矩阵的初等变换与矩阵的秩课堂（课堂PPT）

1、上页下页铃结束返回首页121112112144622436979B 上页下页铃结束返回首页2 交换第交换第i行与第行与第j行记为行记为rirj。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7r2r4 1 5 1 1 3 8 1 1定义定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行；交换矩阵的两行； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行；乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。倍加到另一行上。例如例如下页下页一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换第四节第四

2、节 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩上页下页铃结束返回首页3 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行；交换矩阵的两行； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行；乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。倍加到另一行上。 用数用数k乘以第乘以第i行记为行记为ri k。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1r2 4 4 4 812 1 1 5 1 1 3 9 7 3 1 8 1例如例如下页下页一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换上页下页铃结束返回首页4一一

3、.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等行变换。 (1)交换矩阵的两行；交换矩阵的两行； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一行；乘矩阵的某一行； (3)把矩阵的某一行的把矩阵的某一行的k倍加到另一行上。倍加到另一行上。 第第j行的行的k倍加到第倍加到第i行记为行记为ri+ +krj。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1r3 3r1 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 0 7 2 4例如例如下页下页上页下页铃结束返回首页5 1 1 3 1一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义1

4、 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列；交换矩阵的两列； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一列；乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的把矩阵的某一列的k倍加到另一行列上。倍加到另一行列上。 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c1c3 5 2 9 8 1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下页下页上页下页铃结束返回首页6一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1

5、)交换矩阵的两列；交换矩阵的两列； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一列；乘矩阵的某一列； (3)把矩阵的某一列的把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。倍加到另一列上。 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为ci k。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c3 4 4 412 4 1 5 1 1 2 3 1 9 7 3 8 1例如例如下页下页上页下页铃结束返回首页7一一.矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。对矩阵施以下列三种变换，称为初等列变换。 (1)交换矩阵的两列；交换矩阵的两列； (2)以数以数k 0乘矩阵的某一列；乘矩阵的

6、某一列； (3)把矩阵的某一列的把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。倍加到另一列上。 第第j列的列的k倍加到第倍加到第i列记为列记为ci+ +kcj。 1 5 1 1 1 2 1 3 1 9 3 7 3 8 1 1c3+ +c1 0 2 4 2 1 5 1 1 2 3 1 9 7 3 8 1例如例如下页下页若若矩矩阵阵A经过初等行变换后变为经过初等行变换后变为B,用用AB表示表示,并称并称矩矩阵阵 A与与B是行等价的是行等价的矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵初等变换上页下页铃结束返回首页8AB有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限

7、次初等列变换rA B行等价行等价，记作，记作 cAB列等价列等价，记作，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系上页下页铃结束返回首页9AB有限次初等变换有限次初等变换AB矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性反身性 ；对称性对称性 若若 ，则，则 ；传递性传递性 若若 ，则，则 AAAB, AB BCBAAC上页下页铃结束返回首页10备注备注 带有运算符的矩阵运算，用带有运算符的矩阵运算，用“ = ”例如：例如： 矩阵加法矩阵加法 数乘矩阵、矩阵乘法数乘矩阵、矩阵乘法 矩阵的转置矩阵的转置 T（上标

8、）（上标） 方阵的行列式方阵的行列式| 不带运算符的矩阵运算，用不带运算符的矩阵运算，用“”例如：例如： 初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换上页下页铃结束返回首页11三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵三、用初等变换将矩阵化为阶梯形和标准阶梯形矩阵（1）阶梯形矩阵）阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵零行（元素全为零行（元素全为0的行）位于矩阵的下方的行）位于矩阵的下方 所有非零行（元素不全为所有非零行（元素不全为0的行）的首元，它的的行）的首元，它的“列标列标”随着随着“行标行标”的增大而严格增大。的增大而严格增大。下

9、页下页411214011100001300000B 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零； 每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；1. 阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.上页下页铃结束返回首页12例例0000100000207531A0000104003207531BA为阶梯形矩阵，为阶梯形矩阵， B不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵上页下页铃结束返回首页13510104011030001300000B 411214011100001300000B 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线

