2011年高考一轮课时训练（理）10.5曲线与方程及轨迹问题 （通用版）

1、第五节曲线与方程及轨迹问题一、选择题1(2008年北京卷)若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析：把P到直线x1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义答案：D2一条线段AB的长为2，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一分支C圆 D椭圆答案：C3已知|3，A、B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21答案：A4已知两定点F1(1,0)、F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的

2、轨迹是() A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段答案：D 5.设过点P的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2，且·1，则P点的轨迹方程是()A3x2y21B3x2y21C.x23y21D.x23y21解析：由2及A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(x,0)，B(0,3y)，(x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(x，y)，(x，y)，则··(x，y)x23y21(x>0，y>0)答案：D二、填空题6已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨

3、迹方程为：_.解析：设动点P的坐标为P(x，y)，由|PA|2|PB|2平方整理得：x2y24x0，故点P的轨迹方程是x2y24x0.答案：x2y24x07一动圆与两圆M：x2y21和N：x2y28x120都外切，则动圆圆心的轨迹为_答案：双曲线4(x2)2y21的左支8过抛物线x24y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是_答案：x22y2三、解答题9.(2009年福建卷)已知直线x2y20经过椭圆C：1(ab0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线l：x分别交于M、N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求线

4、段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由解析：(1)由已知得，椭圆C的左顶点为A(2,0)，上顶点为D(0,1)，a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)直线AS的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS的方程为yk(x2)，从而M，由得(14k2)x216k2x16k240.设S(x1，y1)，则(2)·x1得x1，从而y1，即S，又B(2,0)，由得，N，故|MN|，又k0，|MN|2.当且仅当，即k时等号成立k时，线段MN的长度取最小值.(3)由(2)可知，当MN取最小值时，

5、k，此时BS的方程为xy20，S，|BS|，要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上设直线l：xyt0，则由，解得t或t.当t时，由得5x212x50，由于440，故l与椭圆C有两个不同的支点；当t时，由得5x220x210，由于200，故直线l与椭圆没有交点综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使TSB的面积为.10(2009年安徽卷)点P(x0，y0)在椭圆1(ab0)上，x0acos ，y0bsin ，0.直线l2与直线l1：xy1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线l2的倾斜角为

6、.(1)证明：点P是椭圆1与直线l1的唯一交点；(2)证明：tan ，tan ，tan 构成等比数列证明：(1)法一：由xy1得y(a2x0x)，代入椭圆1，得x2x0.将，代入上式，得x22acos ·xa2cos 2 0，从而xacos .因此，方程组有唯一解，即直线l1与椭圆有唯一交点P.法二：显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos 1，bsin 1)，012是椭圆与l1的交点，代入l1的方程xy1，得cos cos 1sin sin 11，即cos(1)1，1，故P与Q重合法三：在第一象限内，由1可得y，y0，椭圆在点P处的切线斜率ky(x0)，切线方程为y(xx0)y0，即1.因此，l1就是椭圆在点P处的切线根