全国版高考数学必刷题：第二单元函数的概念与基本性质

1、第二单元函数的概念与基本性质考点一函数的概念1.(2015 年浙江卷)存在函数f(x)满足:对于任意x R 都有().2A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|【解析】选项 A 中,x分别取 0，n可得f(0)对应的值为 0,1,这与函数的定义矛盾，所以选项 A 错误;选项 B 中,X分别取 0,n,可得f(0)对应的值为 0,n2+n,这与函数的定义矛盾，所以选项 B 错误；选项 C 中,X分别取 1,-1,可得f(2)对应的值为 2,0,这与函数的定义矛盾，所以选项 C 错误；选项 D 中，取f(x)=V?

2、r7,则对于任意x R 都有f(x2+2x)=V7?+ 2x+ 1=|x+1|所以选项 D 正确.综上可知，本题选 D.【答案】D,x 0,A -1,2 B.-1,0 C 1,2D. 0,22【解析】T当x0 时,f(x)=x+?+a 2+a,当且仅当x=1 时等号成立.要满足f(0)是f(x)的最小值，需 2+af(o)=a,即a -a-2w0,解得-1waw2.a的取值范围为0,2.故选 D.【答案】D真题回访3.(2015 年全国n卷)设函数f(x)=1?+1lOg2(2_x)，x 1,A.3B.6 C.9D.12【解析】/-21,.f(log2l2)=2log212-1=舟=6.f(-

3、2)+f(log212)=3+6=9.故选 C【答案】C4. (2016 年江苏卷)函数 yM- 2?的定义域是 _.【解析】要使函数有意义，需 3-2x-x2 0,即x2+2x-3 0,得(x-1)(x+3) 0,即-3x 1,故所求函数的定义 域是-3,1.【答案】-3,1考点二函数的奇偶性5.(2014 年全国I卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为 R 且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ).Af(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数【解析】令hx)=f(x)g(x)则h1(-x)

4、=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h1(x),.h1(x)是奇函数,A 错误.令h2(x)=|f(x)|g(x),则h2(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h2(x), h2(x)是偶函数,B 错误.令h3(x)=f(x)|g(x)|,则h3(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h3(x),.h3(x)是奇函数,C 正确.令h4(x)=|f(x)g(x)|，则h4(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h4(x),h4(x)是偶函数,D 错误.【答案】C6.(2015 年

5、广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是().1A.y=l+ ?B.y=x+弼C.y=2x17?D.y=x+ex【解析】A 选项中的函数的定义域为R 因为Vi+ (-?)2=VTT?iF,所以该函数是偶函数.B 选项中的函数1 1的定义域为x|x工 0,因为-x-扫-(?+?,所以该函数是奇函数.C 选项中的函数的定义域为R,因为-x11x2+尹=尹2，所以该函数是偶函数.D 选项中的函数的定义域为数.【答案】D7.（2017 年北京卷）已知函数f（x）=3x-（？?,则f（x）（）.A. 是奇函数，且在 R 上是增函数B. 是偶函数，且在 R 上是增函数C. 是奇函数，且在 R 上

6、是减函数D. 是偶函数，且在 R 上是减函数【解析】函数f(x)的定义域为 R，4-?4?f(-x)=3-x-(3)=(3)-3x=-f(x)，函数f（x）是奇函数.4?函数y=（3）在 R 上是减函数又/ y=3x在 R 上是增函数，1?函数f（x）=3x-（3）在 R 上是增函数.故选 A.【答案】A8.（2015 年全国I卷）若函数f（x）=xln（x+J?R）为偶函数，则【解析】Tf(x)为偶函数,.f(-x)-f(x)=0 恒成立,-Xln (-x+V? ?)-xln (x+V?)=0 恒成立,.xln a=0 恒成立，Ina=0,即a=1.【答案】1R 因为-x+e-x=e?x，所

7、以该函数是非奇非偶函4?二函数y=-(j在R上是增函数a=_考点三函数的单调性及其综合应用9.(2017 年全国I卷)函数f(x)在(-)上单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-Kf(x-2) 1 的x的取 值范围是().A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【解析】Tf(X)为奇函数,.f(-X)=-f(X).f1)=-1,.f(-1)=-f(1)=1.由-K f(x-2) 1,得f(1)f(x-2)上单调递减，-1 x-2 1,1 xf(-v2),则a的取值范围是 _.【解析】vf(x)是偶函数，且在(-g,0)上单调递增，f(x)在(0,+g)上单调递减,f(-V2)=f

