选修45不等式选讲讲义

1、选修4-5不等式选讲讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容。从题型上看小题、大题都有，难度不大。从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力。（1）在填空题或解答题中考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题。（2）直接运用柯西不等式、排序不等式或证明不等式，往往难度不大。加以适当的训练是完全可以掌握的。预计在2015年高考中：（1）本专题仍为选考部分内容，且以绝对值不等式的解法和证明内容为主，把不等式的综合应用放在次重点位置上，把不等式的证明放在一般位置上。从题型上看，仍为填空题或解答

2、题，难度不大。现结合考纲要求和本人多年教学经验整理如下，以餙读者！ 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.从近两年的高考试题可以看出，本节重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为解答题，如2012年新课标T24等.归纳·知识整合1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|c

3、caxbc.|axb|caxbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想探究1.解含绝对值不等式或含绝对值方程的关键是什么？提示：关键是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值2绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立

4、探究2.绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：当a，b不共线时，|ab|<|a|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边自测·牛刀小试1求不等式|2x1|3的解集2已知函数f(x)|x2|x1|，求f(x)的值域3(2011·江西)对于xR，求不等式|x10|x2|8的解集4已知关于x的不等式|x1|x|k无解，求实数k的取值范围5如果关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，求实数a的取值范围考点一：绝对值不等式性质的应用例1确定“|xa|<m且|ya|<m”是“|xy|<2m(x，y，a，mR)”的什么条件两数和与差的绝

5、对值不等式的性质|a|b|a±b|a|b|(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|a±b|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a |b|a±b|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式变式训练：1若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立，求a的取值范围考点二：绝对值不等式的解法例2(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、

6、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法变式训练：2设函数f(x)|x1|xa|(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范围3(2011·辽宁高考)已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集3种方法求解绝对值不等式的方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，

7、a，(a，b，(b，)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用|xa|xb|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的点的集合(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解. 创新交汇含参数的绝对值不等式的恒成立问题1含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角函数结合命题，需要有一定的综合知识的能力2解答此类问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的

8、思想方法典例(2012·辽宁高考)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围1本题有以下创新点把绝对值不等式与集合、函数知识、恒成立问题紧密结合起来研究，尽管难度不大，但需要有一定的知识综合能力2解决本题的关键点解答本题的关键点：(1)先求解不等式|ax1|3，并将解集与已知解集对照求出a的值；(2)利用零点分段讨论去掉绝对值，将问题转化为恒成立问题3在解决恒成立问题时应注意Cf(x)恒成立Cf(x)max， Cf(x)恒成立Cf(x)min.1(2014·陕西高考改编)若存在实数x使|xa|x1|3成

9、立，求实数a的取值范围2(2014·苏北四市调研)已知函数f(x)|x1|x2|.若不等式|ab|ab|a|f(x)对a，bR，且a0恒成立，求实数x的范围模拟测试题：1(2014·青岛模拟)若不等式x2|2x6|a对于一切实数x均成立，求实数a的最大值2(2013·江西高考)在实数范围内，求不等式|2x1|2x1|6的解集3若不等式>|a2|1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围4解不等式x|2x1|3.5设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)>2； (2)求函数yf(x)的最小值备选习题：1若不等式|3xb|<4的解集

10、中整数有且仅有1,2,3，求实数b的取值范围2已知关于x的不等式|ax2|axa|2(a>0)(1)当a1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围3已知f(x)|6xa|.(1)若不等式f(x)4的解集为，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x1)f(x1)>b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解下列柯西不等式的几种不同形式理解它们的几何意义，并会证明柯西不等式的向量形式：|·|·|.(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(通常称为平面三角不等式)2.会用向量递归方法讨论排序不等式

11、3.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题4.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n>1nx(x>1，x0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立5.会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值6.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 .1.该部分是对必修5中“不等式”的补充和深化，属选学选考内容单独命题时，以解答题形式出现，属中等难度题目2.高考考查的重点是不等式的证明、基本不等式、柯西不等式、数学归纳法的应用，利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值等，如20

