特征函数在极限理论中的应用

1、1 .集合列的特征函数1.1 集合E的特征函数定义：对于X中的子集E,作1,xEXe=0,xE称Xe：X0,1是定义在X上的集合E的特征函数。由定义知，特征函数Xe在一定意义上作为集合E的代表。借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。1.2 定理：对任意的集合列An,有吁=XE，limXAi=XlimAn,nn集列An收敛的充要条件是它的特征函数列XA收敛，且nlimXa=XlimAnnnn定理说明了集列An取(上、下)极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列An收敛性与数列Xa”收敛性等价。证明：由特征函数的定义，limXA=1或0,n力x,设nimXa0=1有无限

2、个”k,使得XAnk=1,有无限个nk,使得xAnk,xlimAn,nXlimAn=1(*1)nx,设nimXa”=0有无限个nk,使得XAnk=0有无限个nk,使得xAnk,xlimAn,nX呵An=0(*2)1)(2)式，得证。2迭代数列收敛性与特征函数2.1. 定义：设F(x)=xfx在区间I上有定义，数列xn满足迭代关系：Xn1=fXn(n=1,2,)(*3)若存在自然数N,使得当n>N时恒有XnI成立，则称F(x)和f(x)分别为迭代数列(*3)在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列(*3)称为F(x)在区间I上的生成迭代数列。引理：设f(x)是在区间I上有定义的单调函数，

3、X。是I的内点。若limfx存在，则fxx0(x)在x0处连续。证明：不妨设limfx=A,f(x)在区间I上单调增加。xx0故当x<x0时，fx<fx0，则A=limfxfx0，xx0当x>x0时，fx>fx0,则A=limfxfx0。xx0因此limfx=A=fx0，xx0故fx在x0处连续。定理1：设Fx=x-fx是迭代数列(*3)在区间I上连续的特征函数，且Fx在I上单调增加。则若I=a,b>且F(a)=0,则limxn存在且等于a,x若I=<a,b且F(b)=0,则limxn存在且等于b。n注：约定区间a,b>,<a,b或<a,b

4、>中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-或+;为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。证明：(i)由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n,迭代数列(*3)恒有xnI=a,b>,则xn有下界。再用反证法证明xn在I上单调减少：若存在自然数n0使得xn0<xn01即xn0<fxn0,则Fxn0=xn0-fxn0<0.因为Fa=0，所以Fxn0<Fa。这与Fx在I上的单调增加矛盾。故数列Xn在I上单调减少有下界，即limxn存在。n在迭代数列（*3）中令n，可得x=fx。由题设可得Fx=x-fx=0在I上有唯一实根，于是由Fa=a-fa=0得x=a，故li

5、mxn=a。n（ii）类似地可以证明数列Xn在I=<a,b上单调增加有上界，且|imxn=b。定理2:设Fx=x-fx是迭代数列（*3）在区间I=<a,b>上的特征函数，Fx和fx在I上单调增加且存在I的内点x0使得Fx0=0,则limxn存在且等于x0n证明：不妨设对一切自然数n,迭代数列（*3）恒有xnI,记I1=<a,x0,I2=x0,b>.由题设及引理得Fx在I1和I2上均单调增加且连续。若对xiI有x2=fxxO,则由fx在I上单调增加有x3=fx2fx0=x0，一般地由数学归纳法易证xn1=fxoxo（n=1,2,）;若对x1I有x2=fx1x0,类似

6、地可以证明xn1fxnxo（n=1,2,）。所以Fx是迭代数列（*3）在I1或I2上的特征函数。故由定理1,limxn存在且等于x00n利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。这种方法解题的一般步奏是：(1)求出函数Fx=x-fx的单增区间(或Fx和fx公共的单增区间)；(2)求出方程Fx=0在单增区间的根x0；(3)判断Fx是迭代函数列(1)在单增区间上的特征函数；(4)判断极限存在并得出极限。例1:设x1>0,xn1=cln1xn(n

7、=1,2,;0<c1),证明|imxn存在且等于0。证明：令Fx=x-cln1x,c贝JF'x=1>0(x>0)且F0=0.1 x当x1>0时，恒有xn产cln1xn>0(n=1,2,),故Fx为迭代数列在单增区间0,+)上连续的特征函数。于是由定理1可得lim4存在且等于0.n例2:设数列xn满足迭代关系xn1=1xn2(n=1,2,；a>0),证明limxn存在并求2xnn此极限。证明：由数学归纳法和均值定理可知，当x10时有xn，a,)(n=2,3,)；当x10时有4(,Va(n=2,3,)。所以Fxxxx上-是xn分别在区间Ja)和2 x22