8、(v2),1f(2i)f(v2),.2i 辺=22,11113|a -11,即-2a-12,即2a?01 的x的取值范围是 _.1 1【解析】由题意知，可对不等式分x 0,0 x2三段讨论.1 1当x1,解得x-4，1- YX= 04当 01，显然成立.当x1时，原不等式为 2x+2?；1,显然成立.1综上可知，x-4*1【答案】(-4,+8)高频考点：求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件，列岀不等式求解，此类问题难度不大.2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式，再代入运算，此类问题难度不大.3.

9、函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式，再利用单调性分析或求解. 2.1 函数的概念及其表示汩曲津 J 必备知识 L- -k函数的概念给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f，使对于集合A中的_ 一个数X，在集合B中都存在_确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的_，记作_.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的 _，集合f(x)|xA叫作函数的 _.函数的表示法函数的表示法：_三分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子表示，则这种形式的函数叫作_.?左学

10、右考判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X?2(1)f(x)=?与g(x)=x是同一个函数(2)f(x)=|x|与g(x)=(3)函数f(x)= ?+ 3+1 的值域是y|y 1.()若函数f(x)的定义域为x|Kx3,则函数f(2x-1)的定义域为X|1Wx 0,所以x +3 3,所以函数f(x)=v2?+ 3+1 的值域是y|yv+1.错误，因为f(x)的定义域为x|1 x3,所以 K 2x-13，解得 Kx2,故函数f(2x-1)的定义 域为x|1 x 0,x (-2,0)U1,2),故选 C.(2)由已知函数f(x)的定义域为1,20，可知 1 x+1 20,解得

11、0Wx 19,故函数f(x+1)的定0V?V19义域为0,19.使函数g(x)有意义的条件是?；为宀，解得 0Vx1 或 11),则x=茹,f(t)=lg 舟,即f(x)=lg 右(x1).2 2 _(2)设f(x)=ax +bx+c(a 0)则f(x)=2ax+b=2x+2,二a=1 ,b=2,.f (x)=x +2x+c.又/ 方程2f(x)=0 有两个相等的实根，.A = 4-4c=0,得c=1.故f(x)=x+2x+1.22【答案】(l)lg 两(X1)(2)f(x)=x +2x+l求函数解析式常用的方法有待定系数法、换元法、配凑法、转化法、构造方程组法【变式训练 2 (1)已知f(V

12、?+1)=x+2v?测f(x)=_ .1(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+X)，且f(x)=2f(? J?1 则f(x)=_.【解析(1)设 v?+1=t(t1),则后t-1,所以f(t)=(t-1)+2(t-1)=t -1(t 1),2所以f(x)=x-1(x 1).(2)在f(x)=2f(? V?1 中,用1代替x,得f(*?=2f(x)為?h将f(?=2?)1 代入f(x)=2f(? v?1 中,可求得f(x)=3/灵.【答案(1)x2-1(x1)(2)3耳题型三分段函数问题. 2【例 3 (1)函数f(x)=s：(nTx0A 1或-竺B-竺2 2【答案】(1)B (2)2(1-2

13、?)?+ 3? ? 1(2)已知f(x)=(n?；?J；? 的值域为 R 则a的取值范围是 _1 1【解析】(1) Tf(1)=e=1 且f(1)+f(a)=2,Af(a)=1.2222/2当-1a0 时,f(a)=sin (na)=1,v0a1，二 0na 0 时,f(a)=e1=1?a=1.综上可得a二身或a=1,故选 A1(2)要使函数f(x)的值域为 R 应满足篇2?鳥?，3?即?：2,二-仁a1,故a的取值范围是卜1,2).1【答案】(1)A卜1,2)解决分段函数问题先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式，根据要求求解但要注意检验所求值(或范围)是否符合相应段的自变量的取

