分式方程 (4)

1、2009年中考数学一轮复习知识讲解+例题解析+强化训练：分式方程知识讲解 1分式方程的概念 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程 2解分式方程的基本思想方法 分式方程 整式方程 3解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤为： 设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数； 列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系； 列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； 解方程并检验； 写出答案 注意：由

2、于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去例题解析 例1 （2005，上海市）解方程：+= 【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是去分母法，并且在解此方程时必须验根 【解答】去分母，得x（x2）+（x+2）=8 x22x+x2+4x+4=8 整理，得x2+x2=0 解得x1=2，x2=1 经检验，x1=1为原方程的根，x2=2是增根 原方程的根是x=1 【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化

3、成整式方程注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法 例2 （2006，辽宁旅顺口区）已知关于x的方程2x2kx+1=0的一个解与方程=4的解相同 （1）求k的值； （2）求方程2x2kx+1=0的另一个解 【分析】解分式方程必验根 【解答】（1）=4， 2x+1=44x， x= 经检验x=是原方程的解把x=代入方程2x2kx+1=0，解得k=3 （2）解2x23x+1=0，得x1=，x2=1 方程2x2kx+1=0的另一个解为x=1 【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的 例

4、3 （2004，武汉市）某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲，乙两个工程队竞标，竞标资料上显示：若由两队合做，6天可以完成，共需工程费用10200元；若单独完成此项工程，甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？为什么？ 【分析】解答本题的关键是先求出每个工程队单独完成此项工程用的天数和每天的费用，并弄清下列关系：甲队6天完成的工程+乙队6天完成的工程=1；甲队6天的费用+乙队6天的费用=10200元；乙队单独完成的天数=甲队单独完成的天数+5天；乙队每天的工程费用=甲队

5、每天的工程费用300元 【解答】设甲工程队单独完成需x天，每天需费用m元，则乙工程队单独完成需（x+5）天，每天需费用（m300）元 根据题意，得+=1，整理得x27x30=0 解得x1=10，x2=3，经检验：x1=10，x2=3都是原方程的解，但x2=3不合题意，x=10 又 6（m+n300）=10200，解得m=1000， 甲工程队单独完成需费用10×1000=10000（元）， 乙工程队单独完成需费用15×700=10500（元） 答：若由一个队单独完成，从节约资金的角度考虑，应由甲工程队单独完成 【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的

6、解，再检验是否符合题意强化训练一、填空题1方程=的解为_2方程=的解为_3方程+=1的解为_4方程的解为_5某同学解分式方程=0，得出原方程的解为x=1或x=1，你认为他的解答对吗？请你作出判断，并说明理由_6如果方程=2有增根x=1，则k=_7用换元法解分式方程=2时，如果设=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是_82004年4月18日零时起，全国铁路第五次大提速，其中进出疆列车提速幅度最大的是乌鲁木齐至重庆的1084次列车，全程缩短了9h已知乌鲁木齐至重庆的行程为3405km，提速前的平均速度约为52km/h，求提速后的平均速度设提速后平均速度为xkm/h，则可列出方程_

7、9（2008，青岛）为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元求第一次捐款的人数是多少？若设第一次捐款的人数为x，则根据题意可列方程为_二、选择题10将方程=2去分母并化简后，得到的方程是（ ） Ax22x3=0 Bx22x5=0 Cx2=0 Dx25=011方程=1的根是（ ） Ax1=1，x2=3 Bx1=1，x2=3 Cx=1 Dx=312用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（ ） Ay2+y6=0 By2

8、y6=0 Cy2y+6=0 Dy2+y+6=013用换元法解方程x22x+=8若设x2x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ） Ay2+8y7=0 By28y7=0 Cy2+8y+7=0 Dy28y+7=014用换元法解分式方程=7时，如果设y=，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是（ ） A2y27y+6=0 B2y2+7y+6=0 Cy27y+6=0 Dy2+7y+6=015已知x为实数，且（x2+3x）=2，那么x+3x的值为（ ） A1 B3或1 C3 D1或316已知方程x+=a+的两根分别为a，则方程x+=a+的根是（ ） Aa， B，a1 C，a1 Da，17某市

