利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1、利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：时，所以各式相加得 即：.为了书写方便，也可用横式来写： 时，=.例 1. （2003天津文） 已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：例3.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组

2、求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，=f(n)f(n-1). 例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式

3、）得到与的更为明显的关系式，从而求出.例2.已知,求数列an的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3.形如型（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.例1. 数列满足,求数列an的通项公式.分析 1：构造 转化为型解法1：令则.时,各式相加:当n为偶数时，

4、.此时当n为奇数时，此时,所以.故 解法2：时，两式相减得：.构成以,为首项，以2为公差的等差数列;构成以,为首项，以2为公差的等差数列. 评注：结果要还原成n的表达式.例2.（2005江西卷）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：方法一：因为以下同例1，略答案 4.形如型（1）若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例1. 已知数列,求此数列的通项公式.注：同上例类似，略.5形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数

5、列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例1已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 方法二：由 时，两式相减得 ,数列是以=为

6、首项，以c为公比的等比数列.=( .方法三：迭代法由 递推式直接迭代得=.方法四：归纳、猜想、证明.先计算出,再猜想出通项,最后用数学归纳法证明.注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同.6.形如型.(1)若(其中k,b是常数，且)方法：相减法例1. 在数列中，求通项.解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型5的方法知即 再由累加法可得.亦可联立 解出.例2. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.(2)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.

7、 两边同除以.即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型5来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例1.（2003天津理）设为常数，且证明对任意1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则=.证法2：由得 .设，则b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .方法4：

8、本题也可用数学归纳法证.（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 规律： 类型共同的规律为：两边同除以，累加求和，只是求和的方法不同.7.形如型（1）即 取倒数法.例1. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 例2.（湖北卷）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足（）证明分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题.证：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，评注：本题结合不等式的

9、性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得.2.形如型方法：不动点法:我们设,由方程求得二根x,y,由有同理,两式相除有,从而得,再解出即可.例1. 设数列an满足,求an的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.方法2：，两边取倒数得，令b，则b,转化为类型5来求. 8.形如(其中p,q为常数)型（1）当p+q=1时 用转化法例1.数列中，若,且满足,求.解：把变形为.则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则 利用类型6的方法可得 .（2）当时 用待定系数法.例2. 已知数列满足，且,且满足,求.解：令,即,与已知比较，则有,故或下面我们取其中一组来运算，即有,则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故,即,利用类型 的方法，可得. 评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.9. 形如(其中p,r为常数)型（1）p>0， 用对数法.例1. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等