14、值范围【变式训练 3】(1)已知函数 心尸黑仔；)；?0。则f(f)的值为()A1/31V3A-2B.-TC2(2)设函数f(x)=；?1若f(?()=4,则b=_【解析】(1)由函数的解析式可得f(|)=f(|-1)=f(-1)=sinTt-1)=-扌故选 B.(2)f(6)=3x6-b=|-b，若2-b2,则 3x(|-b)-b2-4b=4,解得b=8,不满足条件，舍去若2-b 1,即b 0【突破训练 1】已知函数f(x)=?+若f(a)+f(l)=O,则实数a的值为().A- 3B.-1 C 1D.3【解析】当a0 时，由f(a)+f(1 )=0 得 2a+2=0，故不存在实数a满足条件

15、；当a 0,? 0,即? 0,In?工 0,?工 1,所以 0 xw2 且x丰1,所以函数f(x)的定义域为(0,1)U(1,2,故选 D.【答案】D4.(2017 安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=x+2,则f(x)=().Ax+1B.2x-1C-x+1D.x+1 或-x-1【答案】X-V-?【解析】设f(x)=kx+b(kM0),则由f(f(x)=x+2,可得k(kx+b)+b=x+2,即2 2k x+kb+b=x+2,Ak=1,kb+b=2，解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选 A【答案】A5.(2016 河南八市高三质检)已知函数 伦农:為益是奇函数，则g(

16、f(-2)的值为().A0 B.2 C.-2 D-4【解析】因为函数f(x)= ?(? ?曙是 奇函数，所以f(-2)=-f(2)=-(4-2)=-2,所以g(f(-2)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-2,故选 C【答案】C6.(2017 江西金溪高三上期中)设函数4,则f(3)+f(4)=.?(?,x -1且XM2,1 1故函数y=lg (3x+1)+2?的定义域是? -3且 x 工 2.1【答案】?!?-亍且 x 工 28._(2017山东青岛一中检测)奇函数f(x)在(0,+)上的表达式为f(x)=x+“测在(-巴 0)上f(x) 的表达式为f(x)=.【答案】X-V-?【解析】

17、设X0,Af (-x)=-x+佰？又 Tf(X)为奇函数,Af (x)=-f(-x)=x-佰?即当x (- g,0)时,f(x)=x-口？x-1(x0),9.(2017 山东省烟台市高三上期中)设函数f(x)=若f(a)a,则实数a的取值范围?(x 0 时,f(a)=1a-1a,解得a-2,无解;当aa,解得a1(舍去).综上可得,a-1.【答案】(-g,-1)10.(2017 四川遂宁零诊)设函数f(x)=?r,则f(2?+f(即的定义域为().A ,4B.2,4C (1,+g)D.1,2故所求函数的定义域为2,4.【答案】B11.(2017 湖北武汉四月调考)已知函数f(x)满足f(?+1

18、j(-x)=2x(x 0),则f(-2)=().【解析】已知函数f(x)满足f(?+1?(-x)=2x(x丰0),令x=2 可得f(2)+f(-2)=4;令x=-1可得f(-2)-2f(2)=-1.联立可得f(-2)=|.?【解析】 函数f(x)=V?f的定义域为1，+g),则4A1,解得 2x4,1,9 9- - 2 2D D7 7 - - 2 2C C9 9一2 2B B7 7 - - 2 2A A【答案】C12.(2017 山东烟台高三上期中)已知函数f(x)=lg(1-x)的值域为(-,0),则函数f(x)的定义域 为().A 0,+* )B (0,1)C-9,+*)D-9,1)【解析

19、】函数f(x)=|g (1-x)的值域为(-*,0),ig (i-x)0, 0V1-XV1,解得 0 x1,则函数f(x)的定义域为(0,1).【答案】Bn?113.(2017 河北衡水武邑中学高三上二调)已知函数f(x)=sin空,x 1,( ).【解析】? “sin片，x 1,当a 1 时,f(a)=-log2a=-3,解得a=8.f6-a)=f(-2)=sin(吟)=-亨.【答案】D14. (2017 铁岭市协作体第一次联考)设函数f(x)n叮)喏f(m)f(-m),则实数m的取值范-in?,? u,围是_.ln(-?) ?f(-m),即为-InmnmWlnm0，解AB-jc.字V3D-

