 是半径 ON 上的点若 O 的半径为 l，则 AP+BP 的最小值为（ ）A2BCD110（ 4 分）如图，直角三角形 ABC位于第一象限， AB=3， AC=2，直角顶点 A 在直线 y=x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC分别平行于 x 轴、y 轴，若双曲线 （k0）与 ABC有交点，则 k 的取值范围是（ ）A1k5 BCD二、填空题（本大题共 6 小题，每小题

4、4 分，共 24 分）11（ 4 分）不透明的口袋中有 2 个黑球， 1 个白球，它们除颜色外其它均相同，从中先后两次摸出一个球（第一次摸出后不放回），则两次都摸到黑球的概率是12（4 分）若 x，y 为实数，且满足（x3）2+ =0，则（ ）2017 的值是 13（ 4 分）计算： x（x+2）（ x+1）（ x 1） =14（ 4 分）如图，点 A，B，C，D 在 O 上，点 O 在 D 的内部，四边形 OABC为平行四边形，则 OAD+OCD=°15（ 4 分）有这么一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1=5，计算 n12+1 得 a1； 第二步：算出 a1 的各位数字之和，得

5、 n2，计算 n222+1 得 a ；第三步：算出 a2 的各位数字之和，得 n3，再计算 n32+1 得 a3； 依此类推，则 a2017=16（ 4 分）矩形纸片 ABCD中， AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点 B 落在边 CD上的 B处，折痕为 AE、在折痕 AE上存在一点 P 到边 CD的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为三、解答题（本大题共 9 小题，共计 86 分）17（ 7 分）计算： | 2| （ 2）0+（ ） 218（ 7 分）先化简，再求值：÷（ a），其中 a=2，b=119（ 8 分）如图，正方形 ABCD的边 CD 在正方形 ECGF的边 CE

6、上，连结 BE、 DG（1） ）求证： BE=DG且 BE DG；（2） ）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由20（ 8 分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡 AC，我海监船在海面上与点 C距离 200 米的 D 处， 测得岛礁顶端 A 的仰角为 26.6 °，以及该斜坡坡度是tan =，求该岛礁的高 AB（结果取整数）（参考数据： sin26.6 °0.45，cos26.6 °0.89，tan26.6°0.50）21（8 分）据报载，在 “百万家庭

7、低碳行，垃圾分类要先行 ”活动中，某地区的一个环保组织在 2014 年 4 月份随机问卷了一些民众，对垃极分类所持态度进行调查，将调查结果绘成扇形图（如图） （ 1 ）扇形图中，表示持“一般 ”态度的民众所占比例的扇形的圆心角度数是；（ 2）调查中，如果把所持态度中的 “很赞同 ”和“赞同”统称为 “支持”， 2016 年 4月，该环保组织又进行了一次同样的调查，发现“垃圾分类支持者 ”占到了调查人数的 84.7%，那么这两年里 “垃圾分类支持者 ”的年平均增长率大约是多少？22（ 10 分）如图， RtABC中 C=90°， AC=4，BC=3；半径为 1 的 P 的圆心 P在 A

8、C边上移动（1） ）当 AP 为多长时， P 与 AB相切？（如有需要，可用图 1 分析）（2） ）如图 2，当P 运动到与边 BC相交时，记交点为 E，连结 PE，并作PDAC交 AB 于点 D，问：四边形 PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由23（10 分）如图是二次函数 y=（x+m）2+k 的图象，其顶点坐标为 M（ 1，4）（1） ）求出图象与 x 轴的交点 A，B（A 在 B 的左边）的坐标；与 y 轴的交点 C 坐标，并画出二次函数的草图；（2） ）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请

9、你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b1）与此图象有两个公共点时， b 的取值范围24（ 14 分）如图，在半径为 2 的扇形 AOB中， AOB=120°，点 C是弧 AB 上的一个动点，（不与点 A、B 重合），ODAC，OEBC，垂足分别为 D、E（1） ）当点 C是弧 AB中点时（如图），求线段 OD 的长度；（2） ）观察图，点 C 在弧 AB 上运动， DOE的边、角有哪些保持不变？求出不变的量；（3） ）设 OD=x， DOE的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围25（14 分）已知二次函数 y=ax22ax+c 的图象与 x 轴交于