10、的可画出一条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零； 每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；1. 阶梯线的竖线后面是非零阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行的第一个非零元素.行最简形矩阵行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;4. 这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.12rr 23rr 上页下页铃结束返回首页14（2）行简化阶梯形矩阵）行简化阶梯形矩阵定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩定义：适合下列两个条件的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵阵每个非零行的首元为每个非零行的首元为1首元所在的首元所在的“列列”除首元以外，其

11、余元素均为零。除首元以外，其余元素均为零。例例0000100000100501A为行简化阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵定理定理2： 任何一个矩阵任何一个矩阵A一系列初一系列初等行变换等行变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵B （不唯一）（不唯一）一系列初一系列初等行变换等行变换行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵C （唯一）（唯一）下页下页上页下页铃结束返回首页15首页首页r2 2r1r3+ +3r1A 1 2 3 0 1 2 1 0 5 1 0 1 0 1 2 0 2 2r3 2r1 1 0 1 0 1 2 0 0 2r3 0.5 1 0 1 0 1 2 0 0 1r1 r3 1 0 0 0 1 0 0 0

12、1r2+ +2r3例例1用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形用初等变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形上页下页铃结束返回首页16例例2用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形164221311101111A解：解：164221311101111A一系列初一系列初等行变换等行变换000001420001111= B为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 （不唯一）（不唯一） 一系列初一系列初等行变换等行变换00000212100211011= C为行简化阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵（唯一）（唯一）上页下页铃结束返回首页17解：解： 1 1 3 102 141 14

13、1 0 0 0 5A 0 2 0 2 0 1 0 1 0 4 5 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 1 0 0 1 例例3将矩阵将矩阵 1 1 3 102 141 141 0 0 0 5A 化为化为（1）阶梯形阶梯形 （2）行简化阶梯形）行简化阶梯形= B为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵 B 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 4/5 0 0 0 0= C为行简化阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵 下页下页上页下页铃结束返回首页18510104011030001300000B 行最简形矩阵行最简形矩阵：

14、 非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;4. 这些非零元所在的列的其这些非零元所在的列的其它元素都为零它元素都为零.10000010000010000000F 标准形矩阵标准形矩阵：6. 左上角是一个单位矩阵，其左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零它元素全为零.34cc412ccc+5123433cccc + +（3） 标准形矩阵标准形矩阵上页下页铃结束返回首页19行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵rm nOEFOO 标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩

15、阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 上页下页铃结束返回首页20任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换 上页下页铃结束返回首页21四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系： 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵。 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k)、I (i,

16、j(k)。 I(2, 4) 例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001I 0001100000100100r2r4 I(2, 4) 1000010000100001I 0001100000100100c2c4下页下页上页下页铃结束返回首页22四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系： 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵。 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k)、 I (i, j(k) 。 I(3(4) 例如，

17、下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001I 0040100001000001 r3 4 I(3(4) 1000010000100001I 0040100010000001 c3 4下页下页上页下页铃结束返回首页23四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系： 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵。 初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种： I(i, j)、I(i(k)、 I (i, j(k) 。 I(2,4 (k) 例如，下面是几个例如，下面是几个

18、4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001I 010k100000100001r2+ +kr4 I(2, 4(k) )1000010000100001I 1000100010000k01c4+ +kc2下页下页上页下页铃结束返回首页24容易验证：容易验证：初等矩阵的可逆性：初等矩阵的可逆性：首页首页I(i,j(k) 1 I(i ,j ( k) 。 I(i(k) 1 I(i(k 1)， I(i, j) 1 I(i, j)， 这是因为这是因为 I(i, j)I(i, j) I， I(i(k 1)I(i(k) I ， I(i,j( k)I(i, j(k) ) I 。 （1） |I(i