12、12年新课标T24等. 归纳·知识整合1比较法：作差比较法与作商比较法的基本原理：方法原理作差法ab>0a>b作商法>1a>b(a>0，b>0)2综合法与分析法方法特征综合法证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法分析法证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这是一种执果索因的思考和证明方法.探究1.在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系？提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立分析

13、法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达2在什么条件下用分析法证明不等式？提示：如果不适合用反证法、归纳法，而综合法又不易操作时，通过分析又容易找到使要证明结论成立的已知条件，这时用分析法3反证法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法：证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式

14、的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法5数学归纳法：数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)验证：当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确；(2)假设当nk时结论正确，证明当nk1时结论也正确综合(1)(2)可知，结论对于任意nn0，且n0，n N*都成立6柯西不等式：设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号当且仅当adbc时成立自测·牛刀小试1设t，s(b>a>0)，确定s与t的大小关系2求函数y的最大值3已知a，b为正数，求证：.4设ab>0，求证：3a32b33a2b2ab2.5数列an的通项公式为

15、ann(n2)求证：n<.考点一：比较法证明不等式例1设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负变式训练：1设a>b>0，求证：>.考点二：用分析法和综合法证明不等式例2设a>0，b>0，c>0，求证：.分析综合法分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，

16、用综合法书写证题过程变式训练 2已知a，b，c均为正实数求证：c a b .考点三：用反证法证明不等式例3已知f(x)x2pxq，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.互动探究 若本例已知中的q1，求证：f(1)与f(1)中至少有一个不小于2. 反证法的适用情形(1)当要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论很困难时，常用反证法(2)如果从正面入手证明需分多种情况进行分类讨论，则从反面进行证明，即“正难则反”的思想变式训练：3如果a，b，c，d均为实数，ab1，cd1，且acbd>1.试证明a，b，c，d中至少有一个负数考点四：用放缩法证明不等式例

17、4已知：an(nN)，求证：<an<.用放缩法证明不等式的基本方法及常用技巧(1)用放缩法证明不等式的基本方法是：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间变量，使得BB1，B1B2，BiA，或AA1，A1A2，AiB，再利用传递性，达到目的(2)放缩法的常用技巧：(1)舍去一些正项或负项如a2a12>2等；(2)在和或积中换大(或换小)某些项；(3)扩大(或缩小)分式的分子或分母，如>(a，b，mR且a>b)，<，<等；(4)绝对值不等式的性质，如|ab|a|b|等变式训练：4设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|m时，求证：2.考点

18、五：柯西不等式的应用例5若3x4y2，试求x2y2的最小值使用柯西不等式的一般形式求最值时，关键是结合已知条件构造两个适当的数值，变形为柯西不等式的形式变式训练：5求函数f(x)2的最大值3个方面证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、惟一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的

19、几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立. 易误警示不等式证明中的易错误区典例(2013·西安)设aR，函数 f(x)ax2xa(1x1)，(1)若|a|1，求证：|f(x)|；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值. (1)因不能正确利用绝对值三角不等式定理、配方法、放缩法等进行证明而致错(2)因忽视对a的讨论而致第(2)问出错(3)对较简单的绝对值不等式证明，不会灵活运用平方法、换元法等去掉绝对值符号转化为常见的不

20、等式证明题，或不能恰当运用|a|b|a±b|a|b|，通过适当地添项、拆项进行放缩证明，也是造成此类问题失分的原因： (2014·江苏高考)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.检测训练题1已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，求实数a的最小值2(2013·沈阳模拟)已知abc1，求证：a2b2c2.3(2012·南京模拟)已知x、y、z均为正数，求证： .4(2013·福建高考)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1 (1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.5求证：(n