20、T得 0m;当mf(-m),即为 In (-m)-ln (-m),则 In (-m)0,解得m-l.综上可得,m-1 或 0m.【答案】(-g,-1)U(0,1)2.2 函数的单调性与最值7 一二函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量X1,X2,当X1X2时都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；当xiX2时都有_，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是_ 或_，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_ 叫作y=f(x)的单调区间.函数的最值设函数y=f(x)的定义

21、域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有；(2)存在xoI，使得_.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小 )值.?左学右考1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V” ，错误的画“x”.(1) 若定义在 R 上的函数f(x),有f(-1)f(X2)二、增函数 减函数区间D三、(1)f(x)M(2)f(xo)=M基础训练1.【解析】(1)错误，不符合函数单调性的定义.(2)错误，函数y=f(x)在1,+g)上是增函数，只能说明1,+属于单调递增区间(3)错误,有多个单调区间的情况，只能用“，”隔开或写成“和”，不能写成并集、“或”的形式.错误,如函数y=x就没有最值【答案】

22、(1)XX(3)X(4)X2.解析】函数2 2 2 2f(X)=?1在区间2,6上单调递减，所以fgmaxnfrnZf(x)min=f(6)=：厂亏2【答案】25訂关键能力题型一函数单调性的证明【例 1】已知函数f(x)=V? 1-ax,其中a0.证明：当a 1 时,f(x)在区间0,+上为减函数【解析】任取X1,X2 0,+x)，且X1VX2,则f(xi)-f(X2)=?+ 1-axi-V?+ i+ax2=V?+ 1-V?+ 1-a(x-X2)TOX1V? + 1 ,0X2V?+ 1,Ov+? 1,.f(x1)-f(x2)0,.“匕)在区间0,+x)上为减函数利用定义证明函数f(x)在给定区

23、间D上的单调性的一般步骤：任取X1,X2D且X1VX2；作差;变形(通=(X1-X2)(?+?V?+1+ V?+1V?+1+ V?+1-a(x1-x2)常是因式分解、 通分、 配方);判断符号(判断f(xJ-f(X2)的符号);下结论(指出函数f(x)在给定区间D上的 单调性).【变式训练 1】已知定义在区间(0,+少上的函数f(x)满足f(気)=f(xi)-f(X2),且当x1 时,f(x)0,则f(1)=f(xi)-f(xi)=0,故f(1)=0.任取X1,X2(0,+B)，且X1X2，则?1.当x1 时,f(x)0,Af(?)0,即f(x1)-f(X2) 0,解得x 3,故该函数的单调递

24、增区间为【3,+).【解析】(1)因为y=lo g1t(t0)在定义域上是减函数2，所以要求原函数的单调递增区间，即求函数t=x2-4【答案】【3,+题型三单调性的应用【例 3】(1)已知函数f(x)的图象关于直线x=1 对称，当X2xi时,【f(X2)-f(xi)】(x2-xi)v0恒成立，设1a=f(-2),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为().A.cabB.cbaC.acbD.bac(2)设定义在(0,+上的增函数f(x)对任意的x (0,+都有f(f(x)-log3X)=4,则不等式f(a2+2a)4的解 集为().A.a|a1B. a|a1C a|-3a1Da|a

25、X11,f(X2)-f(X1)(x2-X1)V0 恒成立,55知f(x)在(1，+X)上单调递减.因为 122f(2f(e),所以bac.(2)设f(b)=4,则对任意的x (0,+X),有f(x)-log3X=b恒成立再将x=b,f(b)=4 代入前式，得 log3b+b=4,可求 得b=3,则f(x)=3+log3X,f(3)=4.又f(x)是定义在(0,+)上的增函数所以f(a2+2a)4 的解集为不等式a2+2a3 的解集，即为a|a1,故选 A.【答案】(1)D(2)A(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.已知函数 单调性求参数范围的问题

26、是讨论单调性的可逆过程，解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式，同 时要注意定义域.【变式训练 3】已知函数f(x)是定义在区间0,+*)上的函数，且在该区间上单调递增，则关于x的不等式f(2x-1)vf(3)的解集是32?1 20，1 2【解析】由题意知2?11解得2三xx1x20,1 1则f(xd-f(X2)=2(x-x2)-(?-?)-1-2?，/? ?当v-2X20,.X1-X20,X1X20.f(X1)f(X2), f(x)在(0,1上单调递增，无最小值，当x=1 时,f(X)取得最大值 1 ,当xT0,且x0 时,f(0)T- f(x)的值域为(- OO,1.若a0,则y=f

