专题二十九--与圆有关的计算

1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力2345 结合近几年中考试题分析，圆的有关计算的内容考查结合近几年中考试题分析，圆的有关计算的内容考查主要有以下特点：主要有以下特点： 1.1.命题方式为弧长、扇形面积的相关计算，圆柱展开命题方式为弧长、扇形面积的相关计算，圆柱展开图的相关计算，圆锥展开图的相关计算，圆柱、圆锥的体图的相关计算，圆锥展开图的相关计算，圆柱、圆锥的体积的计算，题型多以选择题、填空题的形式出现积的计算，题型多以选择题、填空题的形式出现. . 2. 2.命题的热点为阴影部分面积的求法，立体图形表面命题的热点为阴影部分面积的求法，立体图形表面最短距离的计

2、算最短距离的计算. .6 1. 1.本讲知识通过作图、识图、阅读图形本讲知识通过作图、识图、阅读图形, ,探索弧长、扇探索弧长、扇形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆形及其组合图形的面积计算方法和解题规律，正确区分圆锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本讲问题的关键锥及侧面展开图中各元素的关系是解决本讲问题的关键. . 2. 2.本讲出现的面积的计算往往建立在不规则图形上，本讲出现的面积的计算往往建立在不规则图形上，不易直接求出，因此，要将其转化为与其面积相等的规则不易直接求出，因此，要将其转化为与其面积相等的规则图形进行计算图形进行计算. .789101112131415弧长的计

3、算弧长的计算弧长的计算方法一般为：若弧对应的圆心角为弧长的计算方法一般为：若弧对应的圆心角为n n时，弧长时，弧长公公式为式为 ( (其中其中r r是圆的半径是圆的半径) )；当然有时也可以根据弧所；当然有时也可以根据弧所对的圆心角占整个圆周的比来计算相应的弧长对的圆心角占整个圆周的比来计算相应的弧长. .n r180l16【例例1 1】(2011(2011滨州中考滨州中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，B B9090，A=30A=30,AC,AC=4 cm=4 cm，将，将ABCABC绕顶点绕顶点C C顺时针方向顺时针方向旋转至旋转至ABCABC的位置，且的位置，且A A、C C、

4、BB三点在同一条直线三点在同一条直线上，则点上，则点A A所经过的最短路线的长为所经过的最短路线的长为( )( ) 168A 4 3 cm B 8 cm C cm D cm3317【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】选选D.D.点点A A所经过的最短路线所经过的最短路线12048 cm.1803181.(20101.(2010福州中考福州中考) )一个圆锥的底面半径为一个圆锥的底面半径为6 cm6 cm，圆锥侧，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为面展开图扇形的圆心角为240240，则圆锥的母线长为，则圆锥的母线长为( )( )(A)9 cm (B)12 cm (C)15 cm (D)18 cm(

5、A)9 cm (B)12 cm (C)15 cm (D)18 cm19【解析解析】选选A.A.圆锥的底面周长等于圆锥的侧面弧长，圆锥的圆锥的底面周长等于圆锥的侧面弧长，圆锥的底面周长为底面周长为2 26=12 (cm)6=12 (cm)，设圆锥的母线长为，设圆锥的母线长为x cm,x cm,则则 所以所以x=9.x=9.故选故选A.A.240 x12180，202.(20112.(2011綦江中考綦江中考) )如图，如图，PAPA、PBPB是是O O的的切线，切点是切线，切点是A A、B B，已知，已知P=60P=60，AO=3AO=3，那么那么AOBAOB所对弧的长度为所对弧的长度为( )(

6、 )(A)6 (B)5(A)6 (B)5(C)3 (D)2(C)3 (D)221【解析解析】选选D.D.因为因为PAPA、PBPB是是O O的切线，所以的切线，所以OAAPOAAP，OBBPOBBP，又因为，又因为P=60P=60，所以，所以AOB=120AOB=120，AOBAOB所所对弧的长度为对弧的长度为12032 .180 223.(20113.(2011绍兴中考绍兴中考) )一个圆锥的侧面展开图是半径为一个圆锥的侧面展开图是半径为4,4,圆圆心角为心角为9090的扇形，则此圆锥的底面半径为的扇形，则此圆锥的底面半径为_._.【解析解析】由题意可得圆锥的侧面展开图的圆弧的长为：由题意可