9、为处理污水，需要铺设一条长为4000m的管道为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10m，结果提前20天完成任务设原计划每天铺设管道xm，则可得方程（ ）A=20 B=20C=20 D=20三、解方程18解方程 （1）=0； （2）=2； （3）=2； （4）19（2005，成都市）如果关于x的方程1+的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围20（2008，辽宁省）在“汶川地震”捐款活动中，某同学对甲，乙两班捐款情况进行了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多3人，甲班共捐款2400元，乙班共捐款1800元，乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的，求甲，乙两班各有

10、多少人捐款？21（2008，芜湖）在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人次组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷？22（2008，天津市）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可 天津市奥林匹克中心体育场“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，其校九年级学生由距“

11、水滴”10km的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20min后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度 （1）设骑车同学的速度为xkm/h，利用速度，时间，路程之间的关系填写下表 （要求：填上适当的代数式，完成表格）速度/(km/h)所用时间/h所走的路程/km骑自行车x10乘汽车10 （2）列出方程（组），并求出问题的解答案1x=30 2x=5 3x=3 4x=45不对，x=1是原方程的增根 617y22y1=0 8=9 9+2010A 11C 12A 13D 14A 15A 16D 17D18（1）方程变形为2x+3（x+1）=

12、0，解之得x= （2）原方程可化为5x=4，解之得x= （3）设y=，则原方程可化为y+=2，即y22y+1=0，解之，得y1=y2=1 =1，即2x2x1=0，解这个方程，得x1=1，x2=，经检验，x1=1和x2=都是原方程的根，所以，原方程的根是x1=1，x2= （4）x=119解方程1+=，得x=m2 x24=m（m+4）， 当m=4或m=0时，则有x24=0 方程1+=的解为x=m2，其中m4且m0 解不等式组 ，得x2 由题意，得m22，解得m0 又m0，m的取值范围是m>020解法一：设乙班有x人捐款，则甲班有（x+3）人捐款，根据题意得：， 解这个方程得x=45 经检验x

13、=45是所列方程的根 x+3=48（人） 答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款 解法二：设甲班有x人捐款，则乙班有（x3）人捐款 根据题意得： 解这个方程得x=48 经检验x=48是所列方程的根 x3=45（人） 答：甲班有48人捐款，乙班有45人捐款21设实际需要x天完成生产任务，根据题意，得 =720 化简，得=1， 即12（x+4）10x=x（x+4） 整理得x2+2x48=0 解得x1=6，x2=8（不合题意，舍去） 故=1440（顶） 答：该厂实际每天生产帐篷1440顶22（1）速度/(km/h)所用时间/h所走的路程/km骑自行车x10乘汽车2x10 （2）根据题意，列方程得=+

14、 解这个方程，得x=15 经检验，x=15是原方程的根 所以，x=15 答：骑车同学的速度为15km/h2009年中考数学一轮复习知识讲解+例题解析+强化训练：方程和方程组的应用知识讲解 1行程问题的几种类型及等量关系: （1）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程 （2）追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程乙走的路程 （3）流水问题：船速+水速，逆流航速=船速水速 2工程问题的基本等量关系: 甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量，工程问题通常把总工作量看作“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率 3浓度问题的基本等量关系: 浓度=×100% 溶液质量=溶

15、质质量+溶剂质量 4数学问题的等量关系: n位数=a1×10n1+a2×10n2+an 5增长率等量关系: 增长率=（增量÷基础量）×100% 6利润问题: 利润=销售价进货价；利润率=； 销售价=（1+利润率）×进货价 7利息问题: 利息=本金×利率×期数； 本息和=本金+利息 8其他经济类问题例题解析 例1 （2004，黄冈市）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下： （1）若一次购物少于200元，则不予优惠； （2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠； （3）若一次购物超过500元，其中500元以下

16、部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？ 【分析】首先要求出小李两次去超市购物付款198元和554元的实际购物所值金额，因为付款198元时，小李购物可能不超过200元，也可能超过200元，而付款554元时，小李购物肯定超过554元，所以小李两次购物中，第一次购物有两种情况，因此本题应分类求解 【解答】（1）小李第一次购物付款198元 当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品； 当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x元的