27、(x)在(0,1上单调递增，无最小值，当x=1 时,f(x)取得最大值 2-a.若ao,则f(x)=2x+?当 1,即a (-O,-2时,y=f(x)在(0,1上单调递减，无最大值，当X=1 时,f(x)取得最小值 2-a;调性求值域；三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本的方法，此外还有基本不等式法、数形结合法等【变式训练 4】函数f(x)=?x1,的最大值为-? + 2,x 1 时，函数彳以)=?为减函数，所以f(x)在x=1 处取得最大值,最大值为f(1)=1 ;当xf(X2)的形式，然后根据其单调性脱掉“f”，转化为关于X1与X2的不等式问题求解.【突破训练 1】 已知定义在 R 上

28、的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1;当x0 时,f(x)-1.(1) 求f(0)的值,并证明f(x)在 R 上是增函数;(2) 若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)4.【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=-1.在 R 上任取X1X2,则X1-X20,即f(X1-X2)-1.又f(X1)=f(X1-X2)+X2)=f(X1-X2)+ f(X2)+1f(X2),所以f(x)在 R 上是增函数.(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)4,得f(x2+x+1)f(3).2又函数f(x)在 R 上是增函数，故

29、x +x+13,解得x1,故原不等式的解集为x|x1.方法二 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用使用函数的单调性求参数范围时，常常需要讨论，把要研究的问题根据题目的特点和要求，转化成若干个 小问题来解决，即先按不同情况分类，然后逐一解决.【突破训练 2】若函数f(x)=ax2 3+2x-3 在区间(-,4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是 _.【解析】当a=0 时,f(x)=2x-3,它在定义域 R 上是单调递增的，故f(x)在(-0，4)上单调递增；1当az0 时，二次函数f(x)图象的对称轴为直线x二?因为f(x)在(-0,4)上单调递增，所以a0,且-身4，解解得-存a)上均为减函

30、数，但在定义域内不单调；B 选项中的函数是非奇 非偶函数；C 选项中的函数是偶函数；D 选项满足题意.【答案】D2. (2017 长春质检)已知函数f(x)=|x+a|在(-8,-1)上是单调函数，则a的取值范围是().A. (-8,1 B.(-8,-1C -1 ,+8) D.1 ,+8)【解析】因为函数f(x)在(-8,-1)上是单调函数 所以-a-1,解得ab时,ab=a2；当ab时,ab=b.函数1f(x)=(1 x)x-(2x)在区间-2,2上的最大值为().A- 1 B. 1 C.6 D 123【解析】由已知得，当-2x 1 时,f(x)=x-2 ;当 1x 2 时,f(x)=x -

31、2.vf(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定义域内都为增函数,.3在区间-2,2上,f(x)的最大值为f(2)=2-2=6.【答案】C4.(2017 衡水调研)已知函数f(X)珥?+ 2x,x0,若f(-a)+f(a) 2f(1),则a的取值范围是().?-2x,x 0.A. -1,0) B.0,1 C -1,1D.-2,2【解析】由题意知函数f(x)是偶函数，所以f(-a)=f(a),故原不等式等价于f(a)f(1),即f(|a|)f(1),而函 数f(x)在0,+8)上单调递增，故 1,解得-Ka 1,?4-20,解得? (4 -?) + 2,【答案】B1,? 0,6.(2017 郑州

32、模拟)设函数f(x)=0,?= 0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是?,x 1,(4 -5.(2017 湖南师大附中高三月考)已知f(x)=A.(1,+8) B.4,8)C (4,8) D.(1,8)【解析】由已知可得4a8.-1,? 1,由题意知函数g(x)=0,?= 1,其图象是如图所示的实线部分，由图象可得g(x)的单调递减区间是0,1).-?,x 1,【答案】0,1)7.(山东临沭一中 2018 届月考)对于任意实数a,b,定义 mina,b=?,?设函数f(x)=-x+3,g(x)=og2X,则函数 J.h(x)=minf(x),g(x)的最大值是log2x

