连续性的概念

1、第四章 函数的连续性§1 连续性的概念(一) 教学目的：掌握函数连续性概念(二) 教学内容：深刻理解函数连续,函数左右连续,区间上函数连续,间断点及其分类等概念.对一般的函数特别是初等函数可以讨论其间断点并且分类.基本要求：1）掌握函数连续性概念，可去间断点，跳跃间断点，第二类间断点，区间上的连续函数的定义2) 较高要求：讨论黎曼函数的连续性(三) 教学建议：(1) 函数连续性概念是本节的重点对学生要求懂得函数在一点和在区间上连续的定义，间断点的分类(2) 本节的难点是用较高的分析方法、技巧证明函数的连续性，对较好学生布置有关习题 一 函数在一点的连续先回顾一下函数在点的极限 设函数

2、在的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对，当 时，都有 ，则称在 时，以为极限。这里可以有三种情况1）无定义，比如上章讲过的特殊极限 2），比如 ， 3）对1，2两种情况，曲线在 处都出现了间断; 第3种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断，我们称这种情况为，在处连续。定义1 设函数在的某邻域内有定义，若 则称函数在点连续。例如 函数 在点连续，因为又如，函数 在 处连续。因为 若记 则 可等价的叙述为 ，于是函数在点连续的定义又可以叙述为定义1（2） 设函数在的某邻域内有定义，若 则称在点连续。另外，由于函数在点连续是用极限形式表述的，若将 改用语言叙述，则在点连续又可以定义为：定

3、义1（3） 设函数在的某邻域内有定义，若对，使得当时，都有 ， 则称在点连续。注意 函数在点连续，不仅要求在点有定义，而且要求时，的极限等于，因此这里在极限的“” 语言叙述中把 “”换成了“ ”。最后，式又可表示为 ，可见“在连续”意味着极限运算对应法则的可交换性。例1证明函数在点连续,其中为狄利克雷函数。证明 由及，对于任意的，为使 只要取，即可按定义推得在连续。相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下：定义2 设函数在的某左（右）邻域内有定义，若 （ ）则称在点左（右）连续。由极限与单侧极限的关系不难得出：定理4.1 函数在点连续的充分必要条件为：在点既左连续又右连续。例2

4、讨论函数 在的连续性。220解 因为 所以 在右连续，但不左连续，从而在不连续。二 间断点及其分类 定义3 设函数在某内有定义。若在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点为函数的间断点或不连续点。由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下情形:1），而在点无定义，或有定义但2）左、右极限都存在，但不相等, 称 为跳跃度3）左、右极限至少一个不存在据此，函数的间断点可作如下分类：1可去间断点 情况1）称为可去间断点（或可去不连续点）； 例 , 是 的可去间断点。例 ， 是的可去间断点。2跳跃间断点 情况2）称为可跳跃间断点；情况1），2）统称第一类间断点。例 因为 ，所以 的整数点为跳跃间断点，跳

5、跃度等1.-2-4-4 -3 -2 -1 -1-3xo4321 1 2 3 4 5 例 因为 所以 在处为跳跃间断点，跳跃度等2. 3情况3）称为可第二类间断点；例 不存在，所以是的第二类不连续点。为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象（c41）subplot(2,2,1)ezplot('sin(x)/x',-0.5,0.5)hold onplot(0,1,'r*')subplot(2,2,2)ezplot('sin(x)+sign(x)',-pi/3,pi/3)hold onplot(0,0,'r*'),subplot(

6、2,2,3)ezplot('sin(1./x)',-0.5,0.5)hold onplot(0,0,'r*')subplot(2,2,4)ezplot('abs(1./(x+eps)',-0.5,0.5),hold on plot(0,28,'r*') 三 区间上的连续函数定义 若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。例如 ， 是内的连续函数，在的每一点都连续，在左连续性，在右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章§1的例题）。定义 如果在区间上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在间上按段连续。例如 是按段连续函数。例 3 讨论黎曼函数 及内的无理数，（p,q）为正整数，p/q为既约真分数 的连续性证明 设为无理数，任给，满足正数显然只有有限个(但至少有有一个,如),从而使的有理数只有有限个(至少有有一个,如),设为,取 ,(显然)则对任何当x为有理数时有,当x为无理数时.于是，对任何，总有 这就证明了在无理点处连续。现设为内任一有理数，取，对任何正数（无