矩阵位移法知识讲解9.1~9.2

1、第第9章章 矩阵位移法矩阵位移法矩阵代数复习矩阵代数复习1 1、矩阵定义、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为的元素排列为m 行和行和n列，称为列，称为m n 阶矩阵。阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMO ML2 2、方阵、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为时，称为n 阶方阵。阶方阵。3 3、行矩阵和列矩阵、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=aaaan111

2、2131 由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：12111naaaAM4 4、纯量、纯量仅由一个单独的元素所组成的仅由一个单独的元素所组成的1 1 1 1阶矩阵称为纯量。阶矩阵称为纯量。5 5、矩阵乘法、矩阵乘法两个规则：两个规则：（1 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplm pl nm n =当当时才能相乘时才能相乘A B=aaaabb111221221121共形共形2 2 21B A=bbaaaa112111122122非非共形共形 21 2 2（2 2）不具有交换律，即）不具有交换律，即 AB BA6 6、转置

3、矩阵、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132其转置矩阵为其转置矩阵为ATaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若矩阵之乘积。若A=B C D则则AT=DTCTBT7 7、零矩阵、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0 0表示。表示。若若AB=0，但不一定但不一定A=0或或B=0。8、对对角角矩矩阵

4、阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如： D=aaamm1122000000000000O9、单位矩阵单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如 I =100001000000001O任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI =AIA =A10、逆矩阵、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若。例如，若AB =C则B=A-1C此处此处A-1称为矩阵称为矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：

5、一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A-1= A-1A =I矩阵求逆时必须满足两个条件：矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。）矩阵是一个方阵。（2 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵、正交矩阵若一方阵若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则交矩阵，则A =cossins

6、incosaaaa-正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1= AT7为什么要学习矩阵位移法为什么要学习矩阵位移法? ? 现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的因此需要借助于因此需要借助于计算机计算机来完成来完成电算工作电算工作，也即需要通过，也即需要通过来进行结构受力分析。来进行结构受力分析。 当今众多著名的结当今众多著名的结构分析程序都是基于构分析程序都是基于有有限元思想限元思想开发的，而矩开发的，而矩阵位移法也被称为阵位移法也被称为杆件杆件结构的有限元方法结构的有限元方法。软件名称软件名称简介简介MSC/

7、Nastran著名结构分析程序，著名结构分析程序，最初由最初由NASA研制研制MSC/Dytran动力学分析程序动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件非线性分析软件通用结构分析软件通用结构分析软件ADINA非线性分析软件非线性分析软件非线性分析软件非线性分析软件对于杆件繁多的复杂杆系结对于杆件繁多的复杂杆系结构，需要借助于现代结构分析构，需要借助于现代结构分析程序完成结构计算，其基本理程序完成结构计算，其基本理论就是论就是基于矩阵位移法的思想基于矩阵位移法的思想 矩阵位移法的矩阵位移法的理论基础理论基础是传统的位移法是传统的位移法，只是它的，只是它的表达形式采用矩阵代表达形式采用矩阵代数

8、数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。矩阵位移法的基本思路矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的基本步骤是矩阵位移法的基本步骤是 （1）结构的离散化；（）结构的离散化；（2）单元分析；（）单元分析；（3）整体分析，）整体分析，任务任务意义意义单元分单元分析析建立杆端力与杆端位移间建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成的刚度方程，形成单元刚单元刚度矩阵度矩阵用矩阵形式表示杆件用矩阵形式表示杆件的转角位移方程的转角位移方程整体整体分析分析由由变形条件变形条件和和平衡条件平衡条件建建立结点力与结点位移间的立结点力与结点位移间

9、的刚度方程，形成整体刚度刚度方程，形成整体刚度矩阵矩阵用矩阵形式表示位移用矩阵形式表示位移法基本方程法基本方程9.1 引引 言言指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标的表示单元编号、杆端编号和局部坐标，局部坐标的x坐标与杆轴重合；坐标与杆轴重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆

10、端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部坐标局部坐标1 12 21u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位移编号1 12 21X1Y1M2M2X2Y杆端力编号杆端力编号(c)(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：一般单元：121u1v122u2v121X1Y1M2M2X2Y )(222111)()6() 5()4() 3()2() 1 ()(eeevuvu )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeeMYXMYXFFFFFFF（1 1）单元杆端位移向量）单元杆端位移向量（2 2）单元杆端力向量）

11、单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。9.2 单元分析单元分析任务任务意义意义单元分单元分析析建立杆端力与杆端位移间建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成的刚度方程，形成单元刚单元刚度矩阵度矩阵用矩阵形式表示杆件用矩阵形式表示杆件的转角位移方程的转角位移方程 单元分析：对杆件轴线上无直接荷载作用、仅在端部受力的杆件进单元分析：对杆件轴线上无直接荷载作用、仅在端部受力的杆件进行力学分析，找出两端所有杆端力和所有杆端位移之间的线性变换关行力学分析，找出两端所有杆端力和所有杆端位移之间的线性变换关系，并以矩阵形式表达