19、, j) | -1，（2）|I(i(k) | | k，（3）| I (i, j(k) | | 1，因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。因此初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵：。四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：四、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：上页下页铃结束返回首页251 1 2 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵。矩阵。 对对A施行施行一次初等行变换一次初等行变换相当于在相当于在A的的左边乘以相应的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对；对A施行施行一次一次初等列变换初等列变换相当于在相当于在A的的右边乘以相应的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵

20、。 例如，设例如，设30 11 1 201 1A ，有，有I(1, 2)A 30 11 1 201 1010100001 01 130 1与交换与交换A的第一行与第二行所得结果相同。的第一行与第二行所得结果相同。下页下页五、初等变换与矩阵乘法的关系五、初等变换与矩阵乘法的关系110211103A110103211r1r2= B = B 上页下页铃结束返回首页260 110101000011 1 2 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵。矩阵。 对对A施行施行一次初等行变换一次初等行变换相当于在相当于在A的的左边乘以相应的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对；对A施行施行一次一次初等列变

21、换初等列变换相当于在相当于在A的的右边乘以相应的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。 例如，设例如，设30 11 1 201 1A ，有，有I(1, 2)A 30 11 1 201 1010100001 01 130 1与交换与交换A的第一列与第二列所得结果相同。的第一列与第二列所得结果相同。AI(1, 2) 30 11 1 201 1 121310，下页下页五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：五、初等矩阵与矩阵的初等变换的关系：= B 上页下页铃结束返回首页273 2 3定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵。矩阵。 对对A施行施行一次初等行变换一次初等行变换相当相当于在于在A的的左边

22、乘以相应的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对；对A施行施行一次初等列一次初等列变换变换相当于在相当于在A的的右边乘以相应的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。I(1, 3(2)A 30 11 1 201 1102010001 01 11 1 2请与对矩阵请与对矩阵A进行行变换结果相对照。进行行变换结果相对照。 例如，设例如，设30 11 1 201 1A ，有，有110211103A110211323= B = B 下页下页r1+2r3上页下页铃结束返回首页283 101020100013 2 3定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵。矩阵。 对对A施行施行一次初等行变换一次初等行

23、变换相当相当于在于在A的的左边乘以相应的左边乘以相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵；对；对A施行施行一次初等列一次初等列变换变换相当于在相当于在A的的右边乘以相应的右边乘以相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。I(1, 3(2)A 30 11 1 201 1102010001 01 11 1 2A I(1, 3(2)=30 11 1 201 1 7410 11。请与对矩阵请与对矩阵A进行列变换结果相对照。进行列变换结果相对照。 例如，设例如，设30 11 1 201 1A ，有，有下页下页= B 上页下页铃结束返回首页29定理定理1设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次施行一次初等行变换

24、初等行变换，相当于在，相当于在 A 的左边的左边乘以相应的乘以相应的 m 阶初等矩阵；阶初等矩阵；对对 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 n 阶初等矩阵阶初等矩阵. .口诀：左行右列口诀：左行右列. .上页下页铃结束返回首页30六、用初等行变换求逆矩阵六、用初等行变换求逆矩阵定理定理2： 任何一个矩阵任何一个矩阵A一系列初一系列初等行变换等行变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵B （不唯一）（不唯一）一系列初一系列初等行变换等行变换行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵C （唯一）（唯一） 定理定理3 任意一个矩阵任意一个矩阵Am n (aij

25、) m n经过若干次初等变换，经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵可以化为下面形式的矩阵D：D 。Or (n r)O(m r) (n r)O(m r) r Ir 矩阵矩阵D称为矩阵称为矩阵A的标准型。的标准型。下页下页上页下页铃结束返回首页31例例4用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形用初等行变换把矩阵化为阶梯形和行简化阶梯形164221311101111A解：解：164221311101111A一系列初一系列初等行变换等行变换000001420001111一系列初一系列初等行变换等行变换00000212100211011= C为行简化阶梯形矩阵为行简化阶梯形矩阵（唯一）（唯一）一