33、,0 x 2.当 02 时,h(x)=3-x是减函数,/.h(x)在x=2 时取得最大值，最大值是h(2)=1.【答案】1.?8._ (2017 石家庄调研)函数f(x)=(-log2(x+2)在-1,1上的最大值为 _1?【解析】因为y=(3)在 R 上单调递减，y=log 心+2)在-1,1上单调递增，所以f(x)在-1,1上单调递减，故f(x)在-1,1 上的最大值为f(-1)=3.【答案】39._(河北馆陶一中 2018 届月考)函数y=f(x)的图象关于直线x=1 对称，且在1,+)上单调递减，f(0)=0,则f(x+1)0 的解集为.【解析】由f(x)的图象关于直线x=1 对称,f

34、(0)=0,可得f(2)=f(0)=0.当x+1 1,即x0 时,f(x+1)0,即为f(x+1 )f(2),由f(x)在1，+2)上单调递减，可得x+12,解得x1,即有 0 x1.当x+11，即x0,即为f(x+1)f(0),【解析】【解析】 依题意，h(x)=由f(x)在(-2,1)上单调递增，可得x+10,解得x-1,即有-lvx0.由可得所求不等式的解集为x|-1VXV1.【答案】x|-1X-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1w1.10.(遵义四中 2018 届月考)已知函数倉 2,详(2)?i,x2 满足对任意实数xi,X2且 为 工X2, 都有?(簣了)）?-?2

35、-1,即b-4b+20,解得 2-v2b0,a 1)在-1,2上的最大值为 4,最小值为m且函数g(x)=(1-4n)V?在0,+上是增函数，则a=().【解析】当a1 时,f(x)=ax是增函数，有a2=4,a-1=mW得a=2,m=,此时g(x)=-J?在0,+叼上是减函数不合题意.当 0a1 时,f(x)=a 4,取值范围是_.【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增，需满足a+1 4,即a4.$/gy J尸4)【答案】(-31U4,+15.(甘肃天水一中 2018 届月考)已知函数f(x)=x+|sin专?-1,1,其中x表示不超过x的最大整

36、数 例如-3.5=-4,2.1=2.(1)试判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由求函数f(x)的值域.【解析】(1)f (-1)=-1+1=0,f(1)=1+1=2,f(-1)半f且f(-1)半-f(1),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.n?-1-sin ,-1 $ 0,(2)f(x)=x+|sinTl= sin 宁?0$ 1,2,?= 1,当x匕-1,0)时,f(O)vf(x)$f(-1),即-1f(x)$ 0;当x 0,1)时,f(0) $f(x)f(1),即 0$f(x)1;当x=1 时,f(x)=2.综上可得，函数f(x)的值域为(-1,1)u2. 2.3 函数的奇偶性与周期性

37、於曲緒圏曲倍够曲强書列沁曲曲注函数的奇偶性1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有_，那么函数f(x)就叫作偶函数.偶函数的图象关于y轴对称.2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有_ 那么函数f(x)就叫作奇函数.奇函数的图象关于原点对称.函数的周期性1.周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T使得当x取定义域内的任何值时都有_,那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.2._ 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.?左学右考1判断下列结论是否正确，正确的在括号内

38、画“V”，错误的画“X”.(1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.()(3) 若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)对称.()(4) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()2设f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当x -1,1)时，f(x)=；4?+2；-1系xv0,则f(i.5)=.! ?，? 1，3如果f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是_.1所以a+b=3.1【答案】33函数f(x)的定义域为x|x R

39、 且x工 0,关于原点对称.2 2当x0, z.f(-x)=-(-x)+2(-x)-3=-(x +2x+3)=-f(x)；题型一函数奇偶性的判断【例 1】判断下列函数的奇偶性 f (x)=xlg(X+V?+ 1 工彳(x)=(1-x冷而;f(x)=?+ 2x+ 3,x 0;1?+3卜3【解析】 ？升 1|x| 0,二函数f(x)的定义域为 R,关于原点对称又 Tf (-x)=-xlg (-x+V? 1 )=xlg (V?+ 1+x)=f(x), -f (x)是偶函数.当且仅当帶0时函数有意义，-K x1.T定义域不关于原点对称 函数f(x)是非奇非偶函数V4-?2，又-f (-X)=-f(x)