21、2，nN*)备选习题1已知a>0，>1，求证：> .2已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR.(1)若ab0，求证：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论 2014年高考不等式选讲真题专练 1.2014·福建卷 ()选修4­5：不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a. (1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.22014·广东卷 设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合A中满足条

22、件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60 B90 C120 D13032014·广东卷 不等式|x1|x2|5的解集为_42014·湖南卷 若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_52014·江西卷 (1)(不等式选做题)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B2 C3 D46.2014·辽宁卷 选修4­5：不等式选讲 设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N. (1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.72014&#

23、183;新课标全国卷 选修4­5：不等式选讲若a>0，b>0，且. (1)求a3b3的最小值(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由.82014·新课标全国卷 选修4­5：不等式选讲设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围92014·陕西卷 A(不等式选做题)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_102014·浙江卷 (1)解不等式2|x2|x1|3；(2)设正数a，b，c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立条件112014

24、3;重庆卷 若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_参考答案1.解：|2x1|3等价于2x13或2x13，解得x2或x1. 所以解集为(，12，)2. 解：函数可化为f(x)所以f(x)3,33.解：由题得或或解得x0，)4.解：|x1|x|x1x|1，当k<1时，不等式|x1|x|k无解，故k<1.5.解：在数轴上，由实数绝对值的几何意义知a5或a3.自主解答|xy|(xa)(ya)|xa|ya|<mm2m，|xa|<m且|ya|<m是|xy|<2m的充分条件取x3，y1，a2，m2.5，则有|xy|2<52m，但|

25、xa|5，不满足|xa|<m2.5， 故|xa|<m且|ya|<m不是|xy|<2m的必要条件故为充分不必要条件变式训练 解：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以只需a3即可自主解答(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0变式训练 解：(1)当a1时，f(x

26、)|x1|x1|，f(x)作出函数f (x)|x1|x1|的图象由图象可知，不等式的解集为.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件：若a<1，f(x)f(x)的最小值为1a；若a>1，f(x)f(x)的最小值为a1.所以对于xR，f(x)2的充要条件是|a1|2，所以a的取值范围是(，13，)3. 解：(1)证明：f(x)|x2|x5|4. 当2x5时，32x73. 所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为 x|5x5；当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x2

27、8x15的解集为 x|5x6例：解(1)由|ax1|3得4ax2. 又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a>0时，x，得a2.(2) 记h(x)f(x)2f，则h(x) 所以|h(x)|1，因此k1.1.解：|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.2.解：由|ab|ab|a|f(x)，且a0，得f(x)又因为2，则有2f(x)解不等式|x1|x2|2，得x.即实数x的范围是.检测训练题答案1.解：令f(x)x2|2x6|，当x3时，f(x)x22x6(x1)279；当x<3时，f(x)x22x6(x1)255.综上可知，f(x)的最小值为5，故原不

28、等式恒成立只需a5即可，从而a的最大值为5.2.解：当x>时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时<x；当x<时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时x<；当x时，原不等式可化为12x2x16，解得xR，此时x；综上，原不等式的解集为，故解集为.3.解： 2，|a2|1<2，即|a2|<1，解得1<a<3.4.解：原不等式可化为或解得x或2x.所以原不等式的解集是.5. 解：(1)f(x)|2x1|x4|6. 当x<时，由f(x)x5>2得，x<7. 故x<7；当x<4时，由f(x)3x3>2，得x

29、>. 故<x<4；当x4时，由f(x)x5>2， 得x>3，故x4.故原不等式的解集为 .(2)画出f(x)的图象如图： 所以f(x)min.备选1.解：|3xb|<4，4<3xb<4. <x<.(*)若原不等式的整数解只有1,2,3， 由(*)式，知0<1且3<4. 解之得4b<7且5<b8，5<b<7.备选2解：(1)当a1时，不等式为|x2|x1|2由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2，所以x或x.所以不等式的解集为.(2)|ax2|axa|a2|

