有向曲面及曲面元素的投影

1、. 20.4一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系第二类曲面积分 .一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) .观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧.n0M 设曲面设曲面 是光滑曲面，是

2、光滑曲面， 是曲面上任一定点曲面是曲面上任一定点曲面0M 0M0M0Mn0Mn 在点在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择处有一条法线，它有两个可能的方向，选择其中之一为指定的法线方向，记为其中之一为指定的法线方向，记为 又设又设L是光滑是光滑曲面曲面 上过点上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从且不越过曲面边界的任意闭曲线，从而，当动点而，当动点M从从 出发沿闭曲线出发沿闭曲线L连续移动时，曲面连续移动时，曲面在点在点M的法线方向也随之连续变动若的法线方向也随之连续变动若M回到回到 时时得到的法线方向与得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面一致，则称光滑曲面 为双侧曲面为双侧曲面；若存

3、在这样一条闭曲线，当点若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后沿这条闭曲线移动后再回到点再回到点 时得到的法线方向与时得到的法线方向与 相反，则称曲面相反，则称曲面为单侧曲面为单侧曲面.n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面.莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:播放播放.方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧侧的规定表示 :其方向用法向量指向 指定了侧的曲面叫有向曲面, .曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .曲面的投影问题曲面的投影问题:

4、:在在有有向向曲曲面面上上取取一一小小块块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS曲曲面面 S yxS)(在 xoy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定类似可规定zxyzSS)( ,)(.二、概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量.( (2 2) ) 设设稳稳定定流

5、流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),(),(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo .xyzo iS ),(iii ivin 把把曲曲面面分分成成n小小块块is ( (is 同同时时也也代代表表第第i小小块块曲曲面面的的面面积积) ), ,在在is 上上任任取取一一点点),(iii , ,

6、1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in.该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为)., 2 , 1(niSnviii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 2. 求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量 niiiiSnv1.iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 3.3.取极限取极限0 .的

7、的精精确确值值取取极极限限得得到到流流量量 )(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP .定定义义 设设为为光光滑滑的的有有向向曲曲面面, ,函函数数在在上上有有界界, ,把把分分成成n块块小小曲曲面面iS ( (iS 同同时时又又表表示示第第i块块小小曲曲面面的的面面积积) ), ,iS 在在xoy面面上上的的投投影影为为xyiS )( , ,),(iii 是是iS 上上任任意意取取定定的的一一点点, ,如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在, ,则称此极限为函

8、数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面上在有向曲面上对对坐标坐标yx,的曲面积分的曲面积分( (也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分) )三、概念及性质三、概念及性质.记记作作 dxdyzyxR),(, ,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( 被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),( nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),( .设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yx

9、RxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积定义定义.引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd.存在条件存在条件:当当),(),()

10、,(zyxRzyxQzyxP在在有有向向光光滑滑曲曲面面上上连连续续时时, ,对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分存存在在. .组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( 物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( .性质性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2.四、计算法( (一投一投, , 二代二代,

11、,三定号三定号) ) 设积分曲面是由设积分曲面是由方程方程),(yxzz 所给所给出的曲面上侧出的曲面上侧, ,在在xoy面上的投影区域面上的投影区域为为xyD, ,函数函数),(yxzz 在在xyD上具上具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, ,被积函数被积函数),(zyxR在在上连续上连续. . ),(yxfz xyDxyzoxyS)( . nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),( ),(,)()(, 0cos,iiixyxyizS 又又取上侧取上侧 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim xyDdxdyyxzyxRdxdyzy

12、xR),(,),(即即.,)()(, 0cos,xyxyiS 取取下下侧侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(则有则有给出给出由由如果如果,),(xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .例例 1 1 计计算算 xyzdxdy其其中中是是球球面面1222 zyx外外侧侧在在0, 0 yx的的部部分分. .解解两部分两部分和和分成分成把把21 ;1:

13、2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 . 12xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212.1521cossin222 xyDrdrdrr .例2：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧dxdyzdzdxydydzx222czbyaxzyx0 ,0 ,0| ),(.五、两类曲面积分之间的联系 设设有有向向曲曲面面是是由由方方程程),(yxzz 给给出出, ,在在xoy面面上上的的投投影影区区域域为为xyD, , 函函数数),(yxzz 在在xyD上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导

14、数数, , ),(zyxR在在上上连连续续. .对对坐坐标标的的曲曲面面积积分分为为 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(xyD),(yxfz xyzodsn.有有向向曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为 在在点点),(zyx处处的的单单位位法法向向量量为为 cos,cos,cos n, , .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz .对面积的曲面积分为对面积的曲面积分为 xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),( 所所以以dSzyxRdxdyzyxR cos),(),( ( (注注意意取取曲曲面面的的两两侧侧

15、均均成成立立) )dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系.向量形式向量形式 dSAsdAdSnASdAn或或其中其中cos,cos,cos, nRQPA为为有向曲面上点有向曲面上点),(zyx处的单位法向量处的单位法向量, ,dxdydzdxdydzdSnSd 称 为称 为 有有 向 曲 面向 曲 面元元, ,nA为向量为向量A在在n上的投影上的投影. .yxz111例例3. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDy

16、xyxdd)1(22n.解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dSxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2. dxdyzxxzzdxdydydzxz)()(22 xyDdxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyDdxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11cos,1cos2222yxyxx .8 .六、小结1.1.对坐标曲面积分的物理意义对坐标曲面积分的物理意义2.2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.a.曲面的侧曲面的侧b.“b.“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”.莫比乌斯带

17、莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯

18、带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带.典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带. 4 第二曲面积分第二曲面积分.曲面的侧设一光滑曲面 的方程为其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面S的法线方向余弦为ss),(yxzz ),(yxzxyDDyzqxzp,1cos22qpp,1cos22qpq,11cos22qp .由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全

19、部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角。若光滑曲面S的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示),(zyxcos, 0coszz),(zxyy ),(zyxx ),(),(),(vuzzvuyyvuxx.的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与S的点是一一对应的。 于是曲面的法线方向余弦为其中 还要假

20、设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。SUVS,cos222CBAA,cos222CBAB,cos222CBAC.,vvuuvvuuvvuuyxyxCxzxzBzyzyASCBA,cos,cos,cos.二、第二类曲面积分的定义 设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上的单位法向量 ，又设 是一个向量其中 都是连续函数。按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ， 在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限 存在，并且此极限与点 的选取无关，又与

21、的划分无关，则称它是 SS0n),(zyxf,),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxfRQP,S), 2 , 1(niSiiS),(iiiiiiiiSnS),(0,),(1iniiiiSfiiS maxiniiiiSf),(lim10),(iiiS),(zyxf.性质即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于 又可将 写为其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有 ，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为dSzyxfdSzyxfSS另一侧某侧),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxf),(

22、),(),(),(dSdxdykdzdxjdydzidSdxdykdzdxjdydzi和,dSXOYZOXYOZ和,0dydx0dydx0dzdx0dzdxdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdSzyxfSS),(),(),(),(.若记曲面的单位法向量 为则有0nkjincoscoscos0dSRQPdSnfss)coscoscos(0.三、两类曲面积分间的联系由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式或者 上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积分。dSnfdSfss0ssdSRQPRdxdyQdzdxPdydz)coscoscos(.四、第二类曲面积分的计算计算第二类曲面积分 需视曲面 如何表示而定。1曲面 表示为若曲面 的方向选取为上侧，则 右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则2 曲面 表示为 则右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为sdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(SSxyDyxyxzz),(),(SsDxydxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,(),(SSxyDsdxdy