7、得圆锥的侧面展开图的圆弧的长为： 4 422，圆锥的底面周长为：圆锥的底面周长为：2r=2,r=1.2r=2,r=1.答案：答案：1 190180234.(20114.(2011聊城中考聊城中考) )如图，圆锥如图，圆锥的底面半径的底面半径OBOB为为10 cm,10 cm,它的侧面它的侧面展开图的半径展开图的半径ABAB为为30 cm30 cm，则这个，则这个扇形的圆心角扇形的圆心角的度数是的度数是_._.24【解析解析】设扇形的圆心角设扇形的圆心角的度数是的度数是n n，则，则2210=10=解得解得n n120.120.答案：答案：120120n30,18025扇形的面积扇形的面积扇形的

8、面积的计算方法一般有：扇形的面积的计算方法一般有：(1)(1)若扇形的弧所对的圆心角若扇形的弧所对的圆心角为为n n，则扇形的面积，则扇形的面积 (r(r为圆的半径为圆的半径) )；(2)S= (2)S= lr(r(l为扇形弧长，为扇形弧长，r r为圆的半径为圆的半径).).利用扇形的面积可以计算弓形的面积，当扇形的圆心角为锐利用扇形的面积可以计算弓形的面积，当扇形的圆心角为锐角时，弓形的面积等于扇形的面积减去扇形所含三角形的面角时，弓形的面积等于扇形的面积减去扇形所含三角形的面积；当扇形的圆心角为钝角时，弓形的面积等于扇形的面积积；当扇形的圆心角为钝角时，弓形的面积等于扇形的面积加上弓形所含

9、三角形的面积加上弓形所含三角形的面积. .2n rS3601226【例例2 2】(2010(2010珠海中考珠海中考) )如图，如图，O O的半径等于的半径等于1 1，弦，弦ABAB和和半径半径OCOC互相平分于点互相平分于点M.M.求扇形求扇形OACBOACB的面积的面积.(.(结果保留结果保留)27【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】弦弦ABAB和半径和半径OCOC互相平分，互相平分，OCABOCAB，OM=MC= OM=MC= OC= OA OC= OA，在，在RtRtOAMOAM中，中，sinA= A=30sinA= A=30，又又OA=OBOA=OB，B=A=30B=A=30，A

10、OB=120AOB=120，S S扇形扇形1212OM1OA2 ，1201.3603285.(20105.(2010常德中考常德中考) )如果一个扇形的弧长等于它的半径，如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为那么此扇形称为“等边扇形等边扇形”，则半径为，则半径为2 2的的“等边扇形等边扇形”的面积为的面积为( )( )(A) (B)1 (C)2 (D)(A) (B)1 (C)2 (D)【解析解析】选选C.C.根据扇形的面积公式根据扇形的面积公式S= S= 可得可得S= S= 2 22=2.2=2.故选故选C.C.231R,2l12296.(20116.(2011泉州中考泉州中考) )如

11、图，有一直径为如图，有一直径为4 4的圆的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为6060的扇形的扇形ABC.ABC.那么剪下的扇形那么剪下的扇形ABC(ABC(阴影部分阴影部分) )的的面积为面积为_；用此剪下的扇形铁皮围成一个；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径圆锥，该圆锥的底面圆的半径r r_._.30【解析解析】连接连接BC,BC,则得等边则得等边ABCABC，连接，连接OAOA，过点，过点O O作作O OACAC于点于点D D，则，则OADOAD3030，ADADCDCD，ODOD1,AO1,AO2 2，ADADACAC S S阴影阴影

12、 22，圆锥的底面周长为扇形的弧长，圆锥的底面周长为扇形的弧长，设底面半径为设底面半径为x x，则，则x= x= 22答案：答案：3，2 3，1622 31632 3,x.3 32 3317.(20117.(2011江津中考江津中考) )如图，点如图，点A A、B B、C C在直在直径为径为 的的O O上，上，BACBAC4545，则图中阴，则图中阴影部分的面积等于影部分的面积等于_.(_.(结果中保留结果中保留).).2 332【解析解析】连接连接OBOB、OCOC，则，则BOCBOC2BAC2BAC9090，所以阴影，所以阴影部部分的面积等于分的面积等于答案：答案：2OBCBOC90313