10、 A（ 1，0）、B 两点，其顶点为 M（）根据图象，解不等式 ax22ax+c 0；（）若点 D（ 3，6）在二次函数的图象上，试问：线段 OB上是否存在 N 点， 使得 ADB=BMN？若存在，求出 N 点坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1（4 分）在 “百度”搜索引擎中输入 “永安”二字，能搜索到与之相关的结果个数约为 61600000，数 61600000 用科学记数法表示正确的为（） A61.6×107B6.16×108C 6.16×107D0.616×108【分析】科学

11、记数法的表示形式为 a× 10n 的形式，其中 1| a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数【解答】 解： 61 600 000=6.16×107，故选： C【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中 1| a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及 n 的值2（4 分）下列运算正确的是（）Aa3÷ a2=aBa3+a2=a5 C（ a3）2=a5

12、Da2?a3=a6【分析】根据同底数幂相除， 底数不变指数相减； 幂的乘方， 底数不变指数相乘； 同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】 解： A、a3÷ a2=a，正确；B、a3 与 a2 是相加，不是相乘，所以不能利用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；C、应为（ a3） 2=a3×2=a6，故本选项错误；D、应为 a2?a3=a2+3=a5，故本选项错误 故选： A【点评】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键第 7 页（共 94 页）3（4 分）一元二次方程 x24x+4=0 的根的情况为（）

13、A只有一个实数根 B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D没有实数根【分析】把 a=1，b=4，c=4 代入判别式 =b24ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况【解答】 解：一元二次方程 x24x+4=0， =（ 4）24×1×4=0，方程有两相等实数根 故选： B【点评】本题考查了根的判别式， 一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1） 0? 方程有两个不相等的实数根； （2） =0? 方程有两个相等的实数根； （3） 0? 方程没有实数根4（4 分）若双曲线 y=分布在二、四象限，则 k 的值可为（）A0B1C2D3【分析】根据反比例函数 y=的性质得

14、到 k 1 0，然后解不等式得到 k 的范围，再对四个选项进行判断【解答】 解：根据题意得 k10， 解得 k1故选： A【点评】 本题考查了反比例函数 y=（k 0）的性质：当 k 0，图象分布在第一、三象限；当 k 0，图象分布在第二、四象限5（4 分）在正方形网格中， ABC的位置如图，则 cosB 的值为（）第 52 页（共 94 页）ABCD【分析】 利用网格特点构建RtABD，利用勾股定理计算出 AB，然后利用余弦的定义求解【解答】 解：如图，在 ABD中， AD=3，BD=4，AB=5，cosB= 故选： D【点评】 本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义6

15、（ 4 分）下列函数： y=3x；y=2x 1；y=x2+2x+3其中 y 的值随 x 值的增大而增大的函数有（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】 分清每个函数的类别，根据函数的增减性，逐一判断【解答】 解： y=3x， 30，y 随 x 的增大而减小；y=2x1， 2 0， y 随 x 的增大而增大； 1 0，图象在第二、四象限，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大；y=x2+2x+3 当 x1 时， y 随 x 的增大而增大，当 x1 时， y 随 x 的增大而减小符合题意，故选 C【点评】 本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性7（ 4 分）按下面的程序计算，

16、 若开始输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，则满足条件的 x 的不同值最多有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据最后输出的结果，可计算出它前面的那个数，依此类推，可将符合题意的那个最小的正数求出【解答】 解：最后输出的数为 656， 5x+1=656，得： x=1310， 5x+1=131，得： x=26 0， 5x+1=26，得： x=50， 5x+1=5，得： x=0.8 0； 5x+1=0.8，得： x=0.04 0，不符合题意， 故 x 的值可取 131， 26，5，0.8 共 4 个 故选： C【点评】本题立意新颖，借助新运算，实际考查一元一次方程的解法

17、；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1 等8（4 分）已知关于 x 的不等式组的解集中任意一个 x 的值均不在 0 x4 的范围内，则 a 的取值范围是（）Aa5 或 a 2B 2a5C 2a5Da5 或 a 2【分析】 根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集是与0 x4 的关系，可得答案【解答】 解：解，得a1xa+2，由不等式组的解集中任意一个 x 的值均不在 0x4 的范围内，得a+2 0 或 a14， 解得 a5 或 a 2， 故选： D【点评】 本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x 的值均不在 0x4的范围内得出不等式是解题关键9（ 4 分）如图

