典型极坐标参数方程练习题带答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 极坐标参数方程练习题极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为4(R R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积 解：(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2， C2的极坐标方程为22cos 4sin 40. (2)将4代入22cos 4sin 40，得23240，解得122，22.故122，即|MN|2. 由于C2的半径为 1，所以C2MN的面积为1

2、2. 4(2014辽宁，23，10 分，中)将圆x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C. (1)写出C的参数方程； (2)设直线l：2xy20 与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得 xx1，y2y1， 由x21y211 得x2y221. 即曲线C的方程为x2y241. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 故C的参数方程为 xcos t，y2sin t(t为参数) (2)由x2y241，2xy

3、20解得 x1，y0或 x0，y2. 不妨设P1(1， 0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1 ，所求直线斜率为k12，于是所求直线方程为y112x12.化为极坐标方程，并整理得 2cos 4sin 3， 即34sin 2cos . (2)(2015吉林长春二模，23，10 分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos31，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点 写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； 设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程 【解析】 (1)将 2cos2sin 两边同乘以，得 2(cos )2sin

4、 ，化为直角坐标方程为 2x2y， C2：cos 1 化为直角坐标方程为x1， 联立可解得 x1，y2， 所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2) (2)cos31， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 cos cos3sin sin31. 又 xcos ，ysin ，12x32y1， 即曲线C的直角坐标方程为x3y20. 令y0，则x2；令x0，则y233. M(2，0)，N0，233. M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为233，2. M，N连线的中点P的直角坐标为1，33， P的极角为6. 直线OP的极坐标方程为6(R R) 注：极坐标下点的坐标表示不唯一 【点拨】 解答题

5、(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标 (2013课标，23，10 分)已知曲线C1的参数方程为 x45cos t，y55sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(0，02) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【解析】 (1)将 x45cos t，y55sin t消去参数t，化为普通方程为(x4)2(y5)225， 即C1：x2y28x10y160. 将 xcos ，ysin 代入x2y28

6、x10y160，得 28cos 10sin 160. 所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160. (2)C2的普通方程为x2y22y0. 联立C1，C2的方程 x2y28x10y160，x2y22y0， 解得 x1，y1或 x0，y2. 所以C1与C2交点的极坐标分别为2，4，2，2. 【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解 (2012辽宁，23，10 分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24. (1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1

7、，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程 解：(1)由xcos ，ysin ，x2y22知圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos . 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 解 2，4cos 得2，3， 故圆C1与圆C2的交点坐标为2，3，2，3. 注：极坐标系下点的表示不唯一 (2)方法一： 由 xcos ，ysin 得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1， 3)， (1， 3) 故圆C1与C2的公共弦的参数方程为 x1，yt(3t3) 或参数方程写成 x1，yy，3y3 方法二：将x1 代入 xcos ，

8、ysin ， 得cos 1，从而1cos . 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 x1，ytan 33. 5(2015河北邯郸二模，23，10 分)已知圆C的极坐标方程为2cos ，直线l的参数方程为x1232t，y1212t(t为参数)，点A的极坐标为22，4，设直线l与圆C交于点P，Q. (1)写出圆C的直角坐标方程； (2)求|AP|AQ|的值 解：(1)因为圆C的极坐标方程为2cos ， 所以22cos ， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 将其转化成直角坐标方程为x2y22x， 即(x1)2y21. (2)由点A的极坐标22，4得直角坐标为A12，12. 将直线l的参数

9、方程x1232t，y1212t(t为参数)代入圆C的直角坐标方程(x1)2y21，得t2312t120. 设t1，t2为方程t2312t120 的两个根，则t1t212， 所以|AP|AQ|t1t2|12. 2(2015课标，23，10 分，中)在直角坐标系xOy中，曲线C1： xtcos ，ytsin ，(t为参数，t0)，其中 0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：23cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标； (2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0， 曲线C3的直角

10、坐标方程为x2y223x0. 联立x2y22y0，x2y223x0， 解得 x0，y0或x32，y32. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32. (2)曲线C1的极坐标方程为(R R，0)，其中 0. 因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(23cos ，) 所以|AB|2sin 23cos | 4sin3. 当56时，|AB|取得最大值，最大值为 4. 3(2015陕西，23，10 分，易)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x312t，y32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为

11、23sin . (1)写出C的直角坐标方程； (2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标 解：(1)由23sin ，得 223sin ， 从而有x2y223y， 所以x2(y3)23. (2)设P312t，32t，又C(0，3)， 则|PC|312t232t32t212， 故当t0 时，|PC|取得最小值， 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 此时，P点的直角坐标为(3，0) 5(2014课标，23，10 分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，0，2. (1)求C的参数方程； (2)设点D

12、在C上，C在D处的切线与直线l：y3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标 解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1) 可得C的参数方程为 x1cos t，ysin t(t为参数，0t) (2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t3，t3. 故D的直角坐标为1cos 3，sin3，即32，32. 7(2013课标，23，10 分，中)已知动点P，Q都在曲线C： x2cos t，y2sin t(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点

13、(1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点 解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)， 因此M(cos cos 2，sin sin 2) M的轨迹的参数方程为 xcos cos 2，ysin sin 2(为参数，02) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)M点到坐标原点的距离 dx2y222cos (02) 当时，d0，故M的轨迹过坐标原点 (2014课标，23，10 分)已知曲线C：x24y291.直线l： x2t，y22t(t为参数) (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方

14、程； (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值 【思路导引】 (1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA|用参数来表示，从而求其最值 【解析】 (1)曲线C的参数方程为 x2cos ，y3sin (为参数) 直线l的普通方程为 2xy60. (2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为 d55|4cos 3sin 6|. 则|PA|dsin 30255|5sin()6|，其中为锐角，且 tan 43. 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为2255. 当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为25

15、5. (2013辽宁，23，10 分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos422. (1)求C1与C2交点的极坐标； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为xt3a，yb2t31(tR R 为参数)，求a，b的值 【解析】 (1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24， 直线C2的直角坐标方程为xy40. 解 x2（y2）24，xy40得 x10，y14， x22，y22. 所以C1与C2交点的极坐标为4，2，22，4. 注：极坐标

16、系下点的表示不唯一 (2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20. 由参数方程可得yb2(xa)1b2xab21， 所以b21，ab212， 解得a1，b2. 【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题 2011课标全国，23，10 分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x2cos ，y22sin (为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP2OM，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)在以O为极点，x轴的正半轴

17、为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|. 解：(1)设P(x，y)， 则由条件知Mx2，y2. 由于M点在C1上，所以x22cos ，y222sin ， 即 x4cos ，y44sin . 从而C2的参数方程为 x4cos ，y44sin (为参数) (2)C1化为普通方程为x2(y2)24，故曲线C1的极坐标方程为4sin ，同理可得曲线C2的极坐标方程为8sin . 射线3与C1的交点A的极径为 14sin323， 射线3与C2的交点B的极径为 28sin343. 所以|AB|21|23. 5(2014辽宁锦州一模，23，10 分)已知

18、圆的极坐标方程为242cos(4)60. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (1)将极坐标方程化为普通方程； (2)若点P(x，y)在该圆上，求xy的最大值和最小值 解：(1)原方程变形为24cos 4sin 60， 化直角坐标方程为x2y24x4y60，即(x2)2(y2)22. (2)设圆的参数方程为x22cos ，y22sin (为参数)，点P(x，y)在圆上， 则xy42sin4. 所以xy的最大值为 6，最小值为 2. 6(2015山西太原联考，23，10 分)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为23，6，曲线C的极坐标方程为223sin 1. (1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程； (2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l： x32t，y2t(t为参数)距离的最