13、6SS33.36024扇形364338.(20108.(2010巴中中考巴中中考) )如图所示，以六边形的每一个顶点为如图所示，以六边形的每一个顶点为圆心，圆心，1 1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为为半径画圆，则图中阴影部分的面积为_._.34【解析解析】设六边形的六个内角的度数分别为设六边形的六个内角的度数分别为n n1 1，n n2 2, , ,n n6 6，则，则n n1 1+n+n2 2+ +n+n6 6=(6=(62)2)180=720180=720，阴影部分面积为阴影部分面积为答案：答案：22612612n(nnn )nn7202 .360360360360360 35圆柱、圆

14、锥的侧面积、全面积圆柱、圆锥的侧面积、全面积圆柱和圆锥的侧面积指的是它们的侧面展开图的面积圆柱和圆锥的侧面积指的是它们的侧面展开图的面积, ,圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，展开矩形的长和宽分别是底面圆的的侧面展开图是矩形，展开矩形的长和宽分别是底面圆的周长和圆柱的高；而圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半周长和圆柱的高；而圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线的长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长；径是圆锥的母线的长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长；圆柱、圆锥的全面积是它们的侧面积和底面积的和圆柱、圆锥的全面积是它们的侧面积和底面积的和. .36【例例3 3】(2010(2010铜仁中考铜仁中考)

15、 )如图，已知在如图，已知在O O中，中，AB= ACAB= AC是是O O的直径，的直径，ACBDACBD于于F F，ABD=60ABD=60. .(1)(1)求图中阴影部分的面积；求图中阴影部分的面积；(2)(2)若用阴影部分围成一个圆锥侧面，若用阴影部分围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径请求出这个圆锥的底面圆的半径. .2 3，37【思路点拨思路点拨】38【自主解答自主解答】(1)(1)过点过点O O作作OEABOEAB于点于点E E，则则AE= AB=AE= AB=ABD=60ABD=60,ACBD,A=30,ACBD,A=30, ,在在RtRtAEOAEO中，中，cos3

16、0cos30= =又又OA=OB.ABO=30OA=OB.ABO=30.BOC=60.BOC=60. .ACBD, COD=BOC=60ACBD, COD=BOC=60, ,BOD=120BOD=120. .123.AE,OAAE3OA2.cos3032BCCD,22120OA1204S2.3603603阴影39(2)(2)设圆锥的底面圆的半径为设圆锥的底面圆的半径为r,r,则周长为则周长为2r.2r.12022 r2.r.1803 409.(20119.(2011宁波中考宁波中考) )如图，如图，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ACACBCBC 若把若把RtRtABCABC

17、绕边绕边ABAB所在直线旋转一周，则所得几何体所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为的表面积为( )( )(A)4 (B)(A)4 (B)(C)8 (D)(C)8 (D)2 2，4 28 241【解析解析】选选D.D.由题意可得，所得几何体为两个倒扣的圆锥，由题意可得，所得几何体为两个倒扣的圆锥，圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为 所以表面积所以表面积为为 故选故选D.D.22 2 cos452 22,222 228 2 .4210.(201010.(2010湖州中考湖州中考) )如图，已知在如图，已知在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90,AB=3,BC=5,AB=3,BC=

18、5,若把若把RtRtABCABC绕直线绕直线ACAC旋转一周，则旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于所得圆锥的侧面积等于( )( )(A)6 (B)9(A)6 (B)9(C)12 (D)15(C)12 (D)15【解析解析】选选D.D.圆锥的侧面积圆锥的侧面积=BC=BCAB=15.AB=15.4311.(201111.(2011德州中考德州中考) )母线长为母线长为2 2，底面圆的半径为，底面圆的半径为1 1的圆锥的圆锥的侧面积为的侧面积为_._.【解析解析】由题意可得，圆锥底面圆周长为由题意可得，圆锥底面圆周长为22，所以圆锥的，所以圆锥的侧侧面积为面积为 2 22=2.2=2.答案：答案：2

19、2124412.(201012.(2010盐城中考盐城中考) )已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为3 3，侧面积为，侧面积为1515，则这个圆锥的高为，则这个圆锥的高为_._.【解析解析】因为圆锥的底面半径为因为圆锥的底面半径为3 3，所以底面周长为，所以底面周长为66，侧面积为侧面积为1515，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的母线长为5 5，所以圆锥的高为，所以圆锥的高为4.4.答案：答案：4 44546与圆有关的阴影部分的计算与圆有关的阴影部分的计算在圆中的阴影部分几何图形，涉及的图形较多并且较为复在圆中的阴影部分几何图形，涉及的图形较多并且较为复杂，往往是一些基本图形的结合体，因此在