18、，已知点 A 是以 MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是 的中点，点 P 是半径 ON 上的点若 O 的半径为 l，则 AP+BP 的最小值为（）A2BCD1【分析】本题是要在 MN 上找一点 P，使 PA+PB的值最小，设 A是 A 关于 MN 的对称点，连接 A，B与 MN 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB是最小值，可证 OAB是等腰直角三角形，从而得出结果 1【解答】 解：作点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 A，B交 MN 于点 P，则 PA+PB最小，连接 OA，AA， OB，点 A 与 A关于 MN 对称，点 A 是半圆上的一个三等分点， AON= AON=6

19、76;0 ，PA=PA，点 B 是弧 AN的中点， BON=3°0， AOB= AO+NBON=9°0 ，又 OA=OA =1， AB= PA+PB=PA+PB=AB= 故选： C【点评】正确确定 P 点的位置是解题的关键， 确定点 P 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要10（ 4 分）如图，直角三角形 ABC位于第一象限， AB=3， AC=2，直角顶点 A 在直线 y=x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB、AC分别平行于 x 轴、y 轴，若双曲线 （k0）与 ABC有交点，则 k 的取值范围是（ ）A1k5 BCD【分析】 把

20、A 点的坐标代入即可求出 k 的最小值；当反比例函数和直线BC相交时，求出 b24ac 的值，得出 k 的最大值【解答】 解：在 y=x 中，令 x=1，则 y=1，则 A 的坐标是（ 1，1），把（ 1，1）代入 y=得： k=1；C的坐标是（ 1，3），B 的坐标是（ 4，1），设直线 BC的解析式是 y=kx+b，则，解得：，则函数的解析式是： y= x+，根据题意，得： = x+ ，即 2x211x+3k=0，=121 24k 0， 解得： k则 k 的范围是： 1k故选： B【点评】本题主要考查了反比例函数， 用待定系数法求一次函数的解析式， 根的判别式等知识点， 解此题的关键是理解

21、题意进而求出k 的值题目较好，难度适当二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11（ 4 分）不透明的口袋中有 2 个黑球， 1 个白球，它们除颜色外其它均相同，从中先后两次摸出一个球（第一次摸出后不放回） ，则两次都摸到黑球的概率是【分析】先画出树状图展示所有9 种等可能的结果， 再找出两次都摸到黑球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】 解：画树状图：，共有 6 种等可能的结果，其中两次都摸到黑球的结果为2 种， 所以两次都摸到黑球的概率 =故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法： 先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或

22、B 的结果数目 m，然后根据概率的公式计算概率12（ 4 分）若 x，y 为实数，且满足（ x 3）2+=0，则（）2017 的值是1【分析】 直接利用偶次方的性质以及算术平方根的性质得出x， y 的值，进而得出答案【解答】 解：（ x 3） 2+=0，x=3， y=3，则（）2017=（ 1）2017=1， 故答案为： 1【点评】 此题主要考查了偶次方的性质以及算术平方根的性质，正确得出x，y的值是解题关键13（ 4 分）计算： x（x+2）（ x+1）（ x 1） =2x+1【分析】原式利用单项式乘以多项式， 以及平方差公式化简， 去括号合并即可得到结果【解答】 解：原式 =x2+2x x

23、2+1=2x+1 故答案为： 2x+1【点评】此题考查了平方差公式， 以及单项式乘多项式， 熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键14（ 4 分）如图，点 A，B，C，D 在 O 上，点 O 在 D 的内部，四边形 OABC为平行四边形，则 OAD+OCD=60°【分析】 利用四边形 OABC为平行四边形，可得 AOC=B， OAB= OCB， OAB+ B=180°利用四边形 ABCD是圆的内接四边形，可得 D+B=180°利用同弧所对的圆周角和圆心角可得 D= AOC，求出 D=60°，进而即可得出【解答】 解：四边形 OABC为平行四边形， AOC=

24、B， OAB=OCB， OAB+B=180°四边形 ABCD是圆的内接四边形， D+ B=180°又 D= AOC， 3 D=180°，解得 D=60° OAB=OCB=18°0 B=60° OAD+OCD=36°0（ D+B+OAB+OCB）=360°（60°+120°+60°+60°）=60°故答案为： 60【点评】本题考查了平行四边形的性质、 圆的内接四边形的性质、 同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于基础题15（ 4 分）有这么一个数字游戏：第一步：取一个自

