一阶微分方程的平衡点及其稳定性

1、一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶微分方程的平衡点及其稳定性) 1 ()(xFx 一阶非线性（自治）方程一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根的根x0 微分方程的微分方程的平衡点平衡点000 xxxxx设设x(t)是方程的解，若从是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，某邻域的任一初值出发，都有都有,)(lim0 xtxt称称x0是方程是方程(1)的的稳定平衡点稳定平衡点不求不求x(t), 判断判断x0稳定性的方法稳定性的方法直接法直接法)2()(00 xxxFx(1)的近似线性方程的近似线性方程)1 (),2(0)(00对稳定xxF)1 (),2(0)(00对不稳定xxF6.1 捕鱼业的

2、持续收获捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。产前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔渔场鱼量将保持不变场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xhxfxF记

3、产量模型产量模型假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下捕捞情况下渔场鱼量满足渔场鱼量满足 不需要求解不需要求解x(t), 只需知道只需知道x(t)稳定的条件稳定的条件r固有增长率固有增长率, N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度捕捞强度x(t) 渔场鱼量渔场鱼量0)(xF0),1 (10 xrENxErxFrExF)(,)(10产量模型产量模型ExNxrxxFtx)1 ()()( 平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0

4、)(10 xFxFrEx0 稳定稳定, 可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定, 渔场干枯渔场干枯E捕捞强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型产量模型在捕捞量稳定的条件下，在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大控制捕捞强度使产量最大图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)(xFP的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点2/*0*rxhEmy=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量)4/, 2/(*0*rNhNxPm产量最大产量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0

5、*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半cErEpNEESETER)1 ()()()()1 (4222NpcrNhRcEpExSTR效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大强度使效益最大.)/1 (0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22)1 (rENxRR渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cEEsS(E)T(E)0rE捕捞捕捞过度过度 封闭式捕捞封闭式捕捞追求利润追求利润R(E)最大最大 开放式捕捞开放式捕捞只求利润只求利润R(E) 0cErEpNEESETER)1 ()()()(R(E)=0时的捕捞强度时的捕捞强度(临界强度临界强度)