数学常微分方程第五章

1、5.3 Coefficients Linear ODEs5.3.3 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用0dttetLsst)()()(ffF这里这里 f(t) f(t) 是是 n n 维向量函数，要求它的每一个分量维向量函数，要求它的每一个分量定义定义都存在拉普拉斯变换。都存在拉普拉斯变换。5.3 Coefficients Linear ODEs00和M使不等使不等式式tMetf)(xfAxx) 0(),( t的解的解)(t )( t 如果对向量函数如果对向量函数 f (t)，存在常数，存在常数定理定理12对所有充分大的对所有充分大的t 成立，则初值问题成立，则初值问题 及其导数 (5.62

2、)的不等式从而它们的拉普拉斯变换都存在。的不等式从而它们的拉普拉斯变换都存在。(5.62)均象均象 f(t) 一样满足类似一样满足类似5.3 Coefficients Linear ODEs试求方程组试求方程组21221142xxxxxx例例12满足初始条件满足初始条件100021)(,)(的解的解),(),(tt21并求出它的基解矩阵。并求出它的基解矩阵。解解 令令)()(),()(txLsXtxLsX2211假设假设)(),(2211txtx满足微分方程组满足微分方程组对方程组施行拉普拉斯变换，有对方程组施行拉普拉斯变换，有: :5.3 Coefficients Linear ODEs)(

3、4)()0()()()(2)0()(21222111sXsXssXsXsXssX即即1)0()()4()(0)0()()()2(221121sXssXsXsXs解出解出)(),(21sXsX有有: :22221)3(131)3(2,)3(1)(ssssXssX5.3 Coefficients Linear ODEs取反变换，得取反变换，得: :ttttetteettet333231)1 ()(,)(22213131 31)(,)()(ssXssX为了寻求基解矩阵，再求满足初始条件为了寻求基解矩阵，再求满足初始条件0) 0(, 1) 0(21的解的解)(),(21tt5.3 Coefficien

4、ts Linear ODEs0) 0()() 4()(1) 0()()() 2(221121sXssXsXsXs其解为其解为: :22221) 3(1)(,) 3(131) 3(4)(ssXsssssXtttetett32311)(,)()(基解矩阵是基解矩阵是ttttetttttt11)()()()()(32211作业作业P.236, 第第6(a)题（用拉普拉斯变换法）。题（用拉普拉斯变换法）。5.3 Coefficients Linear ODEsAxx (5.33) (5.33)1 应用拉普拉斯变换可以将求解线性微分方程组的应用拉普拉斯变换可以将求解线性微分方程组的问题转化为求解线性代数

5、方程组的问题。问题转化为求解线性代数方程组的问题。2 应用拉普拉斯变换还可以直接解高阶的常系数线性微应用拉普拉斯变换还可以直接解高阶的常系数线性微分方程组，不必先化为一阶的常系数线性微分方程组。分方程组，不必先化为一阶的常系数线性微分方程组。3 拉普拉斯变换提供了一种寻求常系数线性微分方程组拉普拉斯变换提供了一种寻求常系数线性微分方程组的基解矩阵的又一种方法。的基解矩阵的又一种方法。5.3 Coefficients Linear ODEs可化为常系数线性方程组的类型可化为常系数线性方程组的类型1)(xxdxdgAyy1利用自变量的代换tex 可将方程化为常系数线性方程组)(tedtdgAyy5

6、.3 Coefficients Linear ODEs11112201)(nnnn利用自变量的代换 与tex 可将方程化为常系数线性方程组ntnnttyeYyeYyeYyY)(,13232211 5.3 Coefficients Linear ODEs2nnnnnnnnnnnnnnnnyxayxayxayxadxdyyxayayxayxadxdyyxaxyayayxadxdy323212113232322212212213132121111的次数有以下规律：为常数，xaij5.3 Coefficients Linear ODEsnnnnnnnnnnnnnynayayayadxdyyayayay

7、adxdyyayayayadxdyyayayayadxdy)()()(1213322112333232131223232121212131321211115.3 Coefficients Linear ODEs例例1 求解方程组求解方程组01110101101texx 5.3 Coefficients Linear ODEs21222122yxyxdxdyydxdy例例2 求解方程组求解方程组解解tex 2211 yeYyYt,21222122yeyedtedyydtedytttt2122122yeydtdyeyedtdyttt221222122yeyeydtdyeyeyedtdyttttt5.3 Coefficients Linear OD