(课件)11任意角和弧度制[1]

1、1.通过实例通过实例,使学生理解角的概念推广的使学生理解角的概念推广的 必要性必要性2.理解任意角的概念，根据角的终边理解任意角的概念，根据角的终边 旋转方向旋转方向,能判定正角、负角和零角能判定正角、负角和零角教学目标教学目标:3.学会建立直角坐标系来讨论任意角学会建立直角坐标系来讨论任意角, 能够根据终边判断象限角能够根据终边判断象限角,掌握终边掌握终边 相同角的表示方法相同角的表示方法教学重点教学重点:1.任意角的概念，象限角的概念任意角的概念，象限角的概念2.掌握终边相同的角的表示方法掌握终边相同的角的表示方法 及判定及判定教学难点教学难点:把终边相同的角用集合和符号语言把终边相同的角

2、用集合和符号语言正确地表示出来正确地表示出来2.初中学习过哪些角？初中学习过哪些角？锐角、直角、钝角、锐角、直角、钝角、平角、和周角平角、和周角1.初中所学角是如何定义的？初中所学角是如何定义的？具有公共顶点的两条具有公共顶点的两条射线组成的图形射线组成的图形 角是由平面内一条射线绕其端点从一角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形个位置旋转到另一个位置所组成的图形. .角是平面几何中的一个基本图形，角是角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的可以度量其大小的. .在平面几何中，角的在平面几何中，角的取值范围如何？取值范围如何？ 003600但在实但在实际问

3、题际问题中还会中还会遇到其遇到其他角他角( (一一) )角的概念角的概念: :oAB终边终边顶点顶点始边始边1.在跳水运动中，在跳水运动中，“转体转体720”、“转体转体1080”等动等动作名称的含义作名称的含义2.主从动轮转动角主从动轮转动角3.钟表的指针旋转钟表的指针旋转按按逆时针逆时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角. .按按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角. .如如=-150=-150.没有作任何旋转没有作任何旋转的角的角. .记作记作=0.正角：正角：负角：负角：零角：零角：( (二二) )角的大小角的大小: :度量一个角的大小，既要考虑度量一个角的大小，既要考虑

4、旋转方向旋转方向，又要又要考虑考虑旋转量，旋转量，通过上述规定，通过上述规定，角的范围就扩展到：角的范围就扩展到：任意大小任意大小.B B2 2A AB B1 1O O 对于对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？图的要点吗？ 000660,150,210画图表示一个大小一定的角画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标

5、注画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题问题1： 钟表经过钟表经过4小时，时针与分针各小时，时针与分针各转转 (填度填度). 问题：如果你的手表慢了问题：如果你的手表慢了2020分钟，或分钟，或快了快了1.251.25小时，你应该将分钟分别旋转小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？多少度才能将时间校准？ 120120，450450. . 120120，-1440-1440. .思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合点与原点重合, ,角的始边与角的始边与x x轴的非

6、负半轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？可能落在哪些位置？ xoy象限角象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为任何象限，或称这个角为轴线角轴线角.那么下列各角：那么下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？分别是第几象限的角？

7、50 xyoxyo210 xyo405xyo200 xyo( (三三) )角的位置角的位置: :问题：问题：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ 象限角只能反映角的终边所在象限象限角只能反映角的终边所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小. 问题问题2：锐角是第几象限的角？第一象限的角锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？ xyo2.非象限角（轴线角）非象限角（轴线角）当角的终边不落在象限内当角的终边不落在象限内,这样的角这样的角还是象限角吗还是象限角吗?终边落在终边落在x轴轴和和

8、y轴轴上的角上的角xyo否否1 .在直角坐标系中，作出下列各角在直角坐标系中，作出下列各角（1） 30 （2）120 （3）-60 （4） 225指出它们是第几象限角指出它们是第几象限角30 是第一象限角是第一象限角120 是第二象限角是第二象限角-60 是第四象限角是第四象限角225 是第三象限角是第三象限角思考思考1 1：3232，328328，392392是第几是第几象限的角？这些角有什么内在联系？象限的角？这些角有什么内在联系？32392xyo o3280003603232800036032392与与32角终边相同的角有多少个？角终边相同的角有多少个？这些角与这些角与32角在数量上相差