26、系列初一系列初等列变换等列变换000000001000001上页下页铃结束返回首页32六六、用初等行变换求逆矩阵、用初等行变换求逆矩阵 定理定理3 任意一个矩阵任意一个矩阵Am n (a a ij ij ) m n经过若干次初等变经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵换，可以化为下面形式的矩阵D：定理定理4 如果如果A为为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则A的标准型为的标准型为D I n。D 。Or (n r)O(m r) (n r)O(m r) r Ir 矩阵矩阵D称为矩阵称为矩阵A的标准型。的标准型。 证明：证明：因为矩阵因为矩阵A经过若干次初等变换，可以化为标准经过若干次初等变换，可以化

27、为标准型矩阵型矩阵D，所以存在初等矩阵，所以存在初等矩阵P1， ，Ps，Q1， ，Qt ，使，使 P1 Ps A Q1 Qt D，因此因此 |P1 | |Ps | |A | | Q1 | |Qt | |D|，又因为又因为P1， ，Ps， A, Q1， ，Qt 都可逆，它们的行列式都可逆，它们的行列式都不等于零，所以都不等于零，所以|D| 0，从而只有，从而只有D I n。下页下页查看例题查看例题上页下页铃结束返回首页33 定理定理5 n阶矩阵阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。一些初等矩阵的乘积。 证明：证明：充分性是显然的，只需证必要性

28、。充分性是显然的，只需证必要性。 若若A可逆，则经若干次初等变换可化为可逆，则经若干次初等变换可化为I，也就是存在初，也就是存在初等矩阵等矩阵P1， ，Ps，Q1， ，Qt，使，使即即A可以表示为一些初等矩阵的乘积。可以表示为一些初等矩阵的乘积。 Ps 1 P1 1Qt 1 Q1 1， Ps 1 P1 1IQt 1 Q1 1于是于是 A P1 Ps AQ1 Qt I，下页下页上页下页铃结束返回首页34 如果如果A可逆，则可逆，则A 1也可逆，所以存在初等矩阵也可逆，所以存在初等矩阵 P1，P2， ，Ps ，使使 A 1 P1P2 Ps ，那么有那么有 A 1A P1P2 Ps A，即即 I P

29、1P2 Ps A，又又 A 1 P1P2 Ps I，所以对所以对A的行施以若干次初等变换化为的行施以若干次初等变换化为I，对，对I的行施以同样的行施以同样的初等变换化为的初等变换化为A 1， 若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A |I)经初等行变换可化为经初等行变换可化为(I| A 1)。 定理定理5 n阶矩阵阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为一可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。些初等矩阵的乘积。求逆矩阵的初等行变换法：求逆矩阵的初等行变换法：注意：注意：只有只有A能化为能化为I时，时， A才可逆。才可逆。下页下页即 (A |I) (I| A 1)初等行变换初等行

30、变换上页下页铃结束返回首页35A 的逆矩阵。的逆矩阵。例例5求矩阵求矩阵12 30 1210 512 30 1210 510 00 1000 1解：解： 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 2 2 3 0 1r2 2r1r3+ +3r1 1 0 1 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 0 2 7 2 1r3 2r2 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 2 7 2 1r2+ +r3r1 0.5r3 1 0 0 2.5 1 0.5 0 1 0 5 1 1 0 0 1 3.5 1 0.5， 2.5 5 3.5 1 1 1 0.5 1 0.5A 1 。(

31、A| I ) r3 0.5若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A| I)经初等行变换可化为经初等行变换可化为(I| A 1)。下页下页上页下页铃结束返回首页36. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例6 6 103620012520001321( ( 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr + +23rr 上页下页铃结束返回首页37 11110001252001120121rr + +23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 111100