30、， 原不等式的解集为R等价于|a2|2，a4或a0，又a>0，a4.备选3.解：(1)由f(x)4得|6xa|4，解得x或x，依题意，a1.(2)当a1时，f(x)|6x1|，f(x1)|6x7|，f(x1)|6x5|f(x1)f(x1)|6x7|6x5|(6x7)(6x5)|12，b<12. 自测·牛刀小试1.解：ts>0，t>s，即s<t.2.解：由柯西不等式得 .3.证明：a>0，b>0，(ab)5529. .4.证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为ab>0，所以ab0,3

31、a22b2>0.从而(3a22b2)(ab)0.故3a32b33a2b2ab2成立5.证明： <.<.例1：自主解答由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5)当ab时，从而()5()5，得()()5()5)0；当a<b时，<，从而()5<()5，得()()5()5)>0.所以a3b3(a2b2)变式训练1设a>b>0，求证：>.证明：法一： a>b>0，ab>0，ab>0，a2b2>0，ab>0.>0，>.法二：a>b>0，ab>0

32、，ab>0.· 1>1.>.例2自主解答要证，只需证111，只需证，只需证(abc).(abc)(bc)(ac)(ab)·×3×3×，当且仅当abc时“”成立，故原不等式成立变式训练：证明：a，b，c均为正实数， 2 2c ， 同理，2a ，2b ，三式相加可得c a b .例3 自主解答假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|2|f(2)|f(3)|<2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，与|f(1)|2|f(2)|f(

33、3)|<2矛盾，所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.互动探究：证明：q1，f(x)x2px1假设f(1)与f(1)都小于2，则f(1)f(1)<4.而f(1)f(1)(2p)(2p)4，出现矛盾，f(1)与f(1)中至少有一个不小于2. 变式训练：证明：假设a，b，c，d均为非负数，即a0，b0，c0，d0. ab1，cd1，(ab)(cd)(acbd)(bcad)1.a，b，c，d均为非负数，则bcad0，故acbd1.这与已知条件acbd>1矛盾故假设不成立，因此a，b，c，d中至少有一个为负数例4 自主解答， >n，an>123n

34、.<，an<(23n).综上得，<an<.变式训练：证明：由已知m|a|，m|b|，m1.又|x|m，|x|a|，|x|b|，|x|1，112. 2.例5：自主解答由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2. 不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，需解方程组：解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.:5.解：由柯西不等式得222()26×6×15.当且仅当时取等号，即f(x)的最大值是，此时x.典例：解(1)1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x2

35、1|x|1|x|2|x|2.(2)当a0时，f(x)x，当1x1时，f(x)的最大值为f(1)1，不满足题设条件，a0. 又f(1)和f(1)均不是最大值，f(x)的最大值应在其对称轴上的顶点位置取得命题等价于解得a2.变式训练：证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.检测训练题答案1.解：2x2(xa)2a2 2a2a47，a.2.证明：法一：a2b2c2(abc)2(2ab2bc2ac)(abc)22(a2b2c2)，3(a2b2c2)(abc)21，a2b2c2.法二：a2b2c2 a2b2c2(2a22b

36、22c22ab2bc2ac)(ab)2(bc)2(ac)20 a2b2c2.法三：(121212)(a2b2c2)(abc)21，即3(a2b2c2)1，a2b2c2.3.证明：由柯西不等式得 (121212)2，则× ，即 .4.解：(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.5.证明：法一(利用数学归纳法)：(1)当n2时，左边，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立即. 则当nk1时，. 所以当nk1时不等式也成立，由(1)，(2)知原不等式对一切n2，nN*均成立法二(利用放缩法)：n2，.即(n2，nN*)备选习题1：要证>，可证·>1，即证1abab>1，只需证abab>0， 即>1，即>1，>1已知 原不等式> 成立:备选习题2解：(1)证明：ab0，ab.由已知f(x