近世代数作业

1、练 习 题 第一次作业 1、设A=x| xR, |x|5,B=x|xR, -6x<0.求AB，AB，AB，BA。2、设A，B是U的子集，规定A+B=(AB)(BA)。证明：(1) A+B=B+A(2) A+=A(3) A+A=。3、求下列集合的所有子集：(1) A=a, b, (2) B=(3) C=14、设f：AB和g：BC是映射，证明：(1) 如果f和g是单射，则gf是单射(2) 如果f和g是满射，则gf是满射(3) 如果gf是单射，则f是单射(4) 如果gf是满射，则g是满射.5、对于下面给出的整数集Z到整数集Z的映射f, g ,h: f: x3x g: x3x+1 h: x3x+

2、2(1) 计算fg, gf, gh, hg, fgh(2) 分别求f, g, h的一个左逆映射(3) 求f, g, h的一个共同的左逆映射(4) 求f, g的一个共同的左逆映射，但不是h的左逆映射。6、设R是实数集合，在RR上规定二元关系“”为：（a, b） (c, d)a+d=b+c证明“”是R上的一个等价关系。7、设A=a, b, c, d, e, S=a,b,c, d, e,求A上的一个等价关系R，使A在R下的分类恰为S。8、设A=1，2，3，4，在幂集中规定二元关系“”：STS与T所含元素个数相同证明“”是上的一个等价关系，并写出商集/。第二次作业1、设G=(a, b)| a, bR,

3、 a0, 规定G中元素运算：(a, b)(c, d)=(ac, bc+d)证明：G是一个群，但不是交换群。2、设G=a, b, c,G的乘法表如下： a b ca a b c b a b c c a b c 证明：（G，）是一个半群。3、设G是群，证明：(1) 如果G的每一个元素a的逆元还是a本身，则G是交换群，举例说明反之不对。(2) 如果G是非交换群，则存在元素a、bG, ab,并且它们均非单位元，使得ab=ba.4、在对称群中计算： (1 2 4 3)(3 5 4), (2 1 4 3)(1 3 2 4), (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 5)5、设=（1 2 3 4 5 6），

4、计算。6、将对称群中如下元素表示成不相连的循环置换乘积和对换乘积 7、设, 如果=( )，证明： =()()()8、在中，求(1 2 4)生成的子群H的所有元素。9、设G是群，C(G)=x| xG, yG, xy = yx, 证明：C(G)是G的子群。(称C(G)是群G的中心)。10、设H=(1),(234),(243)，证明：H是4次对称群的子群。H是否为不变子群？11、设A，B是群G的子群，证明AB是G的子群的充分且必要条件是AB=BA。12、证明有理数加群Q关于Z的商群（，+）的任意有限子群都是循环群。13、设p, q是两个不同的素数，问：pq阶循环群的生成元有几个？求25阶循环群的所有

5、生成元。14、设G=（R-0，）,证明：f：GG：x是群同态，但g：GG：x2x不是群同态。15、设f：G是群满同态，H是G的不变子群，并且Ker(f)H, 证明： f (H)是的不变子群，并且16、设G和H都是有限群，|G|与|H|互素，证明G到H并且H到G的群同态都是唯一的。17、证明：。18、设A，B是群G的两个不变子群，并且G=AB，证明：19、证明群G在左商集上的作用的核是含在H中G的最大不变子群。即如果f：GE() 使f(a)(xH)=axH, 则Ker(f)是含在H中的G的最大不变子群。20、设G是群，A是G的一个非空子集，记=x | xG, xA=Ax,证明：(1) 是G的子群

6、。(2) 如果=G，则A是G的不变子群吗？第三次作业1、 设R是交换环，证明： (1) R中任意两个幂零元的和仍然是幂零元。(2) R中任意元素与幂零元的乘积是幂零元。(3) R中可逆元与幂零元的和是可逆元。2、 设R是一个元素个数大于1的有限集，证明：关于数的加法和乘法，R不能构成环。3、 在中计算下面两个多项式的加法运算和乘法运算： f(x)=, g(x)=4、 求出中次数不超过2的所有可逆多项式。5、 在环中，求元素。6、 在整数环Z中，求生成元a, b使得<a>=<24>+<36>, <b>=<24><36>.7、

7、 设、都是环R的理想，如果证明这些理想的并集是R的理想。8、 设f：R 是环的满同态，证明：(1) 如果R是交换环，则也是交换环。(2) 举例说明：是交换环，但R未必是交换环。9、 证明整数环Z到其自身的环同态只能是零同态或是恒等同态。10、 设R是有单位元1的环，证明是多项式环的真子环（即不等于的子环），并且有环同构：。11、 设=a+bi | a, bZ,证明：(1) 按复数的通常运算，是一个整环。（通常称是高斯整环）(2) 如果p是一个素数，证明。12 、R是无单位元的环，A是R的理想，如果是R的有单位元的典范扩张环，则是的理想，并求商环。(1) 讨论有理数域Q上关于加法群的自同态环。(2) 在有理系数多项式环Qx中，证明：<x> 是极大理想，也是素理想。13、设p是素数，在偶数环2Z中，证明主理想<2p>是极大理想，但<2p>是素理想的充分且必要条件：p是不等于2的素数。14、 设R=a+3bi | a, bZ,(1) 按通常数的运算，证明：R是整环。(2) 求R的所有可逆元。15、 高斯整环中，证明3是素元，但2不是素元。16、证