17、物品，依题意可得： x×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品 （2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，设第二次小李购物y元，依题意可得： （y500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品 当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，小张应购买的物品为：198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为： 500×90%+（828500）×80%=712.4（元） 或者：500×90%+

18、（850500）×80%=730（元） 答：小张应付款712.4元或730元 【点评】解答本例要注意三点：（1）由于超市实际购物优惠，所以顾客购买物品时，所付金额数与购物金额数不一定相等；（2）要根据付款金额数正确确定顾客购物时所符合的优惠条款，从而利用该条款求出该顾客的购物金额；（3）若顾客所付金额数属于两种或两种以上优惠条款时，应分情况讨论求解，切忌遗漏 例2 （2004，哈尔滨市）某通信器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种手机每部1800元，乙种手机每部600元，丙种手机每部1200元 （1）若

19、商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买； （2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号的手机的购买数量 【分析】（1）题中将60000元恰好用完容易理解，即所选的两种手机的总钱数等于60000元；共有三种不同型号的手机，购其中两种不同型号的手机共40部，需要分三种情况考虑：选甲，丙两种手机共40部；选甲，丙两种手机共40部；选乙，丙两种手机共40部；（2）题中告诉了乙种手机买数的范围，可得乙种手机的购买数量可能的取值为6，7，8，若

20、设甲种手机购x部，丙种手机购y部，则可列3个不同的方程组，即 【解答】（1）选购甲，乙两种型号的手机，设甲种手机购x部，乙种手机购y部 依题意：，解这个方程组得 选购甲，丙两种型号的手机，设甲种手机购a部，丙种手机购b部 依题意，得 解这个方程组，得 选购乙，丙两种型号的手机，设购乙种手机m部，购丙种手机n部，依题意得 解这个方程组，得（不合实际，舍去） 答：有两种购买方案：甲种手机购30部，乙种手机购买10部；甲种手机购20部，丙种手机购20部 （2）由乙种手机的购买数量不少于6部且不多于8部，则乙种手机的购买数量有三种可能，即6部，7部，8部 设购甲种手机x部，丙种手机y部，由以上分析可列

21、三个方程组： 解方程组得：，解方程组：得，解方程组得： 答：若购买乙种手机6部，则甲种手机购26部，丙种手机购8部；若购买乙种手机7部，则甲种手机购27部，丙种手机购6部；若购买乙种手机8部，则甲种手机购28部，丙种手机购4部 【点评】在现有的可能条件下，运用所学知识探寻最佳、最优方案，以获取最佳效益，是每个经营者所追求的目标，也是每个学生走进社会后所应具备的基本素质，这类题体现了素质教育的要求，必奖是今后中考的热点题型同时，本题只有题设条件，结论不具体、不唯一，这对解题思路的探寻也是一种挑战，解题者必须具备创造性思维，不能囿于传统解法的限制 本例的解题关键在于依题合理分类考虑，不能漏掉存在的

22、任何一种可能，其次是对所得的结果检验，看其是否满足生活实际 例3 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？ 【分析】这是一道工程问题本题提供的关键信息有：甲班种150棵树所用的天数=乙班种120棵树所用的天数+2天；甲班每天植树的棵树+10棵=乙班每天植树的棵树 我们可以从不同的角度入手 【解答】（1）从工作时间入手，寻求解题的途径（直接设解法）： 设甲班每天植树x棵，那么乙班

23、每天植树（x+10）棵 由中的数量关系列方程，得=+2 150（x+10）=120x+2x（x+10） 150x+1500=120x+2x+20x 2x210x1500=0 x25x750=0 （x30）（x+25）=0，x1=30，x2=25 经检验知：x1=30，x2=25都是原方程的解但x=25不符合题意舍去 当x=30时，x+10=40 （2）从工作效率入手，寻求解题途径（间接设解法）： 设乙班植树x天，那么甲班植树（x+2）天，甲班每天植树棵，乙班每天植树棵 由中的数量关系列方程得+10= 去分母，整理，得x2+5x24=0 解得x1=8，x2=3，经检验：x1=8，x2=3都是原方

