机械工程控制基础chapter4(系统的频率特性析)

1、第四章 系统的频率特性分析本章内容本章内容1)( TsKsG)sin(11)(22/22arctgTtTKXeTKTXtxiioTt22)( sXsXii)sin(1)(22 arctgTtTKXtxio 221)()()(sXTsKsXsGsXiiojsajsaTsa3211)sin(1)(22 arctgTtTKXtxio ioXXA)()( 用相量表示：用相量表示：二、如何通过传递函数求系统的频率响应和频率特性122212()()()( )( )( )()()()moinszszszXXsG s X sspspsps1212( )()()()( )( )()()()ominXsszszs

2、zG sX sspspsp考虑线性定常系统：于是通过系统传递函数可求得： 22)( sXsXiijsAjsApsAsXniiio*1)(假设系统无重极点，则：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio*1212( )nonAAAAAXssjsjspspsp*,A A其中为一对待定共轭复常数Ai(i = 1, 2, , n)为待定常数。12*12( ) (0)np tp tp tj tj tonx tAeA eAeA eA et从而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkrketjj如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有类似：的这

3、样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。因此，系统的稳态响应为：*( )j tj tox tAeA e*22()( )()2sjXX G jAG ssjsj)()()()()(jjejGejGjGjjGXjssXsGAjs2)()()(22其中：)(Re)(Im)()()()()(jGjGarctgjGejGjGj由于：jeejGXtxtjtjo2)()()()(因此：)(sin)(tjGX)(sin)()(tjGXtxotXtxisin)( )()()()()( jGjGXXAioq 频率响应：系统对谐波输入信号的稳态响应。q 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时

4、，其稳态输出随频率而变化(由0变到)的特性。q 幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变化特性，记为A()。q 相频特性：当由0到变化时，G(j)的变化特性称为相频特性，记为()。幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。 )(sin)()(tjGXtxo三、频率响应和频率特性的求法)()()(sXsXsGio1).根据系统的频率响应来求频率特性因为，22( )siniiiXX sL Xts所以， 从xo(t)的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位,然后可求出幅频特性和相频特性.)()()(sXsGsXio122( ) ( )ioXx tLG ss)()()(1sXsGLtxio22)(,1)

5、(sXsXTsKsGii，)()(221sXsGLtxioTTKXXAioarctan)(1)()(22例如：系统的传递函数：于是：则稳定输出（频率响应）：故系统的频率特性为：)arctansin(1)(22TtTKXtxioTjeTKarctan221,或若K=1，绘制的频率特性如下图所示： xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。 1)(TsKsG例:求一阶系统的频率特性及在正弦输入信号1)()(jTKsGjGjs解： 221)()(TKjGATarctgjG)()( 系统的频率特性就是将传递函数G(s)中s换成j求得系统的频率特性G(j)。因此G(j)也叫做谐波传递函数。jarctgT

6、eTK122jarctgTeTK12222( )() sin()sin()1ox tX G jtG jXKtarctg TT对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率响应的定义：221)()(TKjGATarctgjG)()( 【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin 2t时系统的稳态输出y(t)。 解：系统的频率特性=2时，则系统稳态输出为：y(t)=0.35*2sin(2t-45o ) =0.7sin(2t-45o)BBj(j)( )sGGs B( )1( )1( )2G sGsG ssB1(j )j2G 2212A arc

7、tan(2) 0.35A o45 四、频率特性的特点 q 频率特性是频域中描述系统动态特性的数学模型。 q 分析方便:q 易于实验提取。 解析表示第二节 频率特性的图示法 用相量表示：用相量表示：1、（幅频相频） 2、（实频虚频） 用欧拉公式展开：用欧拉公式展开：1、 Nyquist曲线 在复平面上，随（0 ）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图。 图示法:向量G(j)的长度等于A()（|G(j)|）；由正实轴沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()(G(j)）。 向量G(j)在实轴的投影U()、虚轴的投影V()分别

8、称为系统的实频特性和虚频特性。显然：)()()()()()(22UVarctgVUA( )V( )U因此绘制Nyquist图有两种方法： 1、幅值相角法 2、虚频实频法。注意：注意：NyquistNyquist图中包含三个要素：图中包含三个要素：1、起点和终点（如果存在）；2、向量的端点轨迹；3:频率从大到小的变化趋势。1、比例环节 三、典型环节的(Nyquist)图传递函数：G(s) = K频率特性：G(j) = K = Kej0幅频特性：A() = K相频特性：() = 0幅相频率特性(Nyquist) ImRe , j0K0 2、 积分环节 传递函数：ssG/1)(频率特性：211)(j