40、, 函数f(x)是奇函数.判断函数的奇偶性，先判断定义域，然后根据奇偶性的定义判断.分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内X取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据X的范围取相应的 解析式化简，判断f(x)与f(-X)的关系，得出结论.【变式训练 1】判断函数f(X)V3?+V?3 的奇偶性.【解析】由煖 3?J 得X2=3, 心価，即函数f(X)的定义域为-皿回从而f(x)=3- ?+V?3=0.因此f(-x)=-f(X)且f(-X)=f(X)，函数f(X)既是奇函数又是偶函数题型二函数周期性的应用【例 2】已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且g(x)=f(

41、x-1)，则f(2017)+f(2019) 的值为().A.-1 B 1 C.0 D 无法计算【解析】由题意得g(-x)=f(-x-1 )，f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数， g-x)=-g(x)，f(-x)=f(x)，f(x-1)=-f(x+1)， f(x)=-f(x+2)，/.f(x)=f(x+4)，f(x)的周期为 4.f(2017)=f(1)，f(2019)=f(3)=f(-1).又f(1)=f(-1)=g(0)=0，/.f(2017)+f(2019)=0.【答案】C(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T工 0).(2)根据函数的周期

42、性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质.【变式训练 2】已知f(x)是定义在 R 上且最小正周期为 2 的周期函数，当 0 x2 时,f(x)=X-x,则函数y=f(x) 在0,6上的图象与x轴的交点个数为().A.6 B 7 C.8 D)9【解析】函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点，先在0,2)上讨论，令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1 (x=-1舍去).又函数f(x)在 R上是以2为周期的周期函数，所以当x=2,x=4,x=6或x=3,x=5时也 有f(x)=0,即在0,6上f(x)的图象与x轴的交点个数为 7.【答案】B题型三函数

43、性质的综合应用【例 3】已知定义在 R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在0,2上是增函数 则().Af(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以 8 为周期的周期函数，则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在0,2上是增函数,

44、f(x)在 R 上是奇函数 所以f(x)在-2,2上是增函数,所以f(-1)vf(0)vf(1),即f(-25)f(80)f(-m2+2m-2),则m的取值范围是_.【解析】因为函数f(x)在定义域2-a,3上是偶函数，所以 2-a+3=0，所以a=5.所以f(-m2-1)f(-m2+2m-2),即f(m+1)f(m-2m+2).又函数f(x)在0,3上单调递减,而2 2 2m+10,m-2m-2=(m-1)+10,1【答案】1 -V2,2)方法一整体代换思想在函数解题中的应用整体代换思想是指将问题或者问题的一部分看成一个整体，或者将一些相关量看作整体，从整体入手，简化解题过程.21?1-1-

45、?刁+2【突破训练 1】已知函数f(x)的最大值为M最小值为m则M+n等于().A 0 B 2C 4D 82|?|+1+?3+?【解析】f(x)=2|?+1=2+2，?设g(x)=n,/g(-x)=-g(x), g(x)为奇函数，gx)max+ g(x)min=0./M=1(X)max=2+g(X)max,m=XX)min=2+ g(X,M + m=+g(X)max+2+g(X)min=4.【答案】C方法二 化归转化思想在函数性质中的应用【突破训练 2】设f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，? 1,-1 ?f(nT-2m-2)得 ?2-2m? + 1二 3,解得 1-透m|.f(f)

46、Bf(V2)f(-谒3Cf(4)f(3)D.f(-v2)f(V3)【解析】已知f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x).f(x)在(-x,-1上是增函数.对于 A,f(f)=f(-曽)，丁-身-1,Af(-1)与f(身)的大小关系不确定对于 B,f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x),f(v2)=f(-v2);对于 C,f(4)=f(-4),f(3)=f(-3),T-4-3, .f(4)f(3);对于 D,f(V3)=f(-V3),T-v5f(v3).【答案】D?4. (山东潍坊四中 2018 届月考)设常数a0,函数f(x)=?a为奇函数 厕a的值为().2 -aA 1 B-1C.4 D 32?+a【解析】T函数f(x)=2?+a为奇函数，2 -a.f (-x)+f(x)=0,2-?+a 2?+a_o即戶跖+苗=0化简得(1+a 2x)(2x-a)+(l-a 2x)(2x+a)=0,x2故 2 2 (1-a)=0,解得a=1 或a=-1.-a0,.- a=1.经检验