运筹学答案 目标规划

1、第 9 章 目标规划 1.某工厂试对产品 A、B 进行生产。市场需求并不是很稳定，因此对每种产品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润。这两种产品都经过甲、乙两台设备加工。已知产品 A 和 B 分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如下表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于 5 千元，其次是要求销售良好时，预期利润尽量达到 1 万元。试建立多目标规划模型并求解。 设备 单位加工时间 甲 乙 产品 A B4 32 5可用时间 45 30 销 售良 好 时的 预 期利 润(百元件) 销 售较 差 时的 预 期利 润(百元件) 8 65 5100 50

2、 4x + 3x 452x + 5x 305x + 5x d + d = 501 2 1 18x + 6x d + d = 100+ 1、解：设工厂生产 A 产品 x1 件，生产 B 产品 x2标规划模型： min P1(d1 ) + P2 (d2 ) x1, x2 ,di ,di 0,i = 1, 2由管理运筹学软件先求解得： x = 11.25, x = 0,d + +件。按照生产要求，建立如下目= 0,d = 10, d = 6.25, d = 0 1212122、解：设食品厂商在电视上发布广告 x 次，在报纸上发布广告 x 次，在广播中由图解法或进一步计算可知，本题在求解结果未要求整数

3、解的情况下，满意解有无穷多个，为线段 (135 /14,15/ 7) + (1 )(45 / 4,0), 0,1上的任一点。 1 2发布广告 x3 次。 目标规划模型为： minP (d) + P (d) + P (d+) + P (d+)x1x12x31 10 20 15223+34420x1+10x2+ 5x3 d1+ d1+= 4000.7x1 0.3x2 0.3x3 d2+ d+2= 00.3x1 0.3x2+ 0.7x3 d3+ d3= 0 2.5x+ 0.5x2+ 0.3x3 d4+ d4= 20x1, x2 , x3, di, di 0,i = 1,2,3, 4x 101x 20

4、3+ 20x +10x + 5x d + d = 4001 2 3 1 10.7x 0.3x 0.3x d + d = 0+ 0.3x 0.3x + 0.7x d + d = 0+ 2.5x + 0.5x + 0.3x d + d = 20x , x , x , d , d 0,i = 1,2,3, 4min d1x 20x 15+ 1 2 3 1 1+ 0.7x 0.3x 0.3x d + d = 01 2 3 2 2 + 0.3x 0.3x + 0.7x d + d = 0+ 2.5x + 0.5x + 0.3x d + d = 20 d = 0用管理运筹学软件先求下述问题： min d1

5、 1 2 3 i i得： d1 = 0 ，将其作为约束条件求解下述问题： 2 x1, x2 , x3, di , di 0,i = 1,2,3, 4得最优值 d2 = 0 ，将其作为约束条件计算下述问题： mind+x3 101x2x3 20 15+20x1+10x2+ 5x3 d1+ d1+= 4000.7x1 0.3x2 0.3x3 d2+ d+2= 00.3x1 0.3x2+ 0.7x3 d3+ d3= 02.5x1+ 0.5x2+ 0.3x3 d4+ d4= 20 dd= 0= 0+x1, x2 , x3, di+, di 0,i = 1,2,3, 4+min d得最优值 d43= 0

6、 ，将其作为约束条件计算下述问题： x1x2x3 10 20 15+20x1+10x2+ 5x3 d1+ d1+= 4000.7x1 0.3x2 0.3x3 d2+ d+2= 00.3x1 0.3x2+ 0.7x3 d3+ d3= 02.5x1+ 0.5x2+ 0.3x3 d4+ d4= 20d1= 0 dd= 0= 0+得： x1, x2 , x3, di, di 0,i = 1,2,3, 4+x1+= 9.474, x2= 20, x3= 2.105, d1= 0, d1= 0, d2= 8.387, d2= 0, d3= 0, d3= 7.368,d4= 14.316, d4= 0,所以