24、程的解 又x>0， x=8舍去，只取x=3 =30（棵），=40（棵） 答：甲班每天植树30棵；乙班每天植树40棵强化训练一、填空题1某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意，列方程为_2一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_3轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，已知水流速度为3km/h，设轮船在静水中的速度xkm/h，可列方程_4杉杉打火机厂生产某种型号的打火机每只的成本为2元，毛利润为25%工厂通过改进工艺，降低成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15

25、%，则这种打火机每只的成本降低了_元（精确到0.01元，毛利率=×100%）5高温煅烧石灰石（CCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2），如果不考虑杂质及损耗，生产生石灰14t就需要煅烧石灰石25t那么生产生石灰224t，需要石灰石_t6为了绿色北京，北京市在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染随着每年10亿m3的天然气输到北京，北京每年将少烧300万t煤，这样，到2006年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平某单位1个月用煤30t，若改用天然气，1年大约要用_m2的天然气7李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5

26、天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书 解题方案 设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用_天； （2）改变计划时，已读了_页，还剩_页； （3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需_天； （4）根据问题中的相等关系，列出相应方程_； （5）李明原计划平均每天读书_页（用数字作答）8依法纳税是公民应尽的义务，根据我国税法规定，工资所得不超过1600元不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：全月应纳税所得额税率不超过500元部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000

27、元至5000元的部分15% 某人本月纳税150.1元，则他本月的工资收入为_元二、选择题9一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） Ax×40%×80%=240 Bx（1+40%）×80%=240 C240×40%×80%=x Dx×40%=240×80%10刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元，设刘刚买的两种贺卡分别为x张，y张，则下面的方程组正确的是（ ）A B C D11小萍要在一幅长90

28、cm，宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（图45），使风景画的面积是整个挂图面积的54%设金色纸边的宽为xcm，根据题意所列方程为（ ）A（90+x）（40+x）×54%=90×40 B（90+2x）（40+2x）×54%=90×40C（90+x）（40+2x）×54%=90×40 D（90+2x）（40+x）×54%=90×4012某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（ ） A25（1+x）2=82.75 B

29、25+50x=82.75 C25+75x=82.75 D251+（1+x）+（1+x）=82.7513为了贫困家庭子女能完成初中作业，国家给他们免费提供教科书，下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况：七八九合计每人免费补助金额/元1099447.5人数/人40120免费补助总金额/元190010095 若设获得免费提供教科书补助的七年级为x人，八年级为y人，根据题意列出方程组为（ ）A BC D14古代有这样一个寓言故事：驴和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的驴抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一

30、样多！”那么驴原来所驮货物的袋数是（ ） A5 B6 C7 D815A，B两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，经过th两车相距50km，则t的值是（ ） A2或2.5 B2或0 C10或12.5 D2或12.516某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法： （1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠； （2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠； （3）一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠 某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付示7800元，第二次购买付款2

31、6100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（ ） A1460元 B1540元 C1560元 D2000元三、解答题17（2005，湘潭市）2004年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难，听到这个消息，某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款，支援灾区人民其中女同学共捐款150元，男同学共捐款120元，男同学比女同学平均每人少捐款2元，男，女同学平均每人各捐款多少元？18（2008，温州）某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（图46），由于三月份开展促销活动，男，女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女皮鞋的

32、销售总收入为200万元 （1）一月份销售收入_万元，二月份销售收入_万元，三月份销售收入_万元；（2）二月份男，女皮鞋的销售收入各是多少万元？19（2005，海南省）在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收图47所示是小明爸爸，妈妈的一段对话请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入（收入投资=净赚）20（2005，武汉市）武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲，乙两个工程队共同完成某项目从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24天恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问： （1）甲，乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？

33、（2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？21（2008，连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲，乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍，1.5倍，恰好按时完成了这项任务 （1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ （2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通往A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如表所示：A地B地每千顶帐篷所需车辆数甲市47乙市35所急需帐篷数（单位：千顶）95 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少说明理由，并求出最少车辆总数22（2008，广州市）2008年初我国南方发生雪灾，