32、25323010231001）（22 r）（13 r上页下页铃结束返回首页38 若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A |I)经初等行变换可化为经初等行变换可化为(I| A 1)。注意：注意：（1） (A |I) (I| A 1)只能进行初等行变换（2）只有A能化为I时， A才可逆。若A化为有一行的元素全为0，则 A不可逆。(3)同样的道理也可对A能进行初等列变换初等列变换求A 1。方法为： 1AIIA初等列变换例例7：已知1023111021AA求下页上页下页铃结束返回首页39 . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 1

33、1BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换六、用初等变换解矩阵方程六、用初等变换解矩阵方程上页下页铃结束返回首页40六六、用初等变换解矩阵方程、用初等变换解矩阵方程例例6：设设AX B，如如A可逆。则可逆。则X A 1 B A可逆，则可逆，则A 1也可逆，所以存在初等矩阵也可逆，所以存在初等矩阵 P1，P2， ，Ps ， 使使 A 1 P1P2 Ps ， A 1A P1P2 Ps A，即，即 I P1P2 Ps A， 又又 X A 1 B X A 1 B P1P2 Ps B ， 所以对所以对A的行施以若干次初等变换化为的行施以若干次初等变换化为I，对，对B的行施以同样的行施以同样

34、的初等变换化为的初等变换化为X A 1 B ，若矩阵若矩阵A可逆，则矩阵可逆，则矩阵(A | B)经初等行变换可化为经初等行变换可化为(I| A 1 B)。结束结束即 (A |B) (I| A 1 B)初等行变换初等行变换上页下页铃结束返回首页41例例7 7.341352,343122321 , BABAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 解矩阵方程解矩阵方程上页下页铃结束返回首页42 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr + +2

35、3rr 312rr 325rr 上页下页铃结束返回首页43， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr 上页下页铃结束返回首页44例例8： 解矩阵方程解矩阵方程85451614X求求X 解解8545,1614BA令BAX 则 解法有多种解法有多种 （1）先求）先求1ABAX1再求 （2）)|)|(1BAXIBA （一系列初等行变换上页下页铃结束返回首页45例例9解线性方程组解线性方程组+243022132321321321xxxxxxxxx上页下页铃结束返回首页46七、矩阵的秩七、矩阵的秩 定义定义3 设设A

36、是是m n矩阵，从矩阵，从A中任取中任取k行行k列列(k min(m, n)，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的所构成的k阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的一个的一个k阶子式。阶子式。1. k 阶子式：阶子式： 例如，已知矩阵例如，已知矩阵242110352231A 。 选定第选定第1、3两行及第两行及第2、4两列，两列，1032得得2阶子式阶子式 。下页下页上页下页铃结束返回首页47 定义定义3 设设A是是m n矩阵，从矩阵，从A中任取中任取k行行k列列(k min(m, n)，位于这些行和列的相交处的元素，

37、保持它们原来的相对位置位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的所构成的k阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵A的一个的一个k阶子式。阶子式。1 k 阶子式：阶子式： 例如，已知矩阵例如，已知矩阵242110352231A 。 选定第选定第1、2、3行及第行及第1、3、4列，列，得得3阶子式阶子式 。242231352下页下页五、矩阵的秩五、矩阵的秩注意：注意：（1）A中每个元中每个元aij素都是素都是A的子式；的子式；),min1)2(nmkkCCAknkmnm阶子式（个中共有（3）如果）如果A中所有的中所有的r阶子式都等于零，则阶子式都等于零，则A中的中的所有所有r+1阶

38、子式也都等于零阶子式也都等于零上页下页铃结束返回首页48 定义定义4 设设A为为m n矩阵，如果矩阵，如果A中不为零的子式最高阶中不为零的子式最高阶数为数为r，即存在，即存在r阶子式不为零，而任何阶子式不为零，而任何r+ +1阶子式皆为零，阶子式皆为零，则称则称r为矩阵为矩阵A的秩，记作秩的秩，记作秩(A) r或或r(A) r。 当当A O时，规定时，规定r(A) 0。2、矩阵的秩、矩阵的秩：下页下页上页下页铃结束返回首页49矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则

