周第二次课,正定

1、正定矩阵正定矩阵的判定（3种办法）12021/4/2 .,0 ,0 , )( 11122222112222211相等相等中正数的个数中正数的个数中正数的个数与中正数的个数与则则及及使使及及有两个实的可逆变换有两个实的可逆变换为为它的秩它的秩设有实二次型设有实二次型惯性定理惯性定理定理定理 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 定义：二次型 的标准形 的系数 全为正（负）,就称二次型是正（负）定的.且称A为正（负）定矩阵。 f(x) xTAxf k1y21kny2nki(1 i n)f(x,y,z) x24y216z2为正定二次型例如推论对称矩阵 为正(负)定的充

2、分必要条件是： 的特征值全为正（负）AAf(x1,x2)-x12-3x22为负定二次型22021/4/2例 判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf- - 是否正定.解二次型的矩阵为,502040202 - - - A用特征值判别法.0 - - AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，A32021/4/2正定二次型的判别定理：二次型 正定 f(x) xTAx xTAx 0(x 0).证明使使设设可可逆逆变变换换Cyx .21iniiykCyfxf ( ) ., 10niki 设设, 0 x任给任给, 0 xCy1-则则故 . 021

3、iniiykxf( ), 0 sk假设有假设有, )(时时单单位位坐坐标标向向量量则则当当sey . 0 sskCef, 0 sCe显然显然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f故 ., 10niki 定理：二次型 负定 xTAx ByyAxxTT.,为正定矩阵为正定矩阵故故是实对称阵是实对称阵且且CC52021/4/2, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即AA ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr - -对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为

4、正，即A这个定理称为霍尔维茨定理证明（略）62021/4/2例3 判别二次型xzxyzyxf44465222 - - - - 的正定性.解的矩阵为的矩阵为f, 0511 - - - aaaa, 080 0(x 0).82021/4/2规范形定义：二次型 的标准形 的系数 全为1,1,0,称之为二次型的规范形。 f(x) xTAxf k1y21kny2nki(1 i n)做法：Step1,f yTk100kny,Step2, 令y=Cz, C可逆,s.t.CTk100knCsignk100signkn,e.g.-4169-1101,121413121413一般的，取Cdiag c1,cn,ci

5、ki-12,ifki 0,ci 0,ifki 0,92021/4/2三种等价关系（反身，对称，传递）1,矩阵A与矩阵B等价：矩阵A能通过初等变换变成矩阵B。记为：AB.2,方阵A与方阵B相似：$P,|P | 0,s.t.P-1AP B.3,$C,|C| 0,s.t.CTAC B.方阵A与方阵B合同：102021/4/22种标准形1,二次型的标准形：2,矩阵的标准形：f k1y21kny2n若 的秩为r,则AmnAmn我们称 为 的标准形。ErooomnAmnProp：A与B等价A与B有相同的标准形。Pf：不妨设AErooo,BEsooo.显然AB,EroooEsooo,r s.Erooomn.112021/4/2注：注：文档资料素材和资料部分文档资料素材和资料部分来自