12、出来。系，并以矩阵形式表达出来。 这种物理性质的方程，通称单元刚度方程，而其变换矩阵则成为单这种物理性质的方程，通称单元刚度方程，而其变换矩阵则成为单元刚度矩阵。元刚度矩阵。9.2.1 轴力杆单元轴力杆单元9.2 单元分析单元分析N11N22- -EAEAFullFuEAEAll eeeFkN112N212()()- -EAFuulEAFuul虎克虎克定律：定律：矩阵矩阵表达表达引入引入TN1N2 eFFFT12 euu单元单元刚度刚度方程方程11 11eEAkl-轴力杆件的轴力杆件的单元刚度矩阵单元刚度矩阵轴力杆单元主要用于轴力杆单元主要用于平面桁架的矩阵分析平面桁架的矩阵分析9.2.2 平

13、面弯曲杆件单元平面弯曲杆件单元9.2 单元分析单元分析基于转角位移方程可建立基于转角位移方程可建立杆端力与杆端位移的关系杆端力与杆端位移的关系：1121221212Q1Q212122266426624661212iiMiivvlliiMiivvlliiiiFFvvllll- -22Q1111Q22222212612666421261266624iiiillllFviiiiMllFviiiillllMiiiill-矩阵矩阵表达表达 eeeFk9.2.2 平面弯曲杆件单元平面弯曲杆件单元9.2 单元分析单元分析22221261266642 1261266624eiiiilllliiiillkiii

14、illlliiiill-只与杆件只与杆件本身性质本身性质有关有关, 与外与外荷载无关荷载无关单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵的性质 单元刚度系数的物理意义单元刚度系数的物理意义kij代表单元杆端代表单元杆端第第j个位移分量等个位移分量等于于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量个杆端力分量。 根据反力互等定理，单元刚度矩阵根据反力互等定理，单元刚度矩阵ke恒为对称矩阵恒为对称矩阵 用直接展开方法不难从数学上证明，单元刚度矩阵用直接展开方法不难从数学上证明，单元刚度矩阵ke的行列式为的行列式为0，因此因此ke是奇异矩阵，不存在逆矩阵。即已知杆端位移向量可以求得对是奇异矩阵，不存在逆矩阵。即已知杆

15、端位移向量可以求得对应的杆端力向量，但如果给定力向量，则不能求出杆端位移向量的唯一应的杆端力向量，但如果给定力向量，则不能求出杆端位移向量的唯一解。这是因为，无支承约束的自由杆件，除去弹性变形外，还存在刚体解。这是因为，无支承约束的自由杆件，除去弹性变形外，还存在刚体位移，后者单凭静力平衡条件是无法确定的。位移，后者单凭静力平衡条件是无法确定的。9.2.3一般平面杆件单元一般平面杆件单元9.2 单元分析单元分析由小变形线弹性理论，由小变形线弹性理论，忽略轴向、弯曲受力之间的耦联关系忽略轴向、弯曲受力之间的耦联关系，其刚度方程可，其刚度方程可由轴力单元与平面弯曲单元由轴力单元与平面弯曲单元组装而

16、成组装而成：11 11eEAkl-22221261266642 1261266624eiiiilllliiiillkiiiilllliiiill-TN1Q11N2Q22 eFFFMFFMT111222 euvuv杆端力向量与杆端位移向量杆端力向量与杆端位移向量2222000012612600660402 000012612600660204-eEAEAlliiiilllliiiillkEAEAlliiiilllliiiill eeeFk9.2.3一般平面杆件单元一般平面杆件单元9.2 单元分析单元分析 刚度矩阵的分块表达刚度矩阵的分块表达EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l

17、3 12EI l34EI l2EI l ek(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u 11v 1121u 21v 21 eeeFk 通过单元刚度方程可由单元通过单元刚度方程可由单元杆端位移求单元杆端力。杆端位移求单元杆端力。 111112212222eeeeeeeeFkkkkF112001260604eeEAliiklliil222001260604eeEAliiklliil-

18、T12212001260604eeeEAliikklliil-例例1 试求图所示刚架中杆和杆在试求图所示刚架中杆和杆在局局部坐标系中的单元刚度矩阵部坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆。已知各杆的几何物理参数分别为：的几何物理参数分别为：61110.3125 10EIikN ml62220.25 10EIikN ml6113.75 10/EAkN ml6223 10/EAkN ml 一般平面杆件的单元一般平面杆件的单元例例1 试求图所示刚架中杆和杆在试求图所示刚架中杆和杆在局局部坐标系中的单元刚度矩阵部坐标系中的单元刚度矩阵。已知各杆。已知各杆的几何物理参数分别为：的几何物理参数分别为：61110.3125 10EIikN ml62220.25 10EIikN ml6113.75 10/EAkN ml6223 10/EAkN ml 一般平面杆件的单元一般平面杆件的单元(1)63.75003.750000.2340.46900.2340.46900.4691.2500.4690.625 103.75003.750000.2340.46900.2340.46900.4690.62500.4691.25k-(2)63.0003.00000.120.300.120.300.31.000.30