二次函数与实际问题

1、二次函数的实际问题与应用二次函数在实际中的应用十分广泛，在应用二次函数解决实际问题时我们应注意：一、读懂题意：面对由实际问题所呈现的材料，要读懂其中所叙述的实际问题的意义，判断该实际问题，要解决什么问题，涉及哪些知识的相关领域。二、理解转换：理解各种量之间的数量关系或位置关系，抓住关键，舍去非本质因素。挖掘隐含条件，将实际问题转换成相应的数学问题。三、函数建模：确定建立函数模型的类型，通过数学符号化，即用已知量的代入，未知量的设定，建立与实际问题相应的函数模型。四、实施解模：用已有的数学知识和解题经验对所建立的函数模型求解根据实际问题的约束条件寻求解题思路，设计合理的运算途径，或辅以图形分析得

2、出相应的数学结果。五、数学结果：对所求出的数学结果进行解释与检验，或取之或修定或舍去，使其符合实际问题的要求，加深对实际问题的理解。总之，数学建模思想无论是在实际问题还是理论问题上都具有重要的意义和作用。理解实际问题中的问题背景，弄清问题中相关量的关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题。一、 应用二次函数解决实际问题中销售利润问题利润问题在我们的生活中又无处不在，它们都与二次函数密不可分，今天就让我们一起来探索与二次函数有关的实际应用问题。例1：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元

3、，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在坐标系中画出草图；观察图像，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？解：（1）若销售单价为x元，则每千克降低元，日均多售出千克，日均销售量为千克，每千克获利为元。依题意，得（2），顶点坐

4、标为（65，1950）。二次函数的草图见图所示经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。（3）当日均获利最多时，单价为65元，日均销售千克，那么获总利为（元）当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60千克，将这种化工原料全部售完需（天），那么获总利为（元）因为，且（元）所以，销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元例2：为配合科技下乡工作全面开展，市场调研部对“大棚西瓜”去年的市场行情和生产情况进行了调查，提供了如下两个信息图，如甲、乙两图。图见课件注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物

5、线段。请你根据图像提供的信息说明。（1）在6月份出售这种西瓜，每千克的收益是多少元？（2）如果你是调研员，为了每千克有最大收益，你会指导瓜农最好在哪个月出售这种西瓜？说明理由。  例3某市轻工业局连续6年对该市自行车的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如甲、乙两图. 注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应年份的每个厂家的平均生产量和自行车厂家个数。请你根据提供的信息说明：（1）第3年该市自行车的生产总量；（2） 经调查，生产规模最大的年份，每辆自行车可获得利润50元。请你求出该年的总利润（其它支出不计）。例4：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共700

6、0千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成 的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？例5某体育用品商场为推销某一品牌运动服，现做了市场调查，得到数据如下表：卖出价格x（元/件）50515253销售量p

7、（件）500490480470（1）以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把上表中的数据，在平面直角坐标系中描出相应的点，观察连接各点所得的图形，判断p与x的函数关系，并求出p与x的函数关系式；（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当卖出价格是多少元时，能获得最大利润？例6某旅行社为支持社会福利事业，决定将4月份定为“爱心奉献月”，决定采取降低收费标准，多出租客房，并把当月多租出客房的营业额作为捐助款捐给老年福利院。据调查：4月份（按30天计算）的现正常收费标准是每床每晚收费40元，平均每晚可租出60个床位；每床每

8、晚最低收费25元才不至于亏损；若收费标准每降低4元，每晚就可多租出2张床位（其它因素不计）。若设每床每晚收费为x（元），一个晚上多租出客房的营业额为y（元）。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）一个晚上多租出客房的营业额能达到200元吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由。（3）根据（1）中求得的函数关系式，及其图像的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，捐给老年福利院的捐助款最多？捐助款最多是多少？例7：某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的

9、一次函数关系。x（元/件）3540455055y（件）550500450400350（1）试求y与x之间的函数表达式；（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为s（元），试求s与x之间的函数表达式；（3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大利润是多少？此时每天的销售量是多少？二、应用二次函数解决实际问题中图形及建筑问题例8：有一条长为7.2米的木料，做成如图所示的窗框，问窗框的高和宽各取多少米时这个窗的面积最大（不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积）解：设窗框的宽是x米，则窗框的高是米，则窗的面积当时，S有最大值。 当窗口宽是1.2米，高是1.8米时，窗的面积

10、最大。例9：有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米。（1）求出如图所示的直角坐标系中的抛物线解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行。解：（1） 抛物线的顶点为O（0，0） 可设抛物线的解析式为 点在抛物上   ，解得因此，所求的抛物线解析式是（2）设水深为h米时，桥下水面宽度为18米，则点在抛物线上 ，解得因此，水深超过米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行。例10：有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的

11、图形放在坐标系中（如图所示）。若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这铁柱应取多长？分析：首先须确定二次函数解析式，根据条件容易得知：顶点坐标为（20，16），过O（0，0），和B（40，0）两点，求铁柱的长，实质上是求当x=15或x=25时函数的值。解：根据题意，设抛物线为因为（0，0）在抛物线上，所以因此抛物线方程为在距离M点5m处有两点，它们的横坐标是或则有，所以铁柱的长为15m例11： 如图（a）所示，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米。要在铁皮下截下一矩形ABCD，使矩形顶点B，C落在边MN上，A，D落在抛物线上，问这样截下的矩

12、形铁皮的周长能否等于8分米？（提示：以MN所在的直线为x轴建立适当的直角坐标系）解法1：如图（b）所示，以边MN所在直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系设抛物线顶点为P，则点M，N，P的坐标依次为M（0，0），N（4，0），P（2，4）由M，N，P三点坐标可得抛物线的解析式为设A点坐标为，则， 函数的自变量的取值范围是，且若，即，则 或 且    的值不可能取8故截下的矩形周长不可能等于8分米解法2：如图（c），以边MN所在的直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则点M，N，P的坐标依次为由M，N，P三点坐标可得抛物线的解析式为设A点坐

13、标为则， 函数的自变量的取值范围是，且若，即    当时，则或当时，则或 ，且    的值不可能取8故截下的矩形周长不可能等于8分米例12：在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园 abcd，花园的一边靠墙，中间用栅栏隔开分别种两种不同的花卉，栅栏总长为60m（如图所示）。若设花园的 bc 边长为 x (m)，花园的面积为  y (m  )。（1）求y 与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到300m 吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？在教师的引导下，学生自主研究、解答题目