25、然数n1=5，计算 n12+1 得 a1； 第二步：算出 a1 的各位数字之和，得 n2，计算 n222+1 得 a ；第三步：算出 a2 的各位数字之和，得 n3，再计算 n32+1 得 a3； 依此类推，则 a2017=26【分析】根据题意可以分别求得 a1，a2，a3，a4，从而可以发现这组数据的特点，三个一循环，从而可以求得 a2017 的值【解答】 解：由题意可得， a1=52+1=26， a2=（2+6） 2+1=65， a3=（6+5） 2+1=122， a4=（1+2+2）2+1=26， 2017÷ 3=6721， a2017=26， 故答案为： 26【点评】本题考查

26、规律性：数字的变化类，解题的关键是明确题意，求出前几个数，观察数的变化特点，求出 a2017 的值16（ 4 分）矩形纸片 ABCD中， AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点 B 落在边 CD上的 B处，折痕为 AE、在折痕 AE上存在一点 P 到边 CD的距离与到点 B 的距离相等，则此相等距离为【分析】 由翻折的性质知， BP=B，P而要点 P到 CD的距离等于 PB，则该垂线段必为 PB，故有 PBCD，延长 AE交 DC的延长线于点 F，由于 DFAB，则 F=BAE= BA，E所以 BF=BA=AB，=而5 BPAD，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可求得BP的长，

27、由此得解【解答】解：方法 1：根据折叠的性质知： BP=PB，若点 P到 CD的距离等于 PB，则此距离必与BP相同，所以该距离必为PB延长 AE 交 DC 的延长线于F由题意知： AB=AB=，5 BAE= BA；E在 RtABD中， AB=，5 AD=4，故 BD=；3由于 DFAB，则 F=BAE， 又 BAE=BA，E F=BA，EFB=AB；=5PB CD，ADCD，PB AD，即， 解得 PB=2.；5方法 2：过 B做 CD的垂线交 AE于 P点，连接 PB，易于说明， P 即是符合题意的在 RtABD中， AB=，5所以 CB=2设 BE=a，CE=4a又 EB=EB=，a在

28、RtECB中（ 4 a）2+22=a2解得 a=2.5，AD=4，故 BD=3连接 BB，由对称性可知， BG=BG， EPBB， BEB，P BEG B P，G BE=B，P四边形 BPBE为平行四边形，又 BE=EB所以四边形 BPBE是菱形所以 PB=BE=a=2.5故所求距离为 2.5故此相等的距离为 2.5【点评】此题考查了矩形的性质、 图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现PB就是所求的 P 到 CD的距离三、解答题（本大题共 9 小题，共计 86 分）17（ 7 分）计算： | 2| （ 2）0+（ ） 2【分析】 根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂

29、可以解答本题【解答】 解： | 2| （ 2）0+（） 2=21+4=5【点评】本题考查实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法18（ 7 分）先化简，再求值：÷（ a），其中 a=2，b=1【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 与 b 的值代入计算即可求出值【解答】 解：原式 =÷=?=，当 a=2，b=1 时，原式 =1【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（ 8 分）如图，正方形 ABCD的边 CD 在正方形 ECGF的边 CE上，连结

30、BE、 DG（1） ）求证： BE=DG且 BE DG；（2） ）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由【分析】（1）由正方形的性质，可证得 BCE DCG，则可证得 BE=DG，延长 GD交 BE于点 H，则可证得 BHG=90°；（ 2）由（ 1）的证可求得答案【解答】（1）证明：延长 GD交 BE于点 H，如图，四边形 ABCD、CEFG为正方形， BCE=DCG， CE=CG，BC=CG， BCE DCG（ SAS），BE=DG， BEC= DGC， BEC+EBC=9°0， EBC+DGC=9°0， B

31、HG=9°0，即 BEDG；（ 2）解：存在，把 BCE绕点 C顺时针旋转 90°可得到 DCG【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，由条件证得BCE DCG是解题的关键20（ 8 分）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡 AC，我海监船在海面上与点 C距离 200 米的 D 处， 测得岛礁顶端 A 的仰角为 26.6 °，以及该斜坡坡度是tan =，求该岛礁的高 AB（结果取整数）（参考数据： sin26.6 °0.45，cos26.6 °0.89，tan26.6°0