9、ejjG幅频特性：/1)(A相频特性： () = -90实频特性：0)(U虚频特性：1)(V 积分环节的Nyquist图 0ReIm =0 =3、理想微分环节 传递函数：ssG)(频率特性：2)(jejjG幅频特性：)(A相频特性： () = 90 理想微分环节的Nyquist图 0ReIm =0 =4、惯性环节 传递函数：11)(TssG频率特性：jarctgTeTTjjG221111)(相频特性： () = - arctgT幅频特性：2211)(TA惯性环节幅相频率特性(Nyquist) 实频特性：221( )1UT虚频特性：22( )1TVT2222221111UUTUVVU惯性环节幅相

10、频率特性(Nyquist)是一个半园： 22UVU即：221124UV5、一阶微分环节 (导前环节) 传递函数：( )1G sTs频率特性：22()11jarctg TG jj TT e 幅频特性：22( )1AT相频特性： () = arctgT0ReIm =0 =221TarctgT1实频特性：1)(U虚频特性：TV)(6、振荡环节 传递函数：222( ),012nnnG sss 频率特性：22221()212nnnnnG jjj 22221- 2=12nnnnj实频特性：22221( )12P虚 频 特 性 ：2222( )12Qn其中：212j22221 212j 振荡环节的Nyqui

11、st图 1)0(A 0)0(q = 0时,=0: 1(),2nA90)(nq = n时,=1: 0)(A180)(q = 时,=: 2221( )12A幅 频 特 性 ：相 频 特 性 ：22( )1arctg ReIm =0n =021当从0变化时，A()从1开始最终衰减到零。1振荡环节的幅相频率特性 j1G0大小n1/ T1/20r 振荡环节的幅相频率特性的形状与有关， 当 较小时，曲线图形离实轴越远，也就是说幅值的变化范围越大。事实上，在 = r时，A()出现峰值，即发生谐振。()MaxrA谐振频率:r ;谐振峰值:AMax( r)210)(dtdAr令：由于：222211)(nnA22

12、2( )(1)(2) ,nfA()出现峰值相当于其分母：取得极小值。23228448)2()1 (2)( f令：32( )4480f 解得：212即：221nr2212=0 即： ，而r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐振的条件为： 707. 022谐振峰值：2121)(rrAM22221( )(1)4A 由于：221nr将： 代入幅频特性： 21242228421结论：1.当0.707时,A（)是单调衰减的，没有峰值。2.当=0.707时,A（r)=1,r=0。峰值出现在起点处。3.越小谐振越严重，r越接近n,当=0时,r=n。A（r)=, 这就是共振现象。谐振相位：221)(arctgr0

13、1 =21r()MaxrAn0 00.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 1 11.21.2 1.41.4 1.61.6 1.81.8 2 20 01 12 23 34 4 = 0.05= 0.05 = 0.15= 0.15 = 0.20= 0.20 = 0.25= 0.25 = 0.30= 0.30 = 0.40= 0.40 = 0.50= 0.50 =0.707=0.707 = 1.00= 1.00 / / n nA()q 谐振现象由于：221nr，越小，r越接近n。 1(),2nA而当 = n时,=1: 7、 二阶微分环节 传递函数：10, 12)(22sssGnn频率特

14、性：12)(22nnjjG幅频特性：222)2()1 ()(A相频特性：212)( arctg实频特性：21)(P2)(Q虚频特性： 二阶微分环节的Nyquist图 1)0(A 0)0(q = 0时,=0: 2)(A 90)(q = n时,=1: )(A180)(q = 时,= 222)2()1 ()(A212)( arctgRe0Nyquist 图 = n2， =0,1 = =1800 8、延迟环节 传递函数：sesG)(频率特性：jejG)(幅频特性：1)(A相频特性：( ) 实频特性：( )cosP( )sinQ虚频特性：01 =0ReImNyquist 图四、系统开环Nyquist图的