39、R(A) s ；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A) t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A| 当当|A|0 时，时， R(A) = n ;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A| = 0 时，时， R(A) n ;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0R(A)min(m, n) nR(AT) = R(A) 上页下页铃结束返回首页50 例如，例如，所以所以r(A)=3。定

40、义定义4设设A为为m n矩阵，如果矩阵，如果A中不为零的子式最高阶数为中不为零的子式最高阶数为r，即存在即存在r阶子式不为零，而任何阶子式不为零，而任何r+ +1阶子式皆为零，则称阶子式皆为零，则称r为为矩阵矩阵A的秩，记作秩的秩，记作秩(A) r或或r(A) r。 当当A O时，规定时，规定r(A) 0。2、矩阵的秩、矩阵的秩： ：100210010301已知已知A ，B ，100210r(B)=2；r(C)=3。C ，100001110100210301 1 0，因为因为 又如又如下页下页上页下页铃结束返回首页51例例 求矩阵的秩求矩阵的秩651112105321A解：解：1021有二阶子

41、式而所有三阶子式全为零而所有三阶子式全为零此此矩阵的秩为矩阵的秩为r(A)=2上页下页铃结束返回首页52例例2：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A21032031250004300000B 解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 12023 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A| = 0，因此，因此 R(A) = 2 上页下页铃结束返回首页53例例2：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此行，因

42、此其其 4 阶子式全为零阶子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式 213032240004 ，因此，因此 R(B) = 3 还存在其还存在其它它3 阶非零阶非零子式吗？子式吗？21032031250004300000B 上页下页铃结束返回首页54例例2：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中123235471A解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如203012800421203518003 2020156003 结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数

43、21032031250004300000B 上页下页铃结束返回首页553。矩阵秩的计算。矩阵秩的计算定理定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。矩阵经初等变换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系）初等变换与秩的关系即若一个矩阵即若一个矩阵A一系列初一系列初等变换等变换B, 则则r(A)= r(B)上页下页铃结束返回首页56（2 2）. .阶梯形矩阵的秩阶梯形矩阵的秩0000100000207531A例例为阶梯形为阶梯形0100020731存在 A的秩为的秩为3，即，即r(A)= 3结论：结论：阶梯形矩阵的秩阶梯形矩阵的秩= =它的非零行个数它的非零行个数提问：提问：一个阶梯形矩阵一个阶梯形矩阵A

44、的秩与它的非零行有什么关系？的秩与它的非零行有什么关系？下页下页上页下页铃结束返回首页573 矩阵秩的计算矩阵秩的计算定理定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。矩阵经初等变换后，其秩不变。（1）初等变换与秩的关系）初等变换与秩的关系即若一个矩阵即若一个矩阵A一系列初一系列初等变换等变换B, 则则r(A)= r(B)（2 2）. .阶梯形矩阵的秩阶梯形矩阵的秩结论：结论：阶梯形矩阵的秩阶梯形矩阵的秩= =它的非零行个数它的非零行个数求矩阵秩的步骤：求矩阵秩的步骤：（3）初等变换法求秩）初等变换法求秩 A一系列初一系列初等变换等变换阶梯形矩阵阶梯形矩阵B （不唯一）（不唯一） r(A) r(B)=

45、B的非零行个数的非零行个数上页下页铃结束返回首页583、矩阵秩的计算、矩阵秩的计算 定理定理6 矩阵经初等变换后，其秩不变。矩阵经初等变换后，其秩不变。 解：解：= B ，r(B) B的非零行个数的非零行个数=3。 1 1 3 102 141 141 0 0 0 5A 0 2 0 2 0 1 0 1 0 4 5 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 5 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 4 0 0 0 0 1 0 0 1 例例3求矩阵求矩阵 的秩。的秩。 1 1 3 102 141 141 0 0 0 5A r(A) =r(B)=3下页下页上页下页铃结束返回首页59 1 2 3 13 12 4 2315 1 2 1 3A 定理定