32、.50）【分析】 根据 tan =，可设 AB=3x（米），BC=4x（米），继而表示出 AB、BD 的长度，再由 tan26.6 °0.50，可得关于 x 的方程，解出即可得出答案【解答】 解：在 RtABC中，故可设 AB=3x（米），BC=4x（米），在 RtADB 中， D=26.6°，BD=200+4x（米），解得： x=100，则 3x=300答：该岛礁的高 AB 为 300 米【点评】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形， 利用三角函数的定义，表示相关线段的长度21（8 分）据报载，在 “百万家庭低碳行，垃圾分类要先行 ”活动中，某地

33、区的一个环保组织在 2014 年 4 月份随机问卷了一些民众，对垃极分类所持态度进行调查，将调查结果绘成扇形图（如图） （ 1）扇形图中，表示持“一般 ”态度的民众所占比例的扇形的圆心角度数是36° ；（ 2）调查中，如果把所持态度中的 “很赞同 ”和“赞同”统称为 “支持”， 2016 年 4月，该环保组织又进行了一次同样的调查，发现“垃圾分类支持者 ”占到了调查人数的 84.7%，那么这两年里 “垃圾分类支持者 ”的年平均增长率大约是多少？【分析】（1）求出持 “一般”态度的民众占的百分比，乘以 360 即可得到结果；（ 2）设这两年里 “垃圾分类支持者 ”的年平均增长率是 x，

34、根据题意列出方程， 求出方程的解即可得到结果【解答】 解：（1）根据题意得： 360°×（ 120%39%31%）=36°，故答案为： 36°；（ 2）设这两年里 “垃圾分类支持者 ”的年平均增长率大约是x， 根据题意得： 70%（ 1+x）2=84.7%，解得： x1=0.1=10%， x2= 2.1（不符合题意，舍去） ，则这两年里 “垃圾分类支持者 ”的年平均增长率 10%【点评】 此题考查了一元二次方程的应用，扇形统计图，以及用样本估计总体， 弄清题意是解本题的关键22（ 10 分）如图， RtABC中 C=90°， AC=4，BC=3

35、；半径为 1 的 P 的圆心 P在 AC边上移动（1） ）当 AP 为多长时， P 与 AB相切？（如有需要，可用图 1 分析）（2） ）如图 2，当P 运动到与边 BC相交时，记交点为 E，连结 PE，并作PDAC交 AB 于点 D，问：四边形 PDBE可能为平行四边形吗？若可能，求出此时AP的长；若不可能，说明理由【分析】（1）根据切线的性质得出当PF=1时， P 与 AB 相切，利用相似三角形的判定与性质得出即可；（ 2）根据平行四边形的判定，得出当PEAB 时，四边形 PDBE是平行四边形， 由 PE AB得， PCE ACB，进而求出即可【解答】 解：（1）过 P 作 PF AB于点

36、 F由 P的半径为 1 得，当 PF=1时， P 与 AB相切 由 A 是公共角， PFA=C=90°，得 APF ABC， ，其中，由 AC=4、BC=3得 AB=5AP= ；（ 2）由 PDAC，C=90°，得 PDBC，当 PEAB 时，四边形 PDBE是平行四边形 由 PE AB得，PCE ACB，设 AP=x，得 PC=4 x由 PE=1，AB=5得， 解得 x=，因此，四边形 PDBE是平行四边形，此时 AP的长为【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练利用平行四边形的性质得出是解题关键23（10 分）如图是二次函数 y

37、=（x+m）2+k 的图象，其顶点坐标为 M（ 1，4）（1） ）求出图象与 x 轴的交点 A，B（A 在 B 的左边）的坐标；与 y 轴的交点 C 坐标，并画出二次函数的草图；（2） ）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b1）与此图象有两个公共点时， b 的取值范围【分析】（1）将抛物线的顶点坐标代入抛物线的顶点式中，即可得出抛物线解析式，再根据坐标轴上点的特点建立方程求解即可得出结论；（ 2）确定出直线 y=x+b 与新的图象两个交点的分界点，即可得出结论【解答】 解：（1） M（ 1，