9、多少？角在数量上相差多少？ Zkk,3603200( (四四) )角的关系角的关系: :思考思考2 2：所有与所有与3232角终边相同的角，角终边相同的角，连同连同3232角在内，可构成一个集合角在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S吗？吗？ S=|S=|=k k360360，kZkZ ，即任，即任一与一与终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. .思考思考3 3：一般地，所有与角一般地，所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内所构成的集合在内所构成的集合S S可以怎可以怎样表示？样表示？ Zkk

10、,3603200(4)终边相同的角不一定相等，但相等终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们有无数多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍注意以下四点：注意以下四点：Zk (1)(2) 是是任意角任意角；0360k0360k0360k(3) 与与 之间是之间是“+”号，号，如如 -30，应看成，应看成 +(-30) 129 1294848，第二象限角，第二象限角. . 300 300，-60-60. .例题分析例例1在在0360范围内，找出与范围内，找出与95012角终边相同的角，角终边相同的角，并判定它是第几象限角并判定它

11、是第几象限角. 例例2求与求与3900终边相同的最小正角和最大负角终边相同的最小正角和最大负角.95012 = 12948 -33603900 = 300 +10360例例3.写出与写出与60角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式-360 720 的元素的元素写出来写出来.解解S= 60 + k 360,kZ.S中适合中适合-360 720 的的元素是元素是:60 -1360=- 300 ,60 +0360=60 ,60 +1360=420 . 例4: 写出终边在Y轴上的角的集合 分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集

12、合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyoxyo 所以,终边在Y轴上的角的集合为12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180,nnZ xyo巩固与提高 写出终边在X轴上的角的集合 写出终边在坐标轴上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900 xyoxyo,360zkk,36090zkk小结小结1:1:终边在轴线上的角的集合

13、终边在轴线上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000例例5用集合的形式表示象限角用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为第一象限的角表示为第二象限的角表示为第二象限的角表示为第三象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为第四象限的角表示为 |k 360 k 360 +90 ，（，（k Z） |k 360 +90 k 360 +180 ，（，（k Z） |k360+180k360+270，（kZ） |k360+270k360+360，（kZ） 或|k36090k360，（kZ） 小结小结2 2：第一、二、三、四

14、象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？合分别如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|kS=|k3603600 090900 0k k3603600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k k3603600 01801800 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k k3603600 02702700 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k k3603600 0kk3603600 0，kZkZ. 例例6:写出终边在直线写出终边在直线 上的角的集上的角

15、的集合合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式 的元素的元素 写出来写出来yx0036072000|225360 ,SkkZ 00|45360 ,kkZ 00|45180 ,kkZ 解:终边在终边在射线 y = x 上的角的集合是终边在终边在射线终边在终边在射线 y = -x 上的角的集合是上的角的集合是所以终边在所以终边在y=x上的角的集合是上的角的集合是ZkkB,36022500ZkkA,3604500 中适合的元素 452x180= - 315 451x180= - 135 45+0 x180= 45 45+1x180= 225 45+2x180= 405 45+3x180= 58500

16、360720 S=|S=|=45=45k k180180，kZkZ.(确定整数k)例5：已知已知 与与240角的终边相同，判断角的终边相同，判断是第几象限的角。是第几象限的角。2110110， 230230， 350350. .3例例6已知角已知角的终边与的终边与30角的终边关于角的终边关于x轴对称轴对称试在试在0360范围内，找出与范围内，找出与 终边相同的角终边相同的角. 角角的的概概念念角的角的大小大小角的角的位置位置角的角的关系关系正角正角 负角负角 零角零角象限角象限角轴线角轴线角终边相同角终边相同角1.与与-496终边相同的角终边相同的角是是 ;它是第它是第 象限的角象限的角;它们中最小正角是它们中最小正角是_ -496+k 360 (kZ)三三 2242.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )A.终边在终边在y轴上的角是直角轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角第四象限角一定是负角 D.若若360（Z），则），则与与终边相同终边相同D3.写出与写出与-45角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式-720360的元素的元素写出来