15、绘制 基本步骤q 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：)()()()(21sGsGsGsGn)()(2)(1)()()()()()(21njnjjjeAeAeAeAjGq 求系统的频率特性：)()()(2121)()()(njneAAAq 求A(0)、(0)；A()、()q 补充必要的特征点(如与坐标轴的交点,也就是算出实频和虚频)，根据A()、() 的变化趋势，画出Nyquist 图的大致形状。 示例例1：已知系统的开环传递函数如下：) 1)(1)(1()()(321sTsTsTKsHsG试绘制系统的开环Nyquist图。)()()()()()()()(2121nnAAAA即：解：)

16、 1)(1)(1()()(321TjTjTjKjHjG232222212111)(TTTKA221)(arctgTarctgTarctgT 0： A(0)K ： A()0(0)0()270()()ReImG jH jj令Re=0求出,再代如Im求出B点。再令Im=0求出,再代如Rm求出A点。0ReImK =00ReImK =0AB解：q 例2：已知系统的开环传递函数如下：)12 .0)(15 .0(10)()(ssssHsG绘制系统开环Nyquist图并求与实轴的交点。) 12 . 0)(15 . 0(10)()(jjjjHjG)04. 01)(25. 01 (10)(22A2 . 05 .

17、090)(arctgarctg232210(0.11)()00.49(0.11)jVNyquist图与实轴相交时：解得：16. 310 j10（ 舍去）2227()0.49(0.11)U又：解得：10()1.437jU -70ReIm0)04. 01)(25. 01 (10)(22A2 . 05 . 090)(arctgarctg 0： A(0) ： A()0(0)90()270-1.43A 0：A()0,U()=7,V(0)=q 例3：已知系统的开环传递函数如下:12122(1)( )( ),()(1)K T sG s H sTTsT s绘制系统的开环Nyquist图。)1 ()1 ()(2

18、222221TTKA解：) 1() 1()()(221TjTjKjHjG1221( )180,()arctgTarctgTTT 0： A(0),(0)180 ： A()0,()180ImRe=0若传递函数含有导前环节时，相位可能非单调变化，Nyquist轨迹发生弯曲！若T1T2，Nyquist轨迹会是什么样？ Nyquist图的一般形状1、考虑如下系统：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq 0型系统（v = 0） 0:A(0)K :A()0(0)0()(nm)90只包含惯性环节的0型系统Nyquist图ReIm0n-m=1n-

19、m=20 Kn-m=3n-m=4q开环不含有积分环节系统， n m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点，以幅角为(nm)90终于零点。q I型系统（v = 1） 0： ：(0)90()(nm)90A()0A(0)，2、考虑如下系统：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(2121mnTjTjTjjjjjKjGvnvmReIm00n-m=1n-m=2n-m=3n-m=4q II型系统（v = 2） ：()(nm)90A()0 0：(0)180A(0)0ReIm0n-m=2n-m=3n-m=43、考虑如下系统：)()1 ()1)(1 ()()1 ()1)(1 ()(212

20、1mnTjTjTjjjjjKjGvnvmq开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处, 以()(nm)90止于零点。五、波德(Bode)图（对数频率特性图）)(lg20)(AL)(1、对数幅频特性图：2、对数相频特性图： 当A()=1 ，L()=20LgA()=0（输出幅值输入幅值）；当A()1, L()0时（输出幅值输入幅值(放大)；当A()1， L()0时，（输出幅值输入幅值(衰减)。横坐标和纵坐标对数分度纵坐标线性分度123 41020401001000 123 41020401001000 ()()LdB 2倍倍2倍倍10倍倍10倍倍10倍倍(dec)200

21、0 0lg() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0.301 0.477 0.602 0.699 0.788 0.845 0.903 0.954 12倍倍10倍倍(dec)q 几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般只标注的自然数值； 在对数频率特性图中，角频率 变化的倍数往往比其变化的数值更有意义。为此通常采用频率比的概念：频率变化十倍的区间称为一个十倍频程，简写为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二倍频程，简写为oct。它们也用作频率变化的单位。 通常用L()简

22、记对数幅频特性，也称L()为增益；用()简记对数相频特性。 对数坐标的优点 幅值相乘、相除，变为相加，相减，简化作图； 对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范围; 两个系统或环节的频率特性互为倒数时，其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称，相频特性曲线关于零度线对称; )(1)()(jejGjG若：)()(2)(1)(1)(jjejGejGjG)(lg20)(1jGL)(lg20)(1lg20)(2jGjGL1、典型环节Bode图1、比例环节 对数幅频特性：L()=20lgK对数相频特性：() = 0( )0 20lg20lgLAK ,L 20lgK00 ,L 20lgK002、 积分环节 传递函数：