38、 4）是二次函数 y=（x+m） 2+k 的顶点坐标，y=（x1）2 4=x22x+3， 令 y=0， x22x3=0，x=1 或 x=3， A（ 1，0）， B（ 3， 0），令 x=0，y=3， C（ 0， 3），草图如图 1 所示（ 2）如图 1，当直线 y=x+b 经过 A（ 1，0）时， 1+b=0， b=1，当直线 y=x+b 经过 B（3，0）时， 3+b=0， b=3，由图 1 图象知符合题意的 b 的取值范围为 3 b 1【点评】此题主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，折叠的性质，二次函数图象的画法，确定出抛物线表达式是解本题的关键24（ 14 分）如图，在半径为 2 的

39、扇形 AOB中， AOB=120°，点 C是弧 AB 上的一个动点，（不与点 A、B 重合），ODAC，OEBC，垂足分别为 D、E（1） ）当点 C是弧 AB中点时（如图），求线段 OD 的长度；（2） ）观察图，点 C 在弧 AB 上运动， DOE的边、角有哪些保持不变？求出不变的量；（3） ）设 OD=x， DOE的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围【分析】（1）求出 OD，根据勾股定理求出 OD即可；（2） ）过点 O 作 AB的垂直平分线， 与 AB交于点 F，与弧 AB 交于点 M ，求出AF，得出 AB 长度，根据垂径定理得出D、E 分别

40、是 AC、BC中点，根据三角形中位线 求出即可，（3） ）作出 DOE的边 OE上的高 DG，利用三角函数求出 DG，即可【解答】 解：（1）如图，连接 OC，点 C是弧 AB中点， AOB=12°0， AOC=BOC= AOB=6°0，OD AC，OA=OC， ADO=9°0， AOD= COD= AOC=3°0，OD=OA×cosAOD=2×cos30°=/（2） ）存在， DE是不变的， DOE也是不变的，理由是：如图，连接AB，OC，过点 O 作 AB 的垂线，则 AF=BF= AB，OM 平分 AOB与弧 AB，在

41、 RtAOF中， AOF=6°0， OA=2，AF=， OF=1，AB=2AF=2，由垂径定理可知，点 D、E 分别是 AC和 CB的中点， DE是 ABC的中位线， DE= AB=；OD AC， COD= AOC，OEBC， COE= BOC， DOE=COD+ COE= AOC+BOC= AOB=6°0（3） ）如图 3，过点 D 作 DGOE于 G， OGD=9°0由（ 2）有，点 C在弧 AB上运动， DOE始终不变， DOE=6°0，在 RtOGD中， OD=x， DOE=6°0， DG=OD×sin DOE=x×

42、=x，OG= x，由（ 2）知， DE=，根据勾股定理得， EG=OE=OG+EG= x+2y=S DOE=OE×DG= × （x+）×x=（ x +x）当点 C和点 A 重合时， x 最大，最大的 x=OD=OA=2，当点 C和点 B 重合时如图， x 最小，最小的 x=OD=OF=1，x 的取值范围为 1 x 2即： y 关于 x 的函数关系式为（x2+x）（1x2）【点评】本题考查了三角形中位线， 垂径定理， 勾股定理的应用， 三角形的面积， 函数的自变量的取值范围的确定， 题目是一道比较典型的题目， 难度适中， 解本题的关键是确定出 DOE中的不变量25（

43、14 分）已知二次函数 y=ax22ax+c 的图象与 x 轴交于 A（ 1，0）、B 两点，其顶点为 M（）根据图象，解不等式 ax22ax+c 0；（）若点 D（ 3，6）在二次函数的图象上，试问：线段 OB上是否存在 N 点， 使得 ADB=BMN？若存在，求出 N 点坐标；若不存在，说明理由【分析】（）根据图象确定出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性求出点 B 的坐标，然后找出函数图象在x 轴上方的 x 的取值范围即可；（）根据点 A、D 的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式，根据函数解析式求出顶点 M 的坐标，存在 N（t，0）（0t 3），过点 D 作 DEx 轴于点 E，

44、设对称轴与 x 轴的交点为 F，根据点 D、B、M 的坐标求出 DBA=MBN=4°5 ，再结合 ADB= BMN 证明 ADB和 NMB 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】 解：（）函数 y=ax22ax+c 图象的对称轴为直线 x=1， A、B 两点关于直线 x=1 对称， 又 A 点的坐标为（ 1，0），B 点的坐标为（ 3，0），由图可知，二次函数开口向上， a 0，所以，不等式 ax22ax+c 0 的解集为 x 1 或 x3；（）存在点 N（ ，0），使得 ADB=BMN理由如下： A（ 1， 0）、D（ 3， 6）都在此函数图象上，解得，此二次函数的解

