同角三角函数的关系及诱导公式

1、( (文科文科) )第二节同角三角函数基本关系式及诱导公式 第三章三角函数与解三角形第三章三角函数与解三角形 ( (文科文科) )考考 纲纲 要要 求求1理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1， tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的的正弦、余弦、正切的诱导公式正弦、余弦、正切的诱导公式sincosxx2( (文科文科) )课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、同角三角函数的基本关系式一、同角三角函数的基本关系式1平方关系：平方关系：_.2商数关系：商数关系：_.二、诱导公式二、诱导公式诱导公式一：诱

2、导公式一：sin(2k)_，cos(2k)_，tan(k)_，其中，其中kZ.诱导公式二：诱导公式二： sin()_，cos()_，tan()_.sin2cos21sincosaatan sin cos tan sin cos tan ( (文科文科) )诱导公式三：诱导公式三： sin()_，cos()_，tan()_.诱导公式四：诱导公式四：sin()_，cos() =_，tan()_.诱导公式五：诱导公式五：sin(2)_，cos(2)_，tan(2)_.诱导公式六：诱导公式六：sin_，cos_.诱导公式七：诱导公式七：sin_，cos_.以上公式可概括为十字口诀：以上公式可概括为十字

3、口诀：“奇变偶不变，符号看象奇变偶不变，符号看象限限”sin cos tan sin cos tan sin cos tan cos sin cos sin ( (文科文科) )基础自测基础自测( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )考考 点点 探探 究究考点一考点一利用诱导公式求三角函数的值利用诱导公式求三角函数的值 【例【例1】计算计算 sin 120cos 330sin(690) cos (660) tan 675.点评：点评：深刻理解诱导公式口诀的含义，熟练运用口诀可提深刻理解诱导公式口诀的含义，熟练运用口诀可提高化简、求值速

4、度和正确率高化简、求值速度和正确率( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )( (文科文科) )考点二考点二运用诱导公式化简求值运用诱导公式化简求值( (文科文科) )( (文科文科) )点评：点评：深刻理解诱导公式口诀的含义，熟练运用口诀可提深刻理解诱导公式口诀的含义，熟练运用口诀可提高化简、求值速度和正确率高化简、求值速度和正确率( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )考点三考点三利用同角三角函数基本关系式求值利用同角三角函数基本关系式求值( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )考点四考点四关于关于sin

5、 x，cos x的齐次式的求值问题的齐次式的求值问题【例【例4】 已知已知tan 2，求下列各式的值：，求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3)4sin23sin cos 5cos2.思路点拨：思路点拨：(1)据据tan 2，首先确定，首先确定所在的象限，再由所在的象限，再由所在的象限和同角间的三角函数关系来确定所在的象限和同角间的三角函数关系来确定sin 与与cos 的值，的值，最后代入即可最后代入即可(2)要注意到分式的分子与分母均是关于要注意到分式的分子与分母均是关于sin 与与cos 的齐次的齐次式，其中第式，其中第(3)问要将分母看成是问要将分母看成是1sin2cos2，所以可以将

6、，所以可以将分子分母同时除以分子分母同时除以cos (或或cos2) (显然显然cos 0)，然后整体代入，然后整体代入tan 2的值即可的值即可( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )( (文科文科) )点评：点评：这是一组在已知这是一组在已知tan m的条件下，求关于的条件下，求关于sin ，cos 的齐次式的问题，解这类问题有两种方法，一是直接求出的齐次式的问题，解这类问题有两种方法，一是直接求出sin 和和cos 的值，再代入求解，如本题解法一，但这种方法较的值，再代入求解，如本题解法一，但这种方法较繁琐二是将所求式转化为只含繁琐二是将所求式转化为只含tan 的代数

7、式，再代入求解，的代数式，再代入求解，但应用此法时要注意两点：但应用此法时要注意两点：(1)一定是关于一定是关于sin 和和cos 的齐次式的齐次式(或能化为齐次式或能化为齐次式)的三角函数式；的三角函数式；(2)因为因为cos 0，可用，可用cosn(nN)除之，这样可以将所求式化为关于除之，这样可以将所求式化为关于tan 的表达式，的表达式，从而可以整体代入从而可以整体代入tan m的值进行求解，相比之下解法二要快的值进行求解，相比之下解法二要快捷得多捷得多( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )( (文科文科) )考点五考点五利用诱导公式、三角基本关系式化简、求值利用诱导

8、公式、三角基本关系式化简、求值点评：点评：注意同角三角函数的基本关系式的变式的应用注意同角三角函数的基本关系式的变式的应用( (文科文科) )变式探究变式探究( (文科文科) )( (文科文科) )课时升华课时升华( (文科文科) )2同角三角函数的基本关系式的主要应用同角三角函数的基本关系式的主要应用已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值在已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值尽可能地压缩角的范围，以便进行定号

9、；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值函数值的绝对值( (文科文科) )( (文科文科) )4诱导公式的应用诱导公式的应用一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正负角变正角，再写成角，再写成2k，02；(2)转化为锐角三角函数用框转化为锐角三角函数用框图表示如下：图表示如下：二是化简三角函数式二是化简三角函数式三是证明三角恒等式三是证明三角恒等式.任意负任意负角的三角的三角函数角函数 任意正任意正角的三角的三角函数角函数0，2)的的角的三角角的三角函数函数 锐角三锐角三角函数角函数 用公式一或三 用公式一 用公式二或四( (文科文科) )感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考( (文科文科) )(