高中数学探究性试题汇编

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学探究性试题汇编（2）28、已知各项均为正数的数列的前项和为,且（1）求数列的通项；（2）是否存在正整数，使不等式对所有正整数均成立，并证明你的结论。解：（1）2 2（2分）（4分）又 （6分）（8分）下面用数学归纳证明不等式 该不等式显然成立当n=k+1时不等式也成立综上（1）、（2）对任意命题都成立29已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且（ （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使 得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不

2、存在， 说明理由.解：（1）设P的坐标为，由得（2分） （化简得 P点在双曲线上，其方程为（2）设A、B点的坐标分别为、，由 得，AB与双曲线交于两点，0，即解得（9分）若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即，解得，故存在k值，所求k值为.30已知数列的前项和满足（）求k的值；（）求；（）是否存在正整数使成立？若存在求出这样的正整数；若不存在，说明理由解：（I） 又2分（）由（I）知 当时， ，得4分又，易见于是是等比数列，公比为，所以6分（）不等式，即整理得8分假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，为整数，则只能是10分因此，存在正整数1231在平面直角坐标系中，为坐

3、标原点，已知两点、，若点满足（），点的轨迹与抛物线：交于 、两点.（）求证：；（）在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.解：1）解：由（）知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即 .2分由 故 . 6分 2）解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 7分故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 故以为直径的圆都过原点 .10分设弦的中点为 则 弦的中点的轨迹方程为： 消去得 . 14分32设函数R.（I）求函数的最值；（）

4、给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：（I）令2分由知f（x）无最大值.6分（）函数f（x）在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数f（x）在区间（m，2m）上存在零点.12分33已知数列an有a1=a，a2=p (常数p0)，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+an，并有Sn满足。 (1) 求a的值； (2) 试确定数列an是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由； (3) 对于数列bn，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn0，可得由于 不妨设 由和可得 利用

5、比例性质得 即 （13分）由于上的恒正增函数，且 又由于 上的恒正减函数，且 这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在 （14分）41数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，. 解:设 ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比数列 (7分)证明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， （14分）42已知函数（a为常数）.（1）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；（2）设实数满足：中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程 的两实根，判断，是否为定值？若是定值

6、请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数，并求的最小值；（3）对于（2）中的，设，数列满足 ，且，试判断与的大小，并证明.解：（1）对恒成立，又恒成立，对恒成立，又，（2）由得：，不妨设，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：而 设，求导得：当时，递增；当时，递减；当时，递增，在上的最小值为（3）如果，则在为递增函数，又43设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求证：=2Snan； （2）求数列an的通项公式； （3）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=

7、11分 当n2时， 得，3分 an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1适合上式 =2Snan(nN+)5分 （2）由（1）知=2Snan(N+) 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=18分数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n9分 （3） 11分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn44设关于x的方程有两个实根、，且.定义函数（）求的值；（）判断在区间上的单调性，并加以证明；（）若为正实数，证明不等式：（）解：是方程

8、的两个实根 同理 3分（） 4分 当时， 5分而在上为增函数 7分（）且 9分 由（）可知 同理可得 10分 12分 又由（）知 所以 45已知数列a n前n项的和为S n，前n项的积为，且满足。求； 求证：数列a n是等比数列；是否存在常数a，使得对都成立？ 若存在，求出a，若不存在，说明理由。解、；46已知集合，。 （1）判断与的关系，并说明理由； （2）中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论。解（1）= 6分（2）因是周期为6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数 由，得， ， ， ，得证是周期为6的周期函数，故中的元素都是周期为6的周期函数。

9、12分（3）令，可证得16分 ，但是偶函数，不是奇函数， 中的元素不都是奇函数。 47设函数的定义域为R，当 时，且对任意的实数R，有 成立 数列满足，且(N) （1）证明在R上为减函数；（2）求的值；（3）若不等式对一切N均成立，求的最大值解:(1)令,，得,故 当时,进而得 设R，且,则, 故,函数在R上是单调递减函数 （2）由,得 故,(N)因此,是首项为1,公差为2的等差数列 由此得, (3) 由恒成立,知恒成立 设,则,且 又,即,故为关于的单调增函数, 所以,即的最大值为48已知函数(1) 若在上单调递增，求的取值范围；(2) 若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下

10、不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试判断当时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明. 解：（）由，得 2分欲使函数为上单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立.也即在上恒成立.4分令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求. 6分（）证明：由 得 7分 8分 而 10分 又， 11分 ， 13分由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. 14分49设函数的定义域与值域均为R，的反函数为，定义数列中，。若对于任意实数x，均有+=2.5x，求证：，。设，求的通项公式。若对于任意实数x，均有+2.5x，是否存在常数A、B同时满足：当n=0.or.n=1时，有成立；当n=2、3、4、，时，成立。如果存在，求出A、B的值；如果不存在，说明理由。解：（1）由，又在等式+=2.5x中令，从而有（1）成立。又及（1）式有：，所以，。（2）由n=0.or.n=1时，有成立，可求得A=B=4,由对于任意实数x，均有+2.5x,可得（2）下面利用（2）和A=B=4，用数学归纳法证明：当n=2、3、4、，时，成立即可，证明过程容易，略去。所以存在实数A=B=4，使结论成立。50已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离