7、食品厂商为了依次达到 4 个活动目标，需在电视上发布广告 9.474 次，报纸上发布广告 20 次，广播中发布广告 2.105 次。（管理运筹学 2.0 可一次求解上述问题） 3、解：（a）设该化工厂生产 x1 升粘合剂 A 和 x2 升粘合剂 B。则根据工厂要求，建立以下目标规划模型： minP1(d11+ d5+2) + P2 ( d+3+ d4) + P3 (d5)313x1 +x1 +12512+x2x2 d d1+2+ d+ d12= 80= 100x1 d3+ d3= 100x2 d4+ d4= 120x1+ x2 d5+ d+5= 300x1, x2 , x3, di, di 0

8、, i = 1, 2, 3, 4, 5（b） 300 200 100 +-d5 d5 -d4 +d4 +-A d1 d1 -d2 +d2 +-d3 d3 0 100 200300+ + min P ( d + d ) + P (d )1 1+ x + x d + d = 606 61 5+ x + x d + d = 1803 6+ 4 x + 3x d + d = 13001 2 3 3图 1 图解法求解 图解法求解如图 1：目标 1，2 可以达到，目标 3 达不到，所以有满意解为 A 点（150，120）。 4、解：设该汽车装配厂为达到目标要求生产产品 A x1 件，生产产品 B x2 件

9、。 1 1 2 2 3x1, x2 , x3, di , di 0, i = 1, 2, 3用图解法求解： 500 400 d1+d1d-+300 200 dd2-+3d3-100 0 2A B DC100 200 300 400500600如图所示，所示解为区域 ABCD，有无穷多解。 （b）由上图可知，如果不考虑目标 1 和目标 2，仅仅把它们加工时间的最大限度分别为 60 和 180 小时作为约束条件，而以利润最大化为目标，那么最优解为C 点（360，0），即生产产品 A360 件，最大利润为 1420 元。结果与（a）是不相同的，原因是追求利润最大化而不仅仅是要求利润不少于 1300

10、元。 （c）如果设目标 3 的优先权为 P1，目标 1 和目标 2 的优先权为 P2，则由上图可知，满意解的区域依然是 ABCD，有无穷多解，与（a）的解是相同的，原因是（a）和（c）所设定的目标只是优先级别不同，但都能够依次达到。 5在环境污染日益得到重视的今天，越来越多的企业开始注重工业废水污水排污。某纸张制造厂生产一般类型纸张的利润为 300 元吨，每吨纸产生的工业废水的处理费用为 30 元；生产某种特种纸张的利润为 500 元吨，每吨特种纸产生的工业废水的处理费用为 40 元。 该纸张制造厂近期目标如下： 目标 1：纸张利润不少于 15 万； 目标 2：工业废水的处理费用不超过 1 万

11、元。 a.设目标 1 的优先权为 P1，目标 2 的优先权为 P2，P1>P2，建立目标规划模型并用图解法求解。 b.若目标 2 的优先权为 P1，目标 1 的优先权为 P2，建立目标规划模型并求解。所得的解是否与 a 中的解相同？ c. 若目标 2 的罚数权重为 5，目标 1 的罚数权重为 2，建立加权目标规划模型求解。 5、解：设该纸张制造厂需要生产一般类型纸张 x1 吨，生产特种纸张 x2 吨。 （a）、目标规划模型为： minP (d) + P (d+)1122+300x1+ 500x2 d1+ d1= 15000030x1+ 40x2+ d2+ d2= 10000x1, x2 ,di,di 0,i = 1, 2+图解法略，求解得 x1= 0, x2= 300,d1= 0,d2= 0,d1= 0,d2= 200 + +(b)、目标规划模型为： min P1(d2 ) + P2 (d1 )300x + 500x d + d= 15000030x1+ 40x2 d+1+ d1= 100001+222x1, x2 ,di,di 0,i = 1, 2+图解法略，求解得 x1= 0, x2= 250, d1= 250, d2= 0, d1= 0