23、,/1)(ssG 积分环节的Bode图 -40-200200-45-90-135-1800.1110100L()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec对数幅频特性：( )20lgL 对数相频特性： () = -90频率特性：211)(jejjG当=0.1，L()=-20dB; 当=1，L()=0dB; 当=10，L()=20dB; 3、理想微分环节 传递函数：ssG)(-2002040045901351800.1110100L()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)20dB/dec 理想微分环节的Bode图 对数幅频特性：log20

24、)(L，对数相频特性：() = 904、惯性环节 相频特性： () = - arctgT幅频特性：2211)(TA对数幅频特性：)1 (log20)1 (log20)(2222TTLBode Diagram (rad/sec) )-30-30-20-20-10-100 010101L L()/ (dB)0.110q 低频段( 1/T ) 即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。TTLlg201lg20)(22惯性环节对数幅频特性是一条曲线，在工程上用渐近线表示： q 转角频率（=T1/T ) 低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点1/T，称为转角频率。Bode Dia

25、gram (rad/sec) )-30-30-20-20-10-100 01010-90-45-450 01/TL L()/ (dB) ()渐近线-20dB/dec实际幅频特性转角频率q 相频特性： () = - arctgTq 相频特性： () = - arctgTT0.010.050.10.20.30.40.50.71.0- 0.602.905.7011.3016.7021.8026.60350450T2.03.04.05.07.0102050100- 63.4071.5076078.7081.9084.3087.1088.9098.40Bode Diagram (rad/sec) )-9

26、0-45-450 01/T ()相频特性的特点：奇对称性，改变转角频率曲线相应左右平移但形状保持不变。q 渐近线误差(实际曲线与各自渐近线之差)TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222在转角频率处，L()=-10lg2 -3dB，()-45。为了便于分析这里用频率比的概念。取T=1/T,当等于0.1T和10 T，L()= 0.04dB接近为0,所以在此范围内对渐近线进行修正。-4-3-2-100.1110T转角频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线TT取等于0.5T和2 T，L()= 0.91dB接近为1dB。2211lg20T5、一阶微分环节 (导前环节) 对数相频特

27、性： () = arctgT对数幅频特性：22( )20log 1LT 一阶微分环节的Bode图 注意到一阶微分环节与惯性环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。显然，一阶微分环节的对数幅频特性曲线也可由渐近线近似描述。0 10 2030904501/TL()/ (dB)()Bode Diagram (rad/sec)0.1/T10/T转折频率实际幅频特性渐近线20dB/dec6、振荡环节 2221( )12A幅 频 特 性 ：相 频 特 性 ：22( )1arctg 传递函数：222( ),0

28、12nnnG sss频率特性：22221()212nnnnnG jjj n其中： 振荡环节的Bode图 222()20 lg12L q 对数幅频特性 低频段( n,1)222()20 lg12L 即高频渐近线为斜率为-40dB/dec 的直线。两条渐近线的交点为n。即振荡环节的转角频率等于其无阻尼固有频率n 。1,)2(1lg200),(222e222(,)40 lg20 lg12,1e q 渐近线误差(实际曲线与各自渐近线之差)222(,)40 lg20 lg12,1e n其中：(1,)20 lg 2,e 特别是当=1时： 由于渐近线忽略了的影响，渐近线的的误差将随有很大的变化。越小，误差越

29、大。另外，由于：221nr越小，谐振频率越接近n。1,)2(1lg200),(222e我们定义实际幅频特性曲线与各自的渐近线间的差值为误差：低频段误差：高频段误差：显然在靠近1时，误差逐步增大，而当靠近1时，误差决定于： 。2)2(lg20-40-30-20-1001020L()/ (dB)-40dB/dec-40dB/dec = 0.3= 0.3 = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2渐近线渐近线Bode 图1 1 / / n n简单的修正方法是在转角频率附近计算几个点，如：=n时,。2lg20)(nL=r时,。212lg