45、析式为： y=x2 x=（ x 1）22， 函数图象的顶点为 M（ 1， 2），假设线段 OB上存在 N（t，0）（ 0 t3）点，使得 ADB=BMN，过 D 作 DEx 轴于 E，设对称轴与 x 轴相交于点 F， D（ 3，6）， B（ 3， 0），M（ 1， 2）， DE=6， BE=OB+OE=6，MF=2，BF=31=2， DEB、 BMF为等腰直角三角形， DBA= MBN=4°5 ，又 ADB=BMN， ADB NMB，=，即=，解得 t=，所以，线段 OB上存在点 N（，0），使得 ADB=BMN【点评】本题是对二次函数的综合考查， 主要利用了二次函数的对称性， 利用

46、函数图象求不等式的解集， 待定系数法求二次函数解析式， 以及相似三角形的判定与性质，（）中根据数据的特殊性求出 DEB、 BMF 为等腰直角三角形，从而得到 DBA= MBN=4°5 是解题的关键2019 年全国重点高中自主招生数学模拟试题2一、填空题（每小题 5 分，共 40 分）1（5 分）方程组的解是2（5 分）若对任意实数 x 不等式 axb 都成立，那么 a，b 的取值范围为3 （ 5 分）设 1 x 2 ，则 | x 2| | x|+| x+2| 的最大值与最小值之差为4（ 5 分）两个反比例函数 y=，y=在第一象限内的图象如图所示点P1 ，P2，P3、P2007 在反

47、比例函数 y=上，它们的横坐标分别为 x1、x2、x3、x2007， 纵坐标分别是 1， 3， 5共 2007 个连续奇数，过 P1，P2，P3、P2007 分别作 y轴的平行线， 与 y=的图象交点依次为 Q1（x1，y1）、Q1（ x2，y2）、Q2（x2007， y2007），则| P2007Q2007| =5（5 分）如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从 A点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线长是6（ 5 分）有一张矩形纸片 ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠使 A、C 两点重合，那么折痕长是7（5 分）已知 3，a，4，b，5 这五个数据

48、，其中 a，b 是方程 x23x+2=0 的两个根，则这五个数据的标准差是8（ 5 分）若抛物线 y=2x2px+4p+1 中不管 p 取何值时都通过定点， 则定点坐标为二、选择题（每小题 5 分，共 40 分）9（5 分）如图， ABC中， D、E 是 BC边上的点， BD：DE：EC=3：2：1，M 在AC边上， CM：MA=1：2，BM 交 AD，AE于 H，G，则 BH：HG：GM 等于（）A3：2：1 B5：3：1 C25： 12：5D51：24： 1010（ 5 分）若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是 r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（）ABCD11（ 5 分）抛物线 y

49、=ax2 与直线 x=1，x=2， y=1，y=2 围成的正方形有公共点，则实数 a 的取值范围是（）A a 1Ba2Ca1D a212（ 5 分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3 支，练习本 7本，圆珠笔 1 支共需 3.15 元；若购铅笔 4 支，练习本 8 本，圆珠笔 2 支共需 4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1 件共需（）A1.2 元B1.05 元 C0.95 元 D0.9 元13（ 5 分）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根 x1、x2，且 x11x2，那么实数 a 的取值范围是（）ABCD14（ 5 分）如图，正方形 A

50、BCD的边 AB=1，和都是以 1 为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）AB1C1D115（5 分）已知锐角三角形的边长是 2，3，x，那么第三边 x 的取值范围是（）A1xBCD16（ 5 分）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）A2x% B1+2x%C（1+x%） x% D（ 2+x%）x%三、解答题（共 40 分）17（7 分）设 m 是不小于 1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m 2）x+m 23m+3=012有两个不相等的实数根x1、x2，（1） ） 若 x2+x2=6，求 m 值；（2） ）求的最大值18（ 7 分）如图，开口向下的抛物线 y=ax28ax+12a 与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上另有一点 C在第一象限，且使 OCA OBC，（1） ）求 OC的长及的值；（2