8、x(,%百上连续的特征函数。由F'x=1-ay0得Fx在再，)和(，、：W上单调增加。22x2又因为Fx0解得xVa0所以由定理1得xn的极限存在且当Xi0时，limxnJa;n当Xi0时，limXn，a。n同理可证数列xn:xn1-2xn-a2(n=1,2,;a>0)的极限存在且limxn3ja3n'3xn例3:设数列xn满足迭代关系xn1csinxn(n=1,2,;0c1,),证明：对任意的初值x1,limxn存在并求此极限。n证明：对任意的x1,有1xn1(n=2,3,),因此F(x)=xfxxcsinx是xn在区间1,1上的特征函数。又当x1,1时，F'x

9、1cosx0(等号仅当c1,x0时成立)，故Fx和fx在1,1单调增加，且F00o由定理2可知xn的极限存在且等于0.同理可证明xn:xn1cosxn(n=1,2,;0c1)的极限存在且limxnx0,n其中x0(1,0)是Fxxccosx0的根。3.极限定理证明的特征函数法李亚普诺夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。3.1 分布函数与特征函数对应的连续性定理1：设匕是分布函数序列：FnFnx,xR,而n是相应的特征函数序列：(D如果FnwF,其中FFx是某一分布函数，则

10、ntt,其中nt是FFx的特征函数。(2)如果对于每个tR存在极限limnt,而函数tlimnt在t0连续，则t是某nn一概率分布FFx的特征函数，且FnwF注：设，1,2是随机变量，且FnwF,则称随机变量1,2,依分布收敛于，并记作定理时，常认为表达式.这一记号很直观(dMdistribution的字头)，因此在表述极限定理时，常认为表达式nd比FwF更好。nnitxitx证明：将弱收敛的定义分别用于函数Ree和Ime,立即可以证明命题（1）；命题（2）的证明，要求事先证明几个引理。引理1:设Pn是稠密概率测度族。假设序列Pn的弱收敛子序列Pn,都收敛于同一概率测度P。则整个序列Pn也弱收

11、敛于同一概率测度P证明：假设结果相反，整个数列不收敛于P则存在这样的有界连续函数ffx,使得fxPndx?fxpdxRnR由此可得，存在0和无限数列n'n,使得fxPvdxfxPdx0（*4）RR则由序列Pn,可以选出子序列Pn,',使得Pn"wQ,其中Q是某一测度概率。根据引理假设PQ,所以有fxPrdxfxPdx,RR而这与（*4）矛盾，从而引理得证。引理2:设Pn是R,BR稠密概率测度族，序列Pn弱收敛于某种概率测度，当且仅当于每个tR存在极限limnt,而函数nt测度Pn的特征函数：nitxntRePndx证明：如果概率测度族P,稠密，则存在数列Pn,和概率测

12、度P,使得Pn,wPo假设结果相反，整个数列不收敛于P,则根据引理1 ,存在子序列Pn,和概率测度Q ,使得Pn,对于每个tR存在极限limnnim Ritxe巳dxlimn"itxe Pn“ dx从而itxRe PdxitxRe Q dx , t Ro由于特征函数唯一决定分布，故pq与假设Pn?p矛盾最后，由弱收敛的定义可得引理相反的结论成立引理3:设FFx是数轴上的分布函数，而t是其特征函数，则存在常数K0,使得对于任何a0有_Ka_/一idFx1Retdt,(*5)aa证明：由于RetcostxdFx,-1a_1a贝U1Retdt1costxdFxa0a01a1costxdtd

13、Fxa0sin axdF xaxsiny,inf1?dFx|y1y|ax|11dF其中1sinyinf1=1sin1Ky1y所以，当常数K7时（*5）式肯定成立。定理1的命题（2）的证明：设，ntt,n，其中t在0连续现在证明，由此可得Pn是稠密概率测度族，其中Pn是对应于分布函数Fn的测度。由于（*5）和控制收敛定理，当n时有11PnR-=N1dFnxaaIxaRentdtRentdt由于根据定义t在0连续且01,可得对于任何0,存在a0使得对于一切n1,PnR从而测度族Pn稠密，而由引理2可得存在概率测度P,使得PnWP。因此nteitxPndXetxPdX,即ntt。故t是概率测度P的特征函数。3.2极限定理证明的特征函数法定理2（辛钦大数定率）设1,2,是独立同分布随机变量序列，且E1,E1m,Sn 1+ n,则Sn n p m ,即对任何0 ,有0,nit 1证明：设 t Ee和Sn nLeEe n ,则由随机变量的独立性有Sn tnitmo t ,t因此对任意tR,有从而Snnt _ i-mnitme函数tetm在0处连续且是集中在点m的退化概率分布的特征函数。所以Snn即