《初等数论》教学大纲

1、初等数论课程教学大纲课程名称初等数论/ Elementary Number Theory课程编码10011500610课程类型专业选修课课程性质专业主干课适用范围数学与应用数学（教师教育）专业学分数3先修课程高等数学、初等数学研究等课程学时数54实验/实践学时无课外学时无考核方式考查 一、 教学大纲说明1. 课程的地位、作用和任务虽然初等数论是数学系数学与应用数学（教师教育）本科专业的选修课，但是这是该专业一门重要的基础课程。本课程对于研究中学数学教学、辅导数学竞赛等都有重要的帮助，而且该课程在计算机学科及信息安全专业中都有很重要的应用。该课程的方法很灵活，技巧性很强，素有“数学皇后的皇冠”之

2、美称。本课程的研究对象为整数，建立了唯一分解理论，介绍了同余的方法，得到了一些很优美很漂亮的结果。学好这门课对于后继课程，如近世代数、编码理论以及密码学等专业课都很有帮助。2. 课程教学目的和要求通过本课程的学习，使学生较好地掌握初等数论的基本内容和基本方法，并在一定程度上能利用初等数论中的思想、方法解决一些简单的数学问题。掌握：整数的唯一分解定理、辗转相除法、一次不定方程、同余、Euler定理、同余式的求解、中国剩余定理、二次剩余、二次互反律和原根等基本概念。理解：高次同余式的解法、原根和指标、原根的求法、素数的分布规律等。了解：Fermat大定理、无穷递降法、特征函数、合数模的指标组、素数

3、表示为两个平方和等方法。3. 课程与其它课程的联系初等数论是一门比较独立的基础课，学习这门课不需要太多的基础知识，但需要很灵活的思维。 这是一门基础课，它在近世代数、密码学、编码理论、有限域、代数数论等课程中有很重要作用。4. 教材与教学参考书教材：闵嗣鹤，严士健，初等数论，高等教育出版社，2005年8月教学参考书：1、华罗庚，数论导引，科学出版社 2、潘承洞，潘承彪，初等数论，北京大学出版社二、 课程的教学内容、重点和难点第一章 整数的可除性 本章介绍整数的整除性、最大公因子和最小公倍数的性质、辗转相除法、算术基本定理及函数x和x在数论中的应用。要求：了解整数整除、最大公因子的性质；掌握计算

4、最大公因子的扩展欧基里德算法（辗转相除法）。重点：整数的性质、唯一分解定理。难点：函数x和x在数论中的应用。第二章 不定方程 本章研究一次和二次不定方程解的情况，并介绍Fermat大定理。要求：能够解二元一次不定方程；了解多元一次不定方程解的情况；勾股数问题。重点：二元一次不定方程的解法。难点：证明Fermat大定理中n=4时的无穷递降法。第三章 同余 本章介绍同余的概念、性质和应用；Euler定理和Fermat小定理。要求： 了解同余的概念和性质；掌握Euler定理和Fermat小定理。重点：Euler函数和Euler定理。难点：三角和的概念。第四章 同余式 本章介绍同余式的概念、一次同余式

5、、高次同余式和中国剩余定理等内容。要求：掌握一次同余式的求解方法；了解中国剩余定理；理解中国剩余定理在高次同余式中的应用。重点：中国剩余定理。难点：高次同余式的求解方法。第五章 二次剩余 本章介绍二次剩余、二次互反律和Legendre符号和Jacobi符号内容。要求：掌握二次剩余的判断方法和Legendre符号的计算方法；了解二次互反律的证明；理解Jacobi符号在判断二次剩余时的应用。重点：二次互反律。难点：模素数的开平方算法。第六章 原根和指标 本章介绍指数、原根和指标组等概念和性质。要求：掌握指数的定义和性质计算方法；了解原根的求解方法；理解指标组的概念和意义。重点：原根的存在条件和求解方法。难点：指标组的概念和特征函数的概念。第七章 数论函数与素数的分布 本章介绍常用的数论函数和基本的素数分布结果。要求：掌握几类常用的积性函数；了解Mobinus反转公式；理解素数定理的内容。重点：Mobinus反转公式。难点：素数定理。三、学时分配教学内容各教学环节学时分配备注章节主要内容