30、20)(rL又，低频段和高频段的误差是关于=1对称的：,)2(1lg20),(2222nLnLe,)2(1lg20),(2222HnHne-180-135-90-4500.11 11010 / / n n() / (deg) = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2 = 0.3= 0.322()1arctg q 对数相频特性90)(n180)( 0)0(易知：相频特性的特点：曲线的形状与有关，当较小时，相位的变化主要发生在转角频率附近。奇对称性。改变转角频率曲线相应左右平移但形状保持不变。12arctg上式说明相频特性是关于=

31、1， 的奇对称图形。090) 1 (7、 二阶微分环节 传递函数：10, 12)(22sssGnn频率特性：12)(22nnjjG 二阶微分环节的Bode图 222)2()1 (lg20)(L212)( arctg 注意到二阶微分环节与振荡环节的频率特性互为倒数，根据对数频率特性图的特点，二阶微分环节与振荡环节的对数幅频特性曲线关于 0dB 线对称，相频特性曲线关于零度线对称。40302010-0-10-20L()/ (dB)40dB/dec40dB/dec= 0.5= 0.5 = 0.3= 0.3= 1.0 = 1.0 = 0.7= 0.7= 0.2= 0.2 = 0.1= 0.1渐近线渐近

32、线Bode 图1 1 / / n n045 901351800.11 11010 / / n n() / (deg) = 0.5= 0.5 = 0.7= 0.7 = 1.0= 1.0 = 0.1= 0.1 = 0.2= 0.2 = 0.3= 0.30.1108、延迟环节 传递函数：sesG)(频率特性：jejG)(-600-500-400-300-200-10000.1/1/10/ (rad/s)() / (deg)L() / (dB)100-20-10第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法2、系统开环Bode图的绘制 考虑系统：)()()()(21sGsGsGsGn)()()(j

33、eAjG)()()(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法 例1已知系统的开环传递函数如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG试绘制系统的开环Bode图。解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系统开环包括了五个典型环节：第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法10)(1jG09031)(jejG15 . 0)(2jjG转角频率：2=2 rad/s1

34、21)(4jjG转角频率：4=0.5 rad/s10010100)(25jjG转角频率：5=10 rad/s第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法1234522( )( )( )( )( )( )1000.5902110010900.521100arctgarctgarctgarctgarctgarctg 1001001lg2041lg20lg2025. 01lg2010lg20)()()()()()(2222254321LLLLLL开环对数幅频及相频特性为：20dB-60-40-2002040L()/ (dB)L1L4L3L2L5-20第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的

35、图示法Bode 图-40-2010)(1sGssG1)(315 . 0)(2ssG121)(4ssG10010100)(25sssG (rad/sec)-600.1-270-180-900901100() / (deg) ( ) 1 23 4 5 2 4 5=10第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法 Bode图特点q 最低频段对数幅频特性曲线取决于比例环节和积分环节, 斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20v dB/dec。q最低频段的对数幅频特性可近似为：()20 lg20lgLvK 当1rad/s时,L()=20lgK，即最低频段的对数幅频特性或其延长线在1rad/s时的数值

36、等于20lgK。21222(1)( ()20lg)(1)(2)nvnnKTLT 第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法q 如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示，则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转角频率。q 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点，其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。 对惯性环节，斜率下降 20dB/dec；振荡环节，下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节，上升 40dB/dec。第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法 Bode图绘制步骤q 将开环传递函数表示为典型环节的串联：) 12

37、)(1() 1() 12)(1() 1()()(112211112211sTsTsTsTsssssKsHsGqqqqvppppq 确定各环节的转折频率：,2121TT并由小到大标示在对数频率轴上。q 计算20lgK，在1rad/s 处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左并相交于纵轴，得到最低频段的渐近线。第四章 系统的频率特性分析第二节 频率特性的图示法q 向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率。q 对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。q 相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。-20dB/d

38、ec-60-40-2002040L()/ (dB)0.1-270-180-900901100() / (deg) (rad/sec) 2=2 4=0.5 5=10Bode 图再看前面习题：-40-20-60L( )10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG 例2，已知系统的开环传递函数如下，试绘制系统的开环Bode 图。) 101. 0)(105. 0)(15() 15 . 0(100)()(sssssHsG解：开环增益K100，20lgK40各环节转折频率分别为：sradsradsradsradTTT/100/20/2/2 . 03211-180-135-90-4504590 (rad/sec)() / (deg)0.2220100Bode Diagram-80-60-40-200204060L()/ (dB)0-200-20-400.22201001、零频幅值A(0) 它表示当频率在接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。A（0）越接近于1，系统的稳态