《初等数学研究》教学大纲

1、初等数学研究课程教学大纲课程名称初等数学研究/The Research on Elementary Mathematics课程编码10011500310课程类型专业选修课课程性质专业主干课适用范围数学与应用数学（教师教育）专业学分数3先修课程心理学基础、高等数学等课程学时数54实验/实践学时无课外学时无考核方式考试 一、教学大纲的说明（一）课程的地位、作用和任务初等数学研究为第四学期的课程，是为数学系数学与应用数学（教师教育）专业本科生开设的专业选修课，是师范院校教学计划的重要组成部分，也是整个师范教育结构体系的重要支柱，学生通过学习和训练，对中小学数学教学内容有一个较全面的高观点的认识，掌握

2、作为一名数学教师应掌握的专业知识和基本解题技能，打下扎实基础。（二）课程教学的目的和要求本课程的教学目的是使学员掌握中小学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解初等数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初等数学打下较坚实的基础。本课程分为初等代数和初等几何两部分，其基本要求是：掌握：数系扩展的理论、解析式分类及其恒等变形理论、掌握用初等方法讨论函数、方程的基本概念及其解法、不等式的基本性质及其证明不等式的常用方法、利用初等几何变换解题、轨迹命题的证明方法、作图的基本知识和常用的方法。 理解：代数延拓原理、方程的同解理论、解不等式的概念和

3、理论、合同变换、位似变换和相似变换等概念。了解：数系扩展的形式及其所遵循的原则、函数概念的发展与几种定义方式、中学几何的逻辑结构。（三）课程与其他课程的联系本课程涉及到部分高等数学知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。（四）教材与教学参考书 教材：华南师范大学王林全、林国泰教授主编，初等代数研究教程初等几何研究教程，暨南大学出版社2004年6月教学参考书：1、余元希等编著，初等代数研究，高等教育出版社，1988年2月2、王仁发编著，高观点下的中学数学，高等教育出版社3、陈计编，初等数学前沿，江苏教育出版社二、课程的教学内容、重点和难点第一部分 初等代数第

4、一章 绪 论 内容：代数学发展概述、作为教学科目的中学代数第二章 数 系内容：数的概念的扩展、自然数集基数理论、序数理论、整数环、有理数域、近似计算初步、实数域、无理数的引入、实数的概念及其大小比较、实数的运算、实数集的性质、复数、复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。重点：自然数的基数理论及整数环的构造、有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数集的性质。难点：了解数系扩展的形式及其所遵循的原则；确切理解无理数、实数概念、掌握实数大小比较的法则、实数的运算和实数集的性质；确切理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。 第三章 解析

5、式内容：解析式及其分类、多项式的基本概念、多项式的恒等、待定系数法、多项式的因式分解方法、分式的基本概念、分式恒等的充要条件、分式的基本性质、代数延拓原理、部分分式、根式的运算法则和变形、复合二次根式、共轭根式、指数式与对数式、指数概念的扩展、对数及其性质、常用对数、三角式的概念、三角式的恒等变形、反三角式的概念、三角式的反三角运算、反三角式的恒等变形。重点：确切理解多项式概念、掌握待定系数法和多项式的因式分解方法、根式的运算法则和变形难点：代数延拓原理第四章 初等函数内容：函数概念的发展、函数的三种定义方式、函数的相等、函数的几种表示方式、函数的一般定义；用初等方法讨论函数：函数的定义域与值

6、域、函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；基本初等函数。重点：了解函数概念的发展与几种定义方式、掌握用初等方法讨论函数。难点：掌握基本初等函数的性质和图象。第五章 方 程内容：方程的基本概念、方程的同解性；一元代数方程（特殊类型）的解法：方程的变换、一元三次方程的解法、倒数方程的解法、二项方程的解法、解含有参数的方程、二元一次不定方程；初等超越方程：指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程；方程组的基本概念、方程组的同解性、方程组的解法（特殊类型方程组的解法举例）。重点：确切理解方程（组）的基本概念、会解一些特殊类型的方程（组）。难点：掌握方程（组）的同解性。第六章 不等式内容：不等式及其基本

7、性质；证明不等式的常用方法：分析法、综合法、比较法、反证法、传递法、数学归纳法、利用已知不等式；几个著名不等式；解不等式（组）：同解不等式、一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、一元高次不等式、一元分式不等式、一元无理不等式、绝对值不等式、指数不等式 、对数不等式、三角不等式；不等式的应用。重点：掌握不等式的基本性质、掌握证明不等式的常用方法、熟悉几个著名的不等式。难点：确切理解解不等式的概念和理论、运用不等式求函数的最大（小）值。第七章 排列与组合*内容：加法原理与乘法原理、相异元素的不重复排列、相异元素的重复排列、相异元素的环状排列、不相异元素的全排列、相异元素的不重复组合、组合的性

8、质、组合恒等式、相异元素的重复组合、组合公式在多项式定理中的应用。重点：掌握加法原理和乘法原理、掌握排列与组合的概念及公式推导。 难点：掌握几个组合恒等式及其在多项式定理中的应用。第二部分 初等几何第一章 绪 言内容：初等几何研究的对象和目的、中学几何的逻辑结构。第二章 几何的证明内容：证度量关系：证两线段或两角相等、和差倍分与不等、证成比例线段间的关系、证定值问题；证位置关系：证线段的垂直与平行、证共点线与线共点、证共点圆与圆共重点：熟悉常用的证题方法和技巧。 第三章 几何量的计算内容：线段度量的概念、勾股定理推广、斯蒂瓦尔特定理及其应用、面积概念、面积的计算、解三角形。重点：会面积的计算和

9、解三角形。 难点：掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用。 第四章 初等几何变换内容：合同变换及其间的关系、位似变换和相似变换、初等变换的应用（解题）。重点：能利用初等几何变换解题。 难点：理解合同变换、位似变换和相似变换等概念。第五章 几何轨迹内容：轨迹的概念与证明方法、轨迹命题的类型、常用轨迹命题及其证明、轨迹的探求。重点：确切理解轨迹的概念、掌握轨迹命题的证明方法、掌握常用的几个轨迹命题。 难点：轨迹的探求。第六章 几何作图*内容：作图的基本知识：尺规作图与作图公法、作图成法；常见的作图方法；尺规作图不可能问题简介。重点：掌握作图的基本知识和常用的方法。 难点：尺规作图与作图公法、作图成法。第七章 立体几何*内容：直线与平面的各种位置关系、空间作图公法、简单作图题、三面角及其性质、三面角的相等、多面角及其性质、四面体的一些性质、凸多面体的欧拉定理、正多面体、截面图的画法、体积概念、拟柱体体积公式、体积计算。重点：掌握空间直线与平面的各种位置关系。难点：掌握三面角、四面体的性质。备注：* 部分为学生自学章节二、 学时分配教学内容各教学环节学时分配备注