20、解决此类图形杂，往往是一些基本图形的结合体，因此在解决此类图形相关问题时，要善于分割图形，结合图形的基本性质求解相关问题时，要善于分割图形，结合图形的基本性质求解. .47【例例】(2010(2010宁波中考宁波中考) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦DEDE垂直平分半径垂直平分半径OAOA，C C为垂足，弦为垂足，弦DFDF与半径与半径OBOB相交于点相交于点P P，连，连结结EFEF、EOEO，若，若DE= DPA=45DE= DPA=45. .(1)(1)求求O O的半径；的半径；(2)(2)求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积. . 2 3，48【思路点拨思路点

21、拨】49【自主解答自主解答】(1)(1)直径直径ABDE,CE= DE= ,ABDE,CE= DE= ,DEDE平分平分AOAO，CO= AO= OE.CO= AO= OE.又又OCE=90OCE=90,CEO=30,CEO=30, ,在在RtRtCOECOE中，中，O O的半径为的半径为2.2.1231212CE3OE2.cos303250(2)(2)连结连结OF.OF.在在RtRtDCPDCP中，中，DPC=45DPC=45, ,D=90D=90-45-45=45=45, ,EOF=2D=90EOF=2D=90, ,SS扇形扇形OEFOEF= = 2 22 2=,=,S SOEFOEF=

22、= OEOEOF= OF= 2 22=2,2=2,SS阴影阴影=S=S扇形扇形OEFOEF-S-SOEFOEF=-2.=-2.90360121251(2011(2011湖州中考湖州中考) )如图，已知如图，已知ABAB是是O O的的直径，直径，CDAB,CDAB,垂足为垂足为E E，AOC=60AOC=60，OCOC2.2.(1)(1)求求OEOE和和CDCD的长；的长；(2)(2)求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积. .52【解析解析】(1)(1)在在OCEOCE中，中，CEO=90CEO=90，EOCEOC6060，OCOC2,2,OEOE OCOC1,1,CECEOACD,OACD

23、,CE=DE,CE=DE,CD=CD=(2)S(2)SABCABC= AB= ABCECE 4 4 = =S S阴影阴影 2 22 2- =2- =2-123OC3.22 3.121232 3,122 32 3.531.(20101.(2010南京中考南京中考) )如图，已知如图，已知ABCDABCD的的对角线对角线BD=4 cmBD=4 cm，将，将ABCDABCD绕其对称中心绕其对称中心O O旋转旋转180180，则点，则点D D所转过的路径长为所转过的路径长为( )( )(A)4 cm (B)3 cm (C)2 cm (A)4 cm (B)3 cm (C)2 cm (D) cm(D) c

24、m【解析解析】选选C.C.点点D D所转过的路径是以所转过的路径是以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径，为半径，圆心角为圆心角为180180圆弧的弧长圆弧的弧长. .542.(20102.(2010无锡中考无锡中考) )已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为2 cm2 cm，母线长，母线长为为5 cm5 cm，则圆锥的侧面积是，则圆锥的侧面积是( )( )(A)20 cm(A)20 cm2 2 (B)20 cm(B)20 cm2 2(C)10 cm(C)10 cm2 2 (D)5 cm(D)5 cm2 255【解析解析】选选C.C.因为圆锥的底面半径为因为圆锥的底面半径为2 cm2 cm，

25、所以其底面周，所以其底面周长为长为4 cm4 cm，因为圆锥的母线长为，因为圆锥的母线长为5 cm5 cm，所以圆锥的侧面，所以圆锥的侧面积为积为10 cm10 cm2 2. .563.(20103.(2010莱芜中考莱芜中考) )已知圆锥的底面半径长为已知圆锥的底面半径长为5 5，侧面展开，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )( )(A)2.5 (B)5 (C)10 (D)15(A)2.5 (B)5 (C)10 (D)15【解析解析】选选C.C.由题意可得圆锥的底面周长等于侧面展开后由题意可得圆锥的底面周长等于侧面展开后半半圆的弧长，设圆锥的母线